Простейшие логарифмические уравнения на егэ

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Тренажер по подготовке к ЕГЭ по теме «Простейшие логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

1 . Найдите корень уравнения:

2. Найдите корень уравнения

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них.

1. Найдите корень уравнения:

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них.

1. Найдите корень уравнения:

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них.

1. Найдите корень уравнения:

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 273 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 19. Логарифмические уравнения

Другие материалы

• 06.12.2020
• 1361
• 226

• 06.12.2020
• 473
• 17

• 06.12.2020
• 2427
• 54

• 06.12.2020
• 231
• 7

• 06.12.2020
• 375
• 10

• 06.12.2020
• 260
• 5

• 06.12.2020
• 506
• 35

• 06.12.2020
• 281
• 18

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.12.2020 692
• DOCX 33.2 кбайт
• 113 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Воробьёва Наталья Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 51041
• Всего материалов: 34

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $\<\table \x^2-3x-5>0; \7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.