Показательные уравнения и неравенства
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции y = a x :
Свойство | a > 1 | 0 только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: 0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^<\frac Пример 1. Решите уравнение: Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен: 0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их: Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ: x = 3. Пример 2. Решите уравнение: Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней: Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Пример 3. Решите уравнение: Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ: x = 0. Пример 4. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней: Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x. Ответ: x = 0. Пример 5. Решите уравнение: Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет. Ответ: x = -1. Пример 6. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ: x = 2. Решение показательных неравенствПоказательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится: Тогда неравенство примет вид: Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство: Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t: Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем: Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству: Окончательно получаем ответ: Пример 9. Решите неравенство: Решение: Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: Воспользуемся заменой переменной: Исходное уравнение тогда принимает вид: Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке: Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательный ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение: Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1. Ответ: x = 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияСодержание: Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например: Уравнения такого вида принято называть показательными. Решении показательных уравненийПри решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции. Пусть Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s. Пример: Решение: Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению Пример: Решение: а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели: Решив это уравнение, получим Ответ: При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней. Пример: Решение: а) Данное уравнение равносильно уравнению Решая его, получаем: Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим Ответ: При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной. Пример: Решить уравнение Решение: Обозначим тогда Таким образом, из данного уравнения получаем откуда находим: Итак, с учетом обозначения имеем: При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной. Пример: Решить уравнение Решение: Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14). Пример: Решить уравнение Решение: Пример: При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2? Решение: Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство Решив это уравнение, найдем Ответ: при Показательные уравнения и их системыПоказательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений. 1 Приведение к одному основанию. Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда Пример №1Решите уравнение Решение: Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1. Пример №2Решить уравнение Решение: Переходя к основанию степени 2, получим: Согласно тождеству (2), имеем Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. 2 Введение новой переменной. Пример №3Решить уравнение Решение: Применив тождество 2, перепишем уравнение как Введем новую переменную: Получим уравнение которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит, Пример №4Решить уравнение Решение: Разделив обе части уравнения на получим: последнее уравнение запишется так: Решая уравнение, найдем Значение не удовлетворяет условию Следовательно, Пример №5Решить уравнение Решение: Заметим что Значит Перепишем уравнение в виде Обозначим Получим Получим Корнями данного уравнения будут Следовательно, III Вынесение общего множителя за скобку. Пример №6Решить уравнение Решение: После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим Системы простейших показательных уравненийПример №7Решите систему уравнений: Решение: По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе :Отсюда получим систему Очевидно, что последняя система имеет решение Пример №8Решите систему уравнений: Решение: По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе: Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим Пример №9Решите систему уравнений: Решение: Сделаем замену: Тогда наша система примет вид: Очевидно, что эта система уравнений имеет решение Тогда получим уравнения Приближенное решение уравненийПусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже. Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения . Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже: Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству Пример №10Найдите интервал, содержащий корень уравнения Решение: Поделив обе части уравнения на 2 , получим, Так как, для нового уравнения Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как, выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0). Нахождение приближенного корня с заданной точностьюИсходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу ПустьЕсли приближенный корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью. Пример №11Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью Решение: Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале (-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0). Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если Пусть Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0 При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг. АлгебраПлан урока: Простейшие показательные уравнения а х = bЕго называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2: Тогда уравнение будет выглядеть так: Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем: Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2 х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию. Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным. Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке. Сразу отметим, что если в ур-нии вида а х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически: Решая простейшее показательное уравнение мы специально представляли правую часть как степень двойки: После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида то его единственным решением является х = с. Задание. Найдите решение показательного уравнения Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели: Задание. Найдите корень уравнения Решение. Заметим, что число 625 = 5 4 . Тогда ур-ние можно представить так: Отсюда получаем, что х = 4. Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями. Задание. При каком х справедливо равенство Решение. Преобразуем число справа: Теперь ур-ние можно решить: Задание. Решите ур-ние Решение. Любое число при возведении в нулевую степень дает единицу, а потому можно записать, что 1 = 127 0 . Заменим с учетом этого правую часть равенства: Уравнения вида а f( x) = a g ( x)Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние Для его решения заменим показатели степеней другими величинами: Теперь наше ур-ние принимает вид Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней: При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания: В общем случае использованное правило можно сформулировать так: Задание. Найдите корень ур-ния Решение. Представим правую часть как степень двойки: Тогда ур-ние примет вид Теперь мы имеем право приравнять показатели: Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что С учетом этого можно записать Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели: Задание. Укажите корень показательного уравнения Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми: Тогда ур-ние примет вид: Задание. Найдите корень ур-ния Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями: С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5 3+х : Задание. При каких х справедлива запись Можно сделать преобразования, после которых в ур-нии останется только показательная функция 5 х . Для этого произведем следующие замены: Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен: Теперь множитель 5 х можно вынести за скобки: Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13. Задание. Найдите решение уравнения Решение. Преобразуем левое слагаемое: Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки: Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели: Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем: Задачи, сводящиеся к показательным уравнениямРассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике. Задание. Из-за радиоактивного распада масса слитка из изотопа уменьшается, причем изменение его массы описывается зависимостью m(t) = m0 • 2 – t/ T , где m0 – исходная масса слитка, Т – период полураспада, t – время. В начальный момент времени изотоп, чей период полураспада составляет 10 минут, весит 40 миллиграмм. Сколько времени нужно подождать, чтобы масса слитка уменьшилась до 5 миллиграмм. Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия: m0 = 40 миллиграмм; m(t) = 5 миллиграмм. В результате мы получим ур-ние из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40: Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества. Задание. На особо точных рычажных весах в лаборатории лежат два слитка из радиоактивных элементов. Первый из них весит в начале эксперимента 80 миллиграмм и имеет период полураспада, равный 10 минутам. Второй слиток весит 40 миллиграмм, и его период полураспада составляет 15 минут. Изначально весы наклонены в сторону более тяжелого слитка. Через сколько минут после начала эксперимента весы выровняются? Масса слитков меняется по закону m(t) = m0 • 2 – t/ T , где m0 и Т – это начальная масса слитка и период его полураспада соответственно. Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону а масса второго слитка описывается зависимостью Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m1 = m2): Делим обе части на 40: Основания равны, а потому приравниваем показатели: Уравнения с заменой переменныхВ ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию. Задание. Решите уравнение методом замены переменной Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 3 2 = 9. Тогда введем новую переменную t = 3 x . Если возвести ее в квадрат, то получим, что C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать: Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его: Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х: Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние: Задание. Найдите корни ур-ния Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4 4х+1 : Так как 1 4х+1 = 1, мы можем записать: Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4 4х+1 строго положительна при любом х. Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4) 4х+1 и (3/2) 4х+1 . У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что 9/4 = (3/2) 2 , поэтому и (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 . Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных. Произведем замену t = (3/2) 4х+1 , тогда (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 = t 2 . Далее перепишем ур-ние с новой переменной t: Снова получили квадратное ур-ние. Возвращаемся к переменной х: И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние: Графическое решение показательных уравненийНе всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений. Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3 х и у = 4 – х: Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния: Получили верное равенство, значит, х = 1 – это действительно корень ур-ния. Задание. Решите графически ур-ние Решение. Перенесем вправо все слагаемые, кроме 2 х : Слева стоит показательная функция, а справа – квадратичная. Построим их графики и найдем точки пересечения: Видно, что у графиков есть две общие точки – это (0;1) и (1; 2). На всякий случай проверим себя, подставив х = 0 и х = 1 в исходное ур-ние: Ноль подходит. Проверяем единицу: И единица тоже подошла. В итоге имеем два корня, 0 и 1. Показательные неравенстваРассмотрим координатную плоскость, в которой построен график некоторой показательной ф-ции у = а х , причем а > 0. Пусть на оси Ох отложены значения s и t, и t t и a s на оси Оу. Так как является возрастающей функцией, то и величина a t окажется меньше, чем a s . Другими словами, точка a t на оси Оу будет лежать ниже точки а s (это наглядно видно на рисунке). Получается, что из условия t t s . Это значит, что эти два нер-ва являются равносильными. С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во Представим восьмерку как степень двойки: По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно: Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3). Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее. Так как показательная ф-ция у = а х при основании, меньшем единицы, является убывающей, то окажется, что на оси Оу точка a s лежит ниже, чем a t . То есть из условия t t > a s . Получается, что эти нер-ва равносильны. Например, пусть надо решить показательное неравенство Выразим число слева как степень 0,5: Тогда нер-во примет вид По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так: а его решением будет промежуток (3; + ∞). В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный: Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило: Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы. Задание. Решите простейшее неравенство Представим число 64 как степень двойки: теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1): Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный: Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна. Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков: Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную. Задание. Найдите решение нер-ва Решение. Для начала представим число 3 х+1 как произведение: Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во: Получили дробь, в которой есть одна показательная ф-ция 3 х . Заменим её новой переменной t = 3 x : Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом: которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки: Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть Теперь произведем обратную замену t = 3 x : Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его: Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной. источники: http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva http://100urokov.ru/predmety/urok-7-uravneniya-pokazatelnye |