Простейшие дифференциальные уравнения 11 класс конспект урока

Конспект интегрированного урока для 11 класса на тему «Составление дифференциальных уравнений по условиям прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Общеобразовательное учреждение

средняя школа №16 г. Пинска

Интегрированный урок по физике и математике

на тему

“Составление дифференциальных уравнений

по условиям прикладных задач”

учителя: Федорино С. И.

Урок посвящен изучению темы в лицейском физико-математическом 11 классе. Он основан на групповой технологии обучения учащихся.

Цели урока:

Обучающая. Учить составлять дифференциальные уравнения по условиям прикладных задач.

Развивающая. Закрепить и углубить имеющиеся теоретические знания по темам “Дифференциальные уравнения и их классификация”. Повторить некоторые теоретические сведения из курса физики, необходимые для решения рассматриваемых задач. Создать условия для формирования навыков составления дифференциальных уравнений для решения прикладных задач.

Воспитательная. Воспитывать чувство коллективизма, товарищеской взаимовыручки, культуру межличностных отношений при групповом решении задач.

Подготовка к уроку

Подбор оборудования и заданий: высокая пробирка, заполненная водой, пластмассовые шарики; карточки-задания для работы в группах, слайды для проецирования через графопроектор.

Организация и ход урока

Содержание и характер деятельности учителей и учащихся на этапах урока.

Учитель математики : Объявляет тему урока.

Учитель физики : Объявляет цели данного урока.

Учитель математики : На предыдущих уроках мы с вами познакомились с дифференциальными уравнениями и их классификацией. Дифференциальные уравнения объединяют и обобщают многие идеи математического анализа, раскрывают сущность метода бесконечно малых величин, как важнейшего средства познания явлений действительности. Составить дифференциальное уравнение — это, значит, найти зависимость между аргументом функции, функцией и ее производной. Сегодня, как уже говорилось, мы будем учиться составлять дифференциальные уравнения по условиям физических задач.

Учитель физики : Составление дифференциальных уравнений является важнейшим и вместе с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решении различных задач, что достигается разбором большого количества решаемых задач и самостоятельного решения аналогичных примеров. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины. Все задачи, которые сегодня будут разобраны на уроке, выбраны из олимпиад «Абитуриент 88 – 2000», которые предлагались на заочные туры для школьников. Многие из вас уже почувствовали необходимость данной темы при прохождении тестирования по математике и физике; при участии в олимпиадах МФТИ, БГУ и БГУИР.

Учитель математики : Для повторения и систематизации знаний проводит опрос на классификацию дифференциальных уравнений (демонстрирует карточки с заранее заготовленными уравнениями).

Учитель физики : После повторения темы совместно составим дифференцированное уравнение к конкретной физической задаче. Сложность составления дифференциального уравнения заключается еще и в переходе от математической записи (у, у’, х’, dx , dy ) к конкретным физическим величинам (х’, da , dA , q ‘, dF ). Попробуем преодолеть эту трудность.

Учитель математики : Зачитывает условие задачи: шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

Учитель физики : Моделирует задачу на опыте (в пробирку с водой опускает пластмассовые шарики). Два ученика параллельно оформляют на доске «Дано», строят пояснительный чертеж, изображают действующие на шарик силы. Третий ученик записывает II закон Ньютона в век­торной форме, выбирает координатную ось и переписывает закон в скалярной фор­ме, находя проекции на выбранную ось:

Учитель математики : Озвучивает «Алгоритм составления дифференциального уравнения», ученики слушают:

Алгоритм составления дифференциального уравнения :

1. Выбирают соответствующие рассматриваемой ситуации независимую переменную и искомую функцию и вводят для них (или используют общепринятые) обозначения (например, s ( t ) — путь, пройденный телом к моменту времени t ; v ( t ) — скорость тела в момент времени t ; q ( t ) — количество зарядов, протекших через единичное сечение проводника за время t от начала процесса; у(х) — функция, графиком которой является некоторая кривая, и т.д.).

2. Определяют физическую или геометрическую интерпретацию производной искомой функции или, если надо, ее второй или, более высокой производной (например, s ‘( t ) — скорость тела в момент времени t ; s »( t ), v ‘( t ) — ускорение тела в момент времени t; q ‘( t ) — сила тока в проводнике в момент времени t ; у'(х) — угловой коэффициент к графику функции у = у(х) и т.д.).

3. Используя физический закон, описывающий рассматриваемую ситуацию, связывают производную искомой функции с самой функцией и иными параметрами системы.

4. Определяют, исходя из условий задачи, начальные условия, налагаемые на искомую функцию.

5. Приводят полученное уравнение (если это возможно) к одному из стандартных видов и формулируют для него начальную задачу.

Учитель физики : Пошагово выполняет действия по алгоритму, при этом делает записи на доске:

1) Определяем зависимость скорости шарика от времени: V = f (t), т.е. t — независимая переменная, V — искомая функция;

2) Ускорение шарика можно записать как: а = V ‘ = ;

3) По условию задачи известна длина сосуда, поэтому необходимо перейти к зависимости скорости шарика V от длины х:

= =

4) При х = 0, скорость шарика равна нулю: V = 0, при этом

m = mg – F_A – F_C

m = mg – F_A – kV

m V = mg – F_A – kV

5) Разделяя переменные, приводим полученное дифференциальное уравнение:

= dx

Учитель математики: В ознакомительном плане показывает, как решается за­дача по этапам.

Учитель физики: С помощью графопроектора показывает готовые промежуточные результаты на доске:

= dx

(–V – ln ( – V)) = x + C

(–V – ln [ ]) = x

Учитель математики : Теперь, используя алгоритм составления дифференциального уравнения, а также разобранную задачу каждая группа составит дифференциальное уравнение к конкретной физической задаче (Приложение: “Задачи для работы в группах”). Класс заранее разбит на 6 групп по 4 – 5 человек по принципу дифференциации. Задачи лежат на заранее сдвинутых партах. На каждую парту ставятся бумажные треугольники, на гранях которых написано:

— номер группы (соответствует номеру решаемой задачи),

— сигнал о возникновении зат­руднения при совместном решении;

— сигнал о готовности решения.

Учащиеся знакомятся с условием задачи, распределяют обязанности внутри группы, намечают пути решения данной задачи.

Учитель физики: Засекает время, включает негромкую инструментальную мелодию.

Ученики : 6 человек (по одному представителю от каждой группы) офор­мляют на доске свои решения. При этом придерживаются схемы:

— закон или функция;

— классификация дифференциального уравнения.

Учитель математики : подводит итог урока.

Учитель физики: задает домашнее задание (оставшиеся 4 задачи).

Рефлексию урока организуют оба учителя.

ЗАДАЧА

Шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1. Лыжник спускается по длинному склону с углом наклона i , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыжника о снег равен μ. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости (F_С = kV 2 ), где k — постоянный коэффициент. Какую максимальную скорость мог развить лыжник, если его масса m ?

2. Гибкий тяжелый трос длиной L и массой M перекинут через блок, масса и радиус которого пренебрежительно малы. Трение в блоке отсутствует. Трос находится в равновесии. К одному из концов троса подвешивают груз массой m . Найти скорость троса в момент отрыва от блока.

3. Для выработки залежи полезных ископаемых необходимо вырыть котлован площадью сечения S и глубиной Н. Найти работу А, которую необходимо выполнить, чтобы поднять породу с глубины. Плотность породы изменяется по закону: ρ = ρ₀ + by , где ρ₀ — плотность породы на поверхности, b — некоторая постоянная.

4. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V ₀ имея первоначальное давление Р₀, при некотором внешнем давлении бесконечно мало отличающимся от давления газа. Найти произведенную работу водорода.

5. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью V₀. На полном ходу ее мотор выключается и через время t ₁ скорость уменьшается до V ₁ . Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Определить скорость лодки через время t после остановки мотора.

6. К горизонтальной пружине, силой тяжести которой можно пренебречь, прикреплен груз массой m . Оттянув груз на длину х, его заставляют свободно колебаться. Найти закон этого движения, пренебрегая побочными сопротивлениями.

7. Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает со скоростью 60 м/с. Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус.

8. Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью V. При падении на него действует сила сопротивления F _С = aV 2 . Найти закон падающего тела.

9. Сила тяжести летчика с парашютом 80 кг. Сопротивление воздуха при спуске пропорционально квадрату скорости (k = 400 Нс 2 /м 2 ). Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную скорость спуска.

10.Конденсатор емкостью С включен в цепь с напряжением U и сопротивлением R, Определить заряд q конденсатора в момент времени Т после замыкания цепи.

1. F_TP N

F_C

mg

2.

L – x

a x

3 .

dx

dmg

F_A

5. Þ ma = – F_C F_C

Þ

6. N

F _У

mg

Разработка урока по математике тема: «Дифференциальные уравнения» ( 1 курс )

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения диф.уравнений первого

— развить логическое мышление студентов;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Объяснение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Информация о домашнем задании.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(4х) ‘ = (х 4 ) ‘ =… (7х 2 ) ‘ =… (х+8) ‘ =… (3х-4) ‘ =… (4 sinx ) ‘ =… (е 3х ) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF = F ‘ dx ).

г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:

1 группа 2 группа 3 группа

dx

dx

dx

3.Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у ‘ =2х.

Что содержит данное уравнение?

у ‘ =2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО .

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

ху ‘ +у=0- диф.уравнение первого прядка.

— диф. уравнение 2-го порядка.

у »’ -2у=х- диф. уравнение третьего порядка.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у’) = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит :
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

Пример: у ‘ =2х. С чего начать решение ?

,

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?

,

— общее решение

2) При х= 2, у=5, тогда

5=, 5= 4+с, получим

с= 1, следовательно,

— частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное

Для решения этого уравнения необходимо:

3.проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример2: Решить дифференциальное уравнение

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Давайте попытаемся получить общее решение .

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

Используем свойство логарифмов

— представлена в явном виде

2) ,

,

,

,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

3)

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ‘ =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)

(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

, при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)

, при х=0, у=1 ( ответ: )

, ,

общее решение.

Найти частное решение ДУ .

общее решение.

тогда у=2 sinx -1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

2.Ответ: у=х 2 +4

3. ,х=2,у=-4. ответ:

Практическое приложение ДУ.

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

, .

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t =20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

Отсюда:

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k = ln 2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t =20 c . S=400 м.Ответ: 400м.

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Пусть Q -наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q =2г., тогда С=ln2, получим .

При t =1, Q =2,6, тогда к= ln 1,3

При t=4, Q==5,7гр.

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

Решить уравнения:1.

2.

3.

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5