Производственная функция краткосрочного периода уравнение

Основы теории производства

Понятия производства, технологии, производственной функции

Производство – процесс преобразования факторов производства в блага для удовлетворения потребностей.

Цель производственной деятельности – создание необходимых материальных и нематериальных благ.

Каждый конкретный процесс производства характеризуется как определенным набором факторов производства, так и устойчивым соотношением между ними, т.е. осуществляется в форме определенной технологии.

Технология – это устойчивое сочетание факторов производства.

Один и тот же продукт можно произвести с помощью различных технологий.

Поскольку производственный процесс имеет затраты (издержки) и результаты, то ставится вопрос о производственной функции.

Эффективность различных способов производства определяется уровнем цен на ресурсы и продукты.

Экономическая эффективность – это минимизация издержек производства для данного производства при получении максимальной прибыли.

Технологическая эффективность – сокращение количества ресурсов для данного производства.

Производственная функция – это функциональная взаимосвязь, отображающая зависимость между вводимой комбинацией факторов производства и объёмом выпуска продукции.

Производственную функцию можно представить в следующем виде:

Q = f (Xa, Xb, Xc, …, Xn),
где Q – значение объёма выпуска продукции; Ха, Хb, …, Хn – значения применяемых в производстве факторов.

Производственная функция может быть линейной и нелинейной.

Свойства производственных функций

• показывает определённую технологию;
• при изменении технологии график производственной функции изменится;
• отражает альтернативные сочетания ресурсов;
• показывает максимальные значения количества выпущенных товаров для разных сочетаний факторов производства;
• показывает только технологически эффективное производство, для которого увеличения какого-либо фактора должно сопровождаться увеличением выпуска, т.е. при Х2 > X1 должно выполняться f(X2) > f(X1).

Производство в краткосрочном периоде. Закон убывающей отдачи факторов производства

Закон убывающей отдачи факторов производства

Краткосрочным называется период, когда один из факторов производства постоянный.

Долгосрочным называется период, когда все факторы становятся переменными.

Для каждого производства сроки краткосрочного и долгосрочного периода различаются.

Например, обувной магазин можно перепрофилировать в продовольственный за один месяц, тогда как для перепрофилирования машиностроительного завода потребуется как минимум один год, а то и больше.

Производственная функция в краткосрочном периоде отражает количество выпущенной продукции при условии наличия постоянных факторов производства и переменных факторов производства.

Необходимо проанализировать, как меняется объём выпущенной продукции при изменении переменных факторов производства или найти производительность этих факторов.

Для этого анализа необходимо понять, что представляют собой совокупный, средний и предельный продукт.

TPx или совокупный продукт – количество выпущенной продукции при определённом количестве переменного фактора Х.

APx или средний продукт – количество выпущенной продукции в расчёте на единицу переменного фактора:

Средний продукт труда (АР_L), также называемый производительностью труда, – количество выпущенной продукции, приходящийся на единицу труда:

где Q – совокупный продукт; L – количество труда (в единицах).

MPx или предельный продукт – изменение величины общего продукта при изменении переменного фактора Х:

где ΔQ – изменение совокупного продукта (или общего количества продукта); ΔL – изменение затрат труда.

Закон убывающей отдачи факторов производства: при неизменном количестве постоянного фактора увеличение применения переменного фактора неизбежно приведёт к снижению его производительности.

Сначала при прибавлении небольшого количества переменного фактора предельный продукт растёт. Затем рост предельного продукта останавливается и постепенно начинает снижаться. Это объясняется тем, что происходит снижение эффективности и выпуска продукции в результате перегрузки оборудования на производстве.

Действие закона убывающей отдачи позволяет сделать четыре вывода:

1) «экономическая область» – область, в которой увеличение издержек производства не влечёт за собой уменьшение совокупного продукта;

2) в краткосрочном периоде всегда достигается объём применения переменного фактора, начиная с которого с увеличением последнего предельный продукт уменьшается;

3) существует объём переменного фактора в «экономической области», начиная с которого дальнейшее увеличение его применения ведёт к снижению объёма выпуска;

4) возможности увеличения выпуска в краткосрочном периоде, т.е. за счёт увеличения применения переменного фактора, ограничены.

Показателями отдачи от переменного фактора являются предельный и средний продукты, характеризующие уровень предельной и средней производительности фактора производства.

Результаты производства с одним переменным фактором

Затраты труда L	Затраты капитала K	Объем выпуска Q	Средний продукт труда Q:L	Предельный продукт труда ΔQ:ΔL
0	10	0	–	–
1	10	10	10	10
2	10	30	15	20
3	10	60	20	30
4	10	80	20	20
7	10	112	16	11
8	10	112	14	0
9	10	108	12	–4

Замедление прироста, а затем и снижение предельного продукта служат причиной уменьшения величины среднего продукта, а в определенный момент – и снижения общего продукта (табл. 5.1).

Закон убывающей отдачи работает только в краткосрочном периоде и проявляется в различных производственных процессах по-разному.

На рис. 5.1 представлено графическое изображение зависимости продукта от переменного фактора производства.

По вертикали отложим количество продукта, по горизонтали – количество переменного фактора.

Соединив полученные точки, получим кривые зависимости продукта от переменного фактора: кривую общего продукта ТРх, кривую среднего продукта АРх и кривую предельного продукта МРх.

Совокупный продукт. По мере добавления дополнительного переменного ресурса (в данном случае L) к постоянному ресурсу (К) совокупный продукт (TP) сначала возрастает, приостанавливает рост, затем убывает.

Предельный продукт. Линия предельного продукта (MPx) пересекает график среднего продукта (APx) в точке максимума.

Существует взаимосвязь между предельным, средним и совокупным продуктами.

Стадия I (см. рис. 5.1) неэффективна, поскольку существует неполное использование постоянного фактора.

Предприятию в таком случае необходимо использовать переменный фактор производства в большем объёме до стадии II, так как это приведёт к росту эффективности производства.

На стадии III снижается эффективность производства, поэтому оптимальной считается стадия II. Предприятию необходимо повышать спрос для нахождения в стадии II или использовать производственные возможности в полной мере.

Оптимальным считается использование такого количества переменного фактора, при котором достигается максимальный выпуск продукции.

Производство в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде можно решить существующую в краткосрочном периоде проблему оптимального соотношения количества факторов производства для обеспечения максимального выпуска продукции, поскольку все факторы производства будут переменными.

При замещении факторов производства возможно получить разнообразные сочетания факторов.

Изокванта, карта изоквант

Изокванта – графическое отображение комбинаций производственных факторов для двухфакторной модели, обеспечивающих одинаковый выпуск продукции.

Изокванта, которая расположена дальше от начала координат, показывает больший объём выпуска; изокванта, расположенная ближе к началу координат – меньший выпуск.

Карта изоквант – график, показывающий несколько изоквант, отображающих различный выпуск продукции при разных комбинациях факторов производства.

Свойства изоквант на карте изоквант:

• они вогнуты;
• не пересекаются;
• имеют отрицательный наклон.

Изокванты показывают реальные уровни производства.

Представленная в виде набора изоквант «карта изоквант» показывает все возможные варианты осуществления производства как при неизменности объема выпуска, так и при его изменении.

Табл. 5.2 содержит определённые характеристики производства.

Производственная сетка (Q = f (K, L))

Затраты труда L
1	2	3	4	5
1	20	40	55	70	65
2	40	60	80	85	90
3	55	75	90	100	105
4	65	85	100	110	115
5	75	90	105	115	120

Отрицательный наклон изокванты означает не только возможность замещения факторов производства, но и уменьшение одного фактора при увеличении другого.

На изокванте для различных сочетаний факторов можно видеть максимальный выпуск продукции.

Изокванты отражают оптимальный выпуск продукции.

Замещение факторов производства

Предельная норма технологического замещения факторов производства (MRTS – marginal rate of technical substitution) – это изменение количества одного фактора (ΔK) в результате изменения другого (ΔL) на единицу:

Другими словами, предельная норма технологического замещения факторов – показатель пропорции, в которой должна происходить замена одного фактора производства другим при сохранении неизменного выпуска продукции.

Предельная норма технологического замещения факторов производства соответствует абсолютному значению наклона касательной изокванты в любой её точке (рис. 5.3).

Значение углового коэффициента умножается на (–1).

Предельная норма технологического замещения связана с предельными продуктами факторов производства таким образом, что неизменность объёма выпуска (нахождение на одной и той же изокванте) обеспечивается при (MPL·ΔL) + (MPK·ΔK) = 0 или (MPL·ΔL) = – (MPK·ΔK).

При равенстве предельной нормы технологического замещения факторов соотношению предельных продуктов факторов существует оптимальная комбинация этих факторов.

Производство и технический прогресс

Развитие технологий позволяет осуществлять производство того же продукта с меньшими затратами. В этом смысле технический прогресс, способствуя более эффективному использованию ресурсов, становится фактором роста производства.

Влияние технического прогресса на производство проявляется в двух формах:

1. в увеличении объема выпуска при данном количестве производственных факторов;
2. в снижении затрат факторов при производстве данного объема выпуска.

В краткосрочном периоде применение более прогрессивной технологии находит выражение в повышении производительности переменного фактора – в форме либо увеличения выпуска с тем же количеством переменных факторов, либо уменьшения количества переменных факторов при том же объеме выпуска.

Использование более эффективной технологии изменяет степень интенсивности действия закона убывающей отдачи.

Типы технического прогресса

Воздействие технического прогресса в долгосрочном периоде выражается или в смещении изокванты вниз, или в изменении ее конфигурации, или в том и другом одновременно. Изменения в наклоне изокванты являются признаком произошедшего изменения в соотношении между факторами производства и, следовательно, характеризуют направленность технического прогресса.

Различают три типа технического прогресса.

1. Нейтральный тип (рост предельной производительности и труда, и капитала) (рис. 5.4). При этом предельная норма технологического замещения факторов не изменяется, а изокванты на графике смещаются к началу координат.

Предельные производительности факторов неизменны при переходе от комбинации А к комбинации В.

2. Трудоинтенсивный (капиталосберегающий) тип

При этом типе технического прогресса происходит повышение производительности труда за счёт изменения комбинаций факторов производства. Предельная норма технологического замещения растёт, изокванты становятся более крутыми (рис. 5.5).

Фактор производства труд используется в больших объёмах, чем капитал.

3. Капиталоинтенсивный (трудосберегающий) тип» src=»https://be5.biz/ekonomika/e024/image/5-5.png» />

При этом типе используются такие сочетания факторов, которые приводят к увеличению производительности капитала (рис. 5.6).

Предельная норма технологического замещения уменьшается при переходе от сочетания факторов А к комбинации В.

Происходит большее по сравнению с трудом применение в производстве фактора «капитал», поэтому такой тип технического прогресса называют трудосберегающим.

Примеры решений задач: производственная функция

Производственная функция — экономико-математическая количественная зависимость между величиной выпуска (объемом продукции фирмы) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий.

Наиболее известные примеры производственных функций: функция Кобба-Дугласа вида $Y=A\cdot L^<\alpha>\cdot K^<\beta>$, в которой предполагается постоянные эластичности ($\alpha$ и $\beta$) выпуска по факторам производства $K$ и $L$ соответственно (капитал и трудовые затраты); линейная производственная функция: $Y=aK+bL$, функция Леонтьева и т.д.

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи, касающиеся производственной функции (в том числе модели Кобба-Дугласа).

Производственная функция: задачи с решениями

Задача 1. Производственная функция коммерческого предприятия имеет вид $f=10\sqrt\cdot \sqrt$, где $f$ — товарооборот, тыс. руб.; $x_1$ — производственная площадь, м ; $x_2$ — численность работников, сотни человек. Рассмотрите изокванту уровня $y_0$ и найдите точку $C_1$ и точку $C_2$. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов. Полученные результаты изобразите графически.

Задача 2. Исходные данные. Фирма, производящая продукцию при заданной рынком системе цен по технологии, отображающейся производственной функцией $Q = 20 L^<0,5>$, может продавать любой объем своей продукции по цене Р = 6. Фирма может использовать любое количество труда по цене w = 40.
1. Какой тип производственной функции представлен в задании? В чем ее особенность? Приведите пример подобного производства. Изобразите график заданной производственной функции, а также графики среднего и предельного продуктов переменного фактора (труда).
2. На основе представленных данных выведите функции общих, средних и предельных затрат фирмы, функцию индивидуального предложения фирмы и определите объем предложения при заданной цене блага.
3. Дайте характеристику статуса фирмы на товарном и факторном рынках в представленном примере. Раскройте различия в поведении фирмы-совершенного конкурента и фирмы-монопсониста на рынке фактора. Приведите примеры подобного поведения фирм на рынке труда.
4. Выведите функцию спроса фирмы на труд, если цена блага P = 6 и остается неизменной. Определите объем спроса на труд при w = 40. Решение сопроводите графиком. Укажите несколько факторов (не менее трех), влияющих на спрос фирмы на труд.

Задача 3. Процесс производства некоторого товара описывается с помощью производственной функции $q=f(x_1, x_2)=54x_1^<1/2>x_2^<2/3>$. Для плана (2,5) найти первый второй предельные продукты. Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам. Выясните, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью эффекта масштаба. Предполагая, что производитель приобретает ресурсы по ценам (2,7) найдите функцию переменных издержек $C_v(q)$.

Модель Кобба-Дугласа: задачи с решениями

Задача 4. Производственная функция фирмы имеет вид: $Q = К^<0,5>\cdot L^<0,5>$. Предположим, что в день затрачивается 4 часа труда (L = 4) и 4 часа работы машин (К = 4).
Определить:
1) максимальное количество выпускаемой продукции;
2) средний продукт труда;
3) допустим, что фирма увеличила затраты обоих факторов в два раза. Каков будет объем выпускаемой продукции?

Задача 5. Задана производственная функция Кобба-Дугласа
Изобразить изокванту, соответствующую плану (36,27). Какое количество продукта выпускается при этом плане?
Найти первый, второй предельные продукты для плана (36,27) и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
Каким эффектом от расширения масштабов производства характеризуется производственная функция
Каковы затраты производителя на покупку ресурсов при плане производства (36,27) и заданном векторе цен на ресурсы (3,4)?
Найти самый дешевый (оптимальный) план по ресурсам, обеспечивающий выпуск такого же количества продукции, что и для плана (36,27). Найти аналитически решение этой задачи
методом Лагранжа
методом подстановки.
Сделать геометрическую иллюстрацию решения задачи, изобразив ОДР и целевую функцию линиями уровня.

Задача 6. На основании представленных в таблице ниже данных построить ПФ типа Кобба-Дугласа. Сделать прогноз объема производства отрасли на 2000 год, если планируются увеличение основных фондов на 20% и одновременное уменьшение трудовых ресурсов на 5% относительно предыдущего года. Пусть заданы агрегированные основные показатели некоторой отрасли за четыре года:

Задача 7. Для построенной в самостоятельной работе производственной функции рассчитать предельные производительности, предельные нормы замещения ресурсов в 1993 и 1999 годах, сделать сравнительный экономический анализ. При расчетах предположить, что ресурсы в исследуемом году заданы, объем производства вычисляется.

Задача 8. Пусть производственная функция имеет вид $Y = 0.94 \cdot K^<1.17>\cdot L^<1.57>$. Для базового года $K_0 = 727$ млн ден. ед., $L_0 = 97.7$ тыс. человек. Для отчётного года $K_1 = 977$ млн ден. ед., $L_1 = 127.7$ тыс. человек. Подсчитать индексы изменения характеристик, масштаб и экономическую эффективность производства. Дать экономическую интерпретацию.

Задача 9. Производственная функция фирмы, выпускающая линолеум, имеет вид $Y=177 K^ <0.356>L^<0.644>$. Здесь $Y$ – сотни м*м, $K$ – тыс. ден. ед., $L$ – сотня рабочих (сот. р.).
Стоимость ресурсов W=5,13 тыс. ден. ед./сот. раб.
q = 10 тыс. ден. ед./тыс. ден. ед.
Издержки производства ограничены суммой C = 1770 тыс. ден. ед.
Найти максимальный выпуск продукции, оптимальное количество рабочих и стоимость капитальных фондов.
Построить график изокванты и изокосты. Отметить оптимальную точку.
Оценить, как изменится выпуск продукции, если:
а) увеличить заработную плату на 8%;
б) уменьшить цену на фонды в два раза;
в) ввести дополнительные инвестиции в производство в количестве 57,7 тыс. ден. ед.

Задача 10. Найти объем продукции, произведенной за период $[0;52]$, если функция Кобба-Дугласа имеет вид: $f(t)=(364+7t)e ^<1/104 t>$

Задача 11. 1. Выпуск продукции фирмой описывается функцией Кобба-Дугласа $Y=AK^<\alpha>L^<1-\alpha>$. Ставка заработной платы равна $p_L$, норма процента на используемый капитал — $p_K$.
2. По заданному уровню выпуска продукции $Y$ определить объемы факторов $K$ и $L$, при которых общие издержки будут минимальны, и величину этих издержек.
3. По известной величине общих издержек $TC$ определить объем факторов $K$ и $L$, обеспечивающие максимальный выпуск продукции, и соответствующий объем выпуска.

Задача 12. На основании следующих данных построить производственную функцию Кобба-Дугласа.
Здесь $Y_i$ — производственный национальный доход (млрд. руб.), $K_i$ — среднегодовые основные производственные фонды (млрд. руб.), $L_i$ — среднегодовая численность занятых в материальном производстве (млн. чел.). Имеется прогноз на 1997 год: основных производственных фондов $K_<1996>\cdot N$ млн. руб. и трудовых ресурсов $L_<1996>\cdot N$, где $N$ (номер) млн. чел. На основании полученной производственной функции сделать точечный прогноз национального дохода на 1997 год.

Задача 13. Производственная функция задается формулой $Q = 150 K^<0,9>L^<0,5>$, где Q — выпуск, K – капитал, L — труд.
Найти:
a) Предельные продукты труда и капитала при K=16, L=125.
б) Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу и объяснить их экономический смысл для полученных значений.

Производственная функция: понятие, примеры и разновидности

Производственная функция — это уравнение, устанавливающее связь между факторами производства (то есть входными ресурсами) и общим продуктом (то есть выпуском).

Существует три основных типа производственных функций: (1) линейная производственная функция, (2) производственная функция Кобба-Дугласа и (3) производственная функция с фиксированными пропорциями (также называемая производственной функцией Леонтьева).

Линейная производственная функция и производственные функции с фиксированной пропорцией представляют собой два крайних сценария.

Линейная производственная функция представляет собой производственный процесс, в котором вводимые ресурсы являются совершенными заменителями, то есть один, скажем труд, может быть полностью заменен капиталом.

Функция фиксированного производства с фиксированной пропорцией отражает производственный процесс, в котором вводимые ресурсы требуются в фиксированных пропорциях, поскольку не может быть замены одних вводимых ресурсов другими.

Производственная функция Кобба-Дугласа представляет собой типичную производственную функцию, в которой труд и капитал могут замещаться не полностью.

Линейная производственная функция

Линейная производственная функция имеет следующий вид:

P = a x L + b x K, где

P — общий продукт,

a — производительность L единиц труда,

b — производительность K единиц капитала.

Пример 1. Давайте рассмотрим автомойку ААА. Рабочий, работающий в 8-часовую смену, может вымыть 16 машин, а автоматическая система мойки — 32 машины за 8 часов. Владелец автомойки ААА сталкивается с линейной производственной функцией.

Если она должна обслуживать 96 автомобилистов, она может либо использовать нулевые машины и 6 рабочих, 4 рабочих и 1 машину, либо не использовать рабочих, а задействовать вместо них 3 машины.

Линейная производственная функция представлена прямолинейной изоквантой.

Производственная функция фиксированной пропорции (Леонтьева)

Производственная функция фиксированной пропорции полезна, когда труд и капитал должны быть обеспечены в фиксированной пропорции. Уравнение для фиксированной пропорциональной функции выглядит следующим образом:

Q = min (a x K, b x L), где

Q — общий продукт,

a и b — соответственно коэффициент производства капитала и труда,

K и L — соответственно единицы капитала и труда.

Общий продукт при фиксированных пропорциях производственной функции ограничен наименьшими затратами труда и капитала.

Пример 2. Давайте рассмотрим автомойку ААА, которая работает в течение 16 часов каждый день. Она имеет 3 моечных отсека и 4 рабочих.

Если мойка автомобиля занимает 30 минут рабочего времени и 30 минут занятости моечного отсека, общее количество возможных моек будет зависеть от того, какой фактор является ограничивающим фактором, то есть какой из них заканчивается первым, как показано ниже:

a x K = (16/0.5) x 3 = 96

b x L = (8/0.5) x 4 = 64

Q = min (a x K, b x L) = min (96, 64) = 64

Это связано с тем, что из-за меньшего количества рабочих мест некоторые моечные отсеки останутся избыточными.

Производственная функция с фиксированной пропорцией соответствует прямоугольной изокванте.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа позволяет осуществлять обмен между трудом и капиталом. Она представляет собой типичную выпуклую изокванту, то есть изокванту, в которой труд и капитал могут быть заменены друг другом, если не полностью.

Производственная функция Кобба-Дугласа представлена следующей формулой:

Q = A x K a x L b , где

Q — общий продукт,

K — единицы капитала,

L — единицы труда,

a и b — эластичность выпуска капитала и труда соответственно.