Простейшие кубические уравнения методы решения

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Решение кубических уравнений — методы и примеры вычислений

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано. Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Таким образом, в кубических уравнениях стоит только одна переменная в третьей степени. Они всегда имеют три корня. При этом ответы могут быть равны друг другу и даже быть комплексными (но не более двух).

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

• разложением на множители;
• с использованием формулы корней квадратного уравнения;
• методом дополнения.

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y. Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Для проверки результата необходимо оба возможных решения подставить в формулу. Так как для квадратного уравнения существует только два решения, а для кубического три, то в этом случае третьим ответом будет ноль. Поэтому решением уравнения будет три корня: 0, 1/3, 16.

Но проще и нагляднее всего использовать второй вариант. Формула корней кубического уравнения имеет вид: y = ((-d + (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a и y = ((-d — (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a. Корни квадратного уравнения и будут ответом для кубического. Например, 5*y 2 — 7*y — 14 = 0. Приняв, что a = 5, d = -7, c = — 14 и подставив числовые значения, будет верным запись: y = 1 4 / 5 и y = -1. Дробное решение и отрицательное будет являться корнями кубического равенства.

Разложение на множители

Если определённый член не равен нулю, то посчитать игрек при помощи квадратных уравнений невозможно. В этом случае используется метод разложения на свободные множители. Например, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Чтобы разложить кубическое уравнение на множители и определить неизвестное, придерживаются следующего порядка:

1. Вычисляют множитель кубического коэффициента и свободного члена. Это те числа, которые при умножении друг на друга дают исходное число. Например, цифру шесть можно представить перемножением 6*1 и 2*3, то есть множителями шести являются: 1, 2, 3, 6. Коэффициентом кубического члена является двойка, соответственно её множители — цифры один и два.

1. Выполняют деление множителей кубического члена на цифры разложения свободного. В результате действия получится набор, состоящий из дробных частей и целых чисел, при этом они могут быть и отрицательными. Для уравнения 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0 такой набор будет состоять из 1, -1, ½, -½, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3 .
2. Определяют ряды чисел, в которых существуют рациональные решения кубического выражения. Для рассматриваемого примера они будут следующие: -1*2 = -2; 9 + (-2) = 7; (-1) * 7 = -7; 13 +(-7) = 6; (-1)*6 = -6; 6+(-6) = 0 .

Вычисление рационального числа операция долгая и требующая внимания. Поэтому для быстрого нахождения ответа используется деление по схеме Горнера. По этой схеме выполняют деление целых цифр на коэффициенты всех членов равенства. Если в ответе получается только целая часть, то эти числа считаются вариантами решения. Таким методом можно находить и иррациональные выражения.

Чтобы освоить способ Горнера, необходимо тщательно в нём разобраться. Способ заключается в делении коэффициентов многочлена без учёта степенных показателей. Вычитание заменяется сложением как при делении в столбик. То есть уравнение, впрочем, как и неравенство, вида y 3 + 2*y 2 — 4 *y + 8, записывается как 1 2 -4 8 с необходимым делимым. В результате должен получиться многочлен с остатком. Если он будет нулевым, то одним из ответов уравнения и будет делимое .

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

При решении кубических равенств используют значения коэффициентов. Например, для уравнения y 3 — 3* y 2 + 3* y — 1, они будут равны: a = 1, d = -3, c = 3, n = -1. Затем вычисляют дельта нулевое. Это ключевая величина, которая после подставляется в формулу. В примере, Δ0 = d 2 — 3 * a * c, определяют как (-3) 2 — 3 * (1) * (3) = 9 − 3 * 3 = 0 .

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

2 (-3) 3 — 9 (1)(-3)*(3) + 27 (1) 2 * (-1) = 2 (-27) — 9 (-9) + 27 (-1) = -54 + 81 — 27 = 81 − 81 = 0 = Δ 1.

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

• Δ1 2 — 4 * Δ0 3 / — 27 *a 2 ;
• (0) 2 — 4 * (0) 3 / — 27 * (1) 2 ;
• (0−0) / 27;
• Δ = 0.

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

Теорема Виета и двучлен

Выражение вида: a*y 3 + d = 0 называется двухчленным или неполным уравнением. Для его решения нужно равенство привести к виду: y 3 + d/a = 0. Затем используя формулу сокращённого умножения для суммы кубов можно записать:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 − ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Из первого множителя и находят значение игрека. Оно будет равно 3 √ d/a, ведь второй множитель — это квадратный трёхчлен с корнями комплексного вида.

Для проверки рациональных равенств удобно применять теорему Виета. Согласно ей корни уравнения связаны с коэффициентами выражениями:

• y1 + y2 + y3 = — d/a;
• y1 * y2 + y2 * y3 + y1 * y3 = c/a;
• y1 * y2 * y3 = — n/a.

Используя теорему, некоторые уравнения можно решить даже устно. Например, y 3 + 2y — 24 = 0. Решение выполняется в следующей последовательности:

• записывают теорему применительно к равенству;
• определяют знаки корней;
• раскладывают определённый член.

Частным случаем применения теоремы являются тригонометрические формулы для кубического равенства:

S = Q 3 — R 2 , где Q = (a2 — 3d)/9, а R = (2 а 3 — 9ad + 27c) / 54.

В зависимости от знака S применяется одна из следующих формул : φ = (arcos (R/Q 3/2 ))/3 и φ = (arcos (ЇRЇ/Q 3/2 ))/3. Первое выражение справедливо при S > 0 и имеет три корня: y 1 = -2 (Q) ½ * cos (φ) — a/3; y 2 = — (Q) ½ cos (φ + 2p /3) — a/3; y 3 = -2 (Q) ½ * cos (φ — 2p/3) — a/3. А второе при S ½ * ch (φ) — a/3. В случае же когда S=0,то уравнение имеет следующие корни: y 1= -2*R1 /3 — a/3; y 2= y 3 =R1/3 — a/3.

Теорему Виета можно использовать и для наивысшей, четвёртой степени, при которой ещё существует аналитическое решение.

Подробный онлайн-калькулятор

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

Исследовательская работа по математике » Кубическое уравнение и методы его решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ « Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

Районная научно — практическая конференция

Секция «Точные науки. Математика»

Выполнил : ученик 11 класса МБОУ

Кубическое уравнение и корни кубического уравнения …………………3

2.1.Простейшие кубические уравнения……………………………………….4

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители…………… 5

2.3. Способ понижения степени уравнения…………………………………..5

2.4.Теорема Виета для кубического уравнения………………………………6

2.6. Метод неопределенных коэффициентов…………………………………..12

2.7. Использование монотонности функции……………… ………………….13

Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался методами решения уравнений третьей степени c произвольными действительными коэффициентами. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о рациональных способах решения кубических уравнений. В моей работе я рассмотрел кубические уравнения и способы их решения, которые не изучаются в школьной программе.

Однако моей главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

Цель работы : узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, найти наиболее простой и наглядный способ решения кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения .

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить задачи :

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решений уравнений третьей степени.

Создать электронную презентацию работы.

Актуальность: Практически все, что окружает современного человека – все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и кубических, которые необходимо научиться решать.

Объект : кубическое уравнение и способы его решения.

Предмет исследования — различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза — предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования : — сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

I . Кубическое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: ax 3 + b x 2 + cx + d =0, аǂ (1) где x-переменная, a,b,c,d, — некоторые числа. Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х 3 +bх 2 +cx+d=0 (2).

Корни уравнения Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнал, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1), о котором речь пойдёт ниже.

Пока я не нашёл ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

I I . Методы решения

2.1.Начнем с простейшего случая, когда свободный член d =0, в этом случае, то есть уравнение имеет вид. Решается вынесением х за скобки. В скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти через дискриминант.

Пример. Найти действительные корни уравнения.

Решение. , x=0 или. меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax 3 + d =0. В этом случае . Пример. Найти действительные корни кубического уравнения

Решение:

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители

Симметрические или возвратные уравнения.

Уравнение вида ах 3 + bx 2 + bх + a = 0 называется возвратным или симметрическими , если его коэффициенты , стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

Такое уравнение обязательно имеет корень х = -1, корни квадратного уравнения легко находятся через дискриминант

Пример:, — корень уравнения, , , D =36-4=32,

Ответ: ,

Пример: Решить уравнение: х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0. Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Пример. Решить кубическое уравнение .

Решение. Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена .

Ответ:

Уравнение вида называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень и сводится к квадратному.

Например: .

Используя корень , сводим уравнение к квадратному , которое не имеет действительных корней.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнения в комплексных числах

или , D = 1 – 36 = — 35, D

,

Ответ: ,

Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.

2.3. Способ понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему:

Первоначально подберем один из корней уравнения, использовав свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень , причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d .

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение. Примем данный корень за x ₁ .

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x ₁ .

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени , который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение , мы найдём (или нет!) два других корня.

Делители свободного члена: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Получаем, что 1 является корнем . Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1 , и получим: x 2 – 2 x – 15. Корни квадратного уравнения : x 2 – 2 x – 15 = 0. x ₁ = – 3 и x ₂ = 5.

Также кубическое уравнение можно решить, используя схему Горнера.

Далее в своей работе подробно остановлюсь на методах, на которых применил элементы своего исследования. Начну с метода неопределённых коэффициентов, основывающийся на утверждениях, которые помогут при выводе формул Виета и Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

2.4. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

-два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х; — любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример: Будем искать многочлены и такие, что справедливо тождественное равенство , выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий: после решения системы получаем: , т. е. после разложения на множители и после решения квадратного уравнения Ответ:

2.5. Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

т.е. х ₁ +х ₂ = -р, х ₁ · х ₂ =q. Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедился, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х ₁ , х ₂ , х ₃ – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство х 3 +bх 2 +сх+d = (х-х ₁ ) · (х-х ₂ ) · (х-х ₃ ). Преобразуем его правую часть: (х-х ₁ ) · (х-х ₁ ·)(х-х ₃ )=х 3 -(х ₁ +х ₂ +х ₃ ) · х 2 +(х ₁ х ₂ +х ₁ х ₃ +х ₂ х ₃ ) · х- х ₁ ·х ₂ ·х ₃ ;

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств:

Формулы Виета для уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0

По теореме Виета корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующими соотношениями:

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

Пример. Решить уравнение х 3 -3х 2 -х+3=0 с помощью формул Виета:

Подбором найдем, что х ₁ = -1, х ₂ =1, х ₃ =3.

Известно, что формула изначально была открыта Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы. За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Так как от уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0 всегда можно перейти к уравнению х 3 +bх 2 +cx+d=0, то рассмотрим уравнение вида: х 3 +bx 2 +сх+d=0. Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений применено выделение полного квадрата. Стоит попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b). (3)

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде, я взял уравнение x 3 +4x 2 +x-6=0.

Выделим полный куб , после раскрытия скобок и группировки, получим уравнение:

Сделаем подстановку: , отсюда .

Имеем:,,

т.е. удалось получить кубическое уравнение, не содержащее слагаемое с квадратом переменной. Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида x 3 +px+q=0 . (4)

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.).

Приведенное кубическое уравнение с помощью замены

Если ввести обозначения

дает неполное кубическое уравнение вида

Найдём корни этого уравнения.

В формуле (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b) пусть , тогда получим , откуда . Значит, откуда .

Пусть

По теореме, обратной теореме Виета а 3 = t ₁ и b 3 = t ₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения ,

. Значит,

, Решение кубического уравнения — сумма этих корней:

Обозначим— дискриминант , тогда , после деления трёхчлена у 3 +pу +q на (у-у ₁ ) рассмотреть квадратное уравнение, найти у ₂ и у _3, и вычислить х из .

Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Пример: Решить уравнение :

Замена ,

,

т.е.

По схеме Горнера разделим на, получим ,

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня: , тогда при ;

при при .

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. , , .

Формула Кардано — методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел . Неполное кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть,

1) если D > 0, то y ₂ и у ₃ сопряженные комплексные числа;

2) если D = 0, p ≠0 , q ≠0 , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают; при p = q = 0 получаем 3 совпадающих корня у _1;2;3 = 0.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1),

p = 15, q = 124, ,

,

D > 0 , тогда есть один действительный корень х ₁ = А + В, х ₁ =1 – 5 = — 4, и два комплексно- сопряженных .

Ответ: .

2),

p = — 12, q = 16 ,

D = 0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

,

3) ,

p = -21, q = 20 ,

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку . Ведь корни у этого уравнения есть: они легко находятся. Эти корни можно найти, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано изучается в высшей математике.

Итак, я понял, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано.

Конечно, мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнал, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. Значит, причина непопулярности формулы нахождения корней кубического уравнения не только в её громоздкости, а в её ненадежности. Его способ во всём уступает теореме Виета и схеме Горнера. Тогда зачем же она нужна? Во-первых, что формула дает ответ на вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Во-вторых, применяется при решении уравнений с параметрами.

Пример1. При каком наименьшем натуральном а уравнение х 3 -3х +4-а=0 имеет одно действительное решение?

Так как по условию найти одно решение, то это возможно , если D >0.

; ;;

,

Решая методом интервалов, получаем . Наименьшее натуральное число из этих промежутков –число 1. Ответ: 1

Пример2 . В зависимости от параметра а найти число корней уравнения х 3 -3х-а=0.

p = –3; q =- a , ;

Решив методом интервалов, получаем: D >0 при -1 решение

D =0 при а =2 и при а=-2- 2 решения

2.7. Использование монотонности функции .

Этот способ основан на следующих утверждениях: 1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение f(х)=g(х) имеет не более одного решения; 3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример . Решить уравнение : . Решение: рассмотрим функцию у = и представим в виде суммы двух функций у = х 3 и у = 3х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1. Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х 3 +х-2=0. Решение. Запишем уравнение в виде: x 3 =2-x. Рассмотрим функции у=x 3 и у =2-x.Функция у=x 3 возрастает на всей области определения, а функция у =2-x убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1 действительно корень уравнения. Ответ: 1

2.8. Графический способ.

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в точке, с абсцисс0й

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

I I I . Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Решить уравнение: x 3 – 3 x 2 – 13 x + 15 = 0 .

Р е ш е н и е . 1 способ: метод понижения степени Из делителей свободного члена находим, что 1 является корнем. Делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем: x 2 – 2 x – 15 Решая квадратное уравнение: x 2 – 2 x – 15 = 0, находим корни: x ₁ = – 3 и x ₂ = 5 . Ответ : 1; -3; 5.
2 способ: T еорема Виета: Методом подбора:х=1; х=-3; х-5

3 способ: Формула Кардано:

Ввести замену х=у+1( ), получим , откуда у=0,у=4,у=-4. Подставив значения у в замену, получим значения х: х=1, х=5, х=-3.

4 способ: Метод неопределенных коэффициентов.

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором.

Так как а·d =15 , то будем искать решения среди вариантов:

Из равенства с-а=-3 получаем , что а=-5;с=2, а из d-10=-13 , d=-3, т.е. после разложения корнями будут числа х=1, х=5, х=-3.

Решая уравнения различными способами, я показал универсальность каждого метода, его оригинальность и рациональность. Сравнения различные способы решения кубических уравнений, можно сделать вывод : В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета и каждый способ нужен для решения своих задач в математике. Ясно одно, что формулу Кардано нужно применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум, на мой взгляд, самым надёжным и практичным способам — это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.

Я выдвинул гипотезу о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями и убедился, что такая формула существует.

В данной работе достигнуты цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров. Были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени.

Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях и способах их решения

Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.