Простейшие тригонометрические уравнения часть 2

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 2

Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических уравнений: нарисовать единичную окружность, определить положения нужных точек и написать формулы для углов, соответствующим этим точкам.

Чтобы эта идея проявилась наиболее отчётливо, мы ограничились рассмотрением случаев, когда в правой части уравнений стояли табличные значения тригонометрических функций.

Теперь, когда главная идея ясна, можно перейти к общему случаю. Как же записываются решения простейших тригонометрических уравнений, если в правой части стоит произвольное число ?

Уравнение

Уравнение имеет решения только при условии . Рассмотрением таких мы и ограничиваемся.

Случай разобран в предыдущей статье. При решения уравнения изображаются горизонтальной парой точек тригонометрического круга, имеющих ординату .

Осталось записать эти решения.

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен числу .

Проблема, однако, в том, что таких углов бесконечно много – функция не получается. (Если последняя фраза для вас не ясна, то вам стоит прочитать нашу статью «Что такое функция?»)

Чтобы упомянутая функция существовала, нужно ограничиться определнным промежутком углов, на котором каждое значение синуса принимается только один раз. Самый удобный выбор – отрезок .

Взгляните на тригонометрический круг и убедитесь сами: любому значению синуса из промежутка [-1; 1] отвечает одно-единственное значение угла на отрезке .

Вот теперь наше соответствие, сопоставляющее числу угол такой, что , становится функцией. Эта функция носит красивое название – арксинус.

Арксинусом числа называется угол , такой, что .

Обозначение: . Область определения арксинуса – отрезок [-1; 1]. Область значений – отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забывайте только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Обратите внимание, что . Иными словами, арксинус является нечётной функцией.

Теперь мы готовы вернуться к уравнению . Снова изобразим горизонтальную пару точек с ординатой . Углы, отвечающие правой точке, обозначим . Углы, отвечающие левой точке, обозначим .

Не составляет труда записать эти углы:

Собственно, это и есть ответ. При желании можно объединить обе формулы в одну – с помощью конструкции, известной вам из предыдущей статьи:

При записи ответа в случае отрицательного можно использовать нечётность арксинуса.

Например, для уравнения имеем:

Уравнение

Уравнение также имеет решения лишь при . Случай рассмотрен в предыдущей статье.

Решения уравнения при изображаются вертикальной парой точек с абсциссой :

Как вы уже догадались, сейчас возникнет новая функция – арккосинус. Кто лучший кандидат в арккосинусы – верхняя или нижняя точка? Принципиальной разницы нет, но люди выбрали верхнюю. «Арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке .

Арккосинусом числа называется угол , такой, что .

Обозначение: . Область определения арккосинуса – отрезок [-1; 1]. Область значений –отрезок .

Промежуток выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно единственное значение угла из промежутка .

Внимание! Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Имеет место следующее очевидное соотношение:

Теперь мы можем решить уравнение для произвольного , удовлетворяющего неравенству .

Снова отметим на окружности вертикальную пару точек с абсциссой . Углы, отвечающие верхней точке, обозначим . Углы, отвечающие нижней точке, обозначим .

Легко написать формулы для этих углов:

Объединяем их в одну формулу и записываем ответ:

Уравнения и

Уравнение tg x = a имеет решения при любом a. Эти решения изображаются диаметральной парой точек:

Как и в случае арксинуса, роль арктангенса отведена правой точке. Точнее:

Арктангенсом числа называется угол , такой, что .

Обозначение: . Область определения арктангенса – промежуток . Область значений –интервал .

На нашем рисунке является одним из углов, соответствующих точке .

А почему в определении арктангенса исключены концы промежутка – точки ? Дело в том, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа , равного тангенсу какого либо из этих углов.

Записать решения уравнения совсем просто. Вспоминаем второе полезное наблюдение из предыдущей статьи (как описывать диаметральную пару) и пишем ответ:

Тем самым мы фактически разобрались и с уравнением при . В этом случае оно равносильно уравнению , и можно сразу записать ответ:

Но можно использовать и арккотангенс. Такая функция тоже существует, и вот её определение.

Арккотангенсом числа называется угол , такой, что ctg = a.

Тогда решения уравнения при любом имеют вид:

Подведём итог. Соберём формулы для решений простейших тригонометрических уравнений в небольшую таблицу.

Обратите внимание, что все частные случаи типа с которых мы начинали изучение простейших тригонометрических уравнений, тоже вписываются в эту схему. Однако стоит ли записывать, например, решение уравнения в виде

?
Ведь можно сделать это намного проще – так, как было показано в первой статье.

Простейшие тригонометрические уравнения часть 2

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)