Простейшие тригонометрические уравнения дидактический материал

методический материал «Система заданий по теме решние тригонометрических уравнений», 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Дидактический материал «Система заданий по теме «решение тригонометрических уравнений» составлен по 3-м урвням.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей курса элементарной математики. Она представляет собой раздел математики, посвященный изучению особого класса функций, называемых тригонометрическими.

Основной моделью, позволяющей наглядно проиллюстрировать понятие тригонометрической функции, является единичная окружность на плоскости с фиксированной системой координат, начало которой совпадает с центром окружности. Она же представляет некий инструмент для решения простейших тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. С помощью единичной окружности можно корректно записать ответ при решении тригонометрических уравнений, неравенств и их систем, учтя область определения уравнения (неравенства), а также исключив повторяющиеся решения. Так, если в результате решения уравнения мы получим две серии решений: x=π4k,k∈Ζ,

x=πn,n∈Ζ, то легко видеть, что числа x=πn,n∈Ζ, содержатся среди множества чисел x=π4k,k∈Ζ. Поэтому ответом будет x=π4k,k∈Ζ.

Единичная окружность позволяет проанализировать тригонометрические формулы, сравнив области определений функций, стоящих в левой и правой частях каждой из них, и выделить «опасные формулы». Назовем формулу «опасной», если области определений функций, стоящих в левой и правой ее частях, не совпадают. Бездумное применение такими формулами может привести к потере корней (или приобретению посторонних корней) уравнения.

Рассмотрим, например, формулу: tg 2 x = 2tgx1-tg2x. Найдем область определения функции у = tg 2 x : 2x≠π2+πk,k∈Ζ. Отметим точки, соответствующие недопустимым значениям х , на единичной окружности (рис 1).

1. Область определения функции у=2tgx1-tg2x : tg 2 x ≠ 0, x≠π4+π2m,m∈Z,

Решим уравнение ctg x + tg 2 x = 0 (1). В лучшем случае ученик решает так: ОЗД x≠πn,n∈Z,

x≠π4+π2k,k∈Z. Переходим к уравнению (2): 1tgx+2tgx1-tg2x=0.

Далее: 1-tg2x+2tg2x1-tg2x∙tgx=0; 1+ tg 2 x = 0. Ответ: действительных корней нет.

Да, действительно, действительных корней у уравнения (2) нет, но не у данного уравнения (1). Легко видеть, что числа вида x=π2+πk,k∈Z , удовлетворяют уравнению (1). Дело в том, что при замене tg 2 x выражением 2tgx1-tg2x происходит сужение области определения функции у = tg 2 x на множество π2+πk,k∈Z .

Пользоваться «опасными» формулами, конечно, можно, но каждый раз следить за изменением области допустимых значений уравнения (неравенства) при этом.

Учащиеся нередко сталкиваются и с такой проблемой, когда полученный ими ответ при решении тригонометрического уравнения не совпадает с ответом учебника или других учеников класса.

Кто прав в этой ситуации? И здесь нам поможет единичная окружность.

В качестве примера рассмотрим различные способы записи чисел, соответствующих точкам А, В, С окружности (рис. 4) B

1) x=π3+2π3k,k∈Z 5) x=π+2πn,n∈Z x

2) x = π+2 π l , l ∈Z x=π3+2πm,m∈Z C

x=±π3+2πm,m∈Z x=- π3+2πr,r∈Z Рис.4

3) x=-π3+2π3t,t∈Z 6) x=-π+2πn,n∈Z 4) x= π+2π3r,r∈Z x=±π3+2πm,m∈Z

Можно спорить, какой из перечисленных способов лучше, но ясно одно, что все они правильно указывают числа, соответствующие трем заданным точкам единичной окружности.

Опыт показывает, что учащиеся часто пренебрегают единичной окружностью, делая упор на заучивание формул для решения простейших тригонометрических уравнений, а потому решают фактически вслепую. В результате допускают ошибки.

Непреодолимым барьером для значительной части учащихся являются задачи с параметром, в том числе тригонометрические уравнения и их системы с параметром. При решении просто необходимо использовать не только единичную окружность, но и координатную прямую.

ТАБЛИЦА «ОПАСНЫХ» ФОРМУЛ.

Известны различные типы и методы решения тригонометрических уравнений: простейшие; решаемые разложением левой части на множители; приводимые к одной функции одного аргумента; однородные относительно sin x , cos x ; решаемые введением вспомогательного аргумента; используя свойство ограниченности выражения А sin x +В cos x и т.д. При решении любого уравнения я рекомендую учащимся использовать единичную окружность, а при необходимости и координатную прямую. Найдя область допустимых значений уравнения, желательно исключить на единичной окружности те точки (если такие есть), числа соответствующие которым не могут являться корнями данного уравнения. Затем надо постараться привести данное уравнение к одному или нескольким простейшим уравнениям. Решение полученных уравнений отметить на единичной окружности соответствующими точками. Окончательный ответ записывается наиболее рационально.

Особенно важно применение единичной окружности при решении уравнений:

1. с переменной в знаменателе;
2. содержащих функции тангенс и котангенс;
3. корни которых должны удовлетворять определенным условиям;
4. методом оценок.

Но при решении других типов не стоит игнорировать окружность, т.к. на заключительном этапе она поможет при отборе корней, при записи ответа. Решая уравнение, необходимо следить за изменением области допустимых значений уравнения. Она может меняться в результате тождественных преобразований, возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, при применении тригонометрических тождеств и т.д. При применении одних тригонометрических тождеств область допустимых значений уравнения может остаться неизменной, а при других – может расшириться или сузиться. Использование предлагаемой таблицы «опасных» формул, на мой взгляд, может помочь решить вопрос о потере или приобретении посторонних корней при применении различных тригонометрических тождеств.

Область допустимых значений левой части тождества

Область допустимых значений правой части тождества

Дидактический материал «Простейшие тригонометрические уравнения»

«Простейшие тригонометрические уравнения» (Дидактический материал с учетом уровневой дифференциации)

1-й уровень (состоит в достижении обязательного уровня математической подготовки, определенного стандартом математического образования).

1. sin x = 12. cos x = –13. cos x = 04. 2sin(– x) = 05. 3ctg (– x) = 06. 2cos x = 17. 2sin x = 8. 3tg x = 9. 2cos x = – 10. 2sin x = – 1

1. cos x = 12. sin x = –13. sin x = 4. 5cos(– x) = 05. 2tg(– x) = 06. 2sin x = 17. 2cos x =8. 2tg x = 29. 2sin x = – 10. 2cos x = – 1

2-й уровень (несколько усложнен по сравнению с уровнем 1; он не только способствует достижению учащимися обязательного уровня математической подготовки, но и создает условия для овладения алгебраическими знаниями и умениями на более высоком уровне).

1. sin x = 1 2. sin ( + 3x) = 0 3. cos 2x = – 14. tg (2 – x) = 15. 2sin 0,5x = 16. cos 4x = – 7. tg ( – 2x) = – 8. ctg 4x = 9. sin = – 10. ctg 3x = – 1

1. cos = 12. cos ( – 2x) = 03. sin 3x = – 14. tg ( – x) = 15. 2cos 0,5x = 16. sin 4x = – 7. tg ( – 2x) = – 8. ctg 3x = – 9. cos = – 10. ctg 4x = 1

3-й уровень (дает возможность учащимся достаточно интенсивно овладевать основными знаниями и умениями и научиться применять их в разнообразных усложненных ситуациях).

1. 2. 2cos x + 1 = 03. tg 2x = – 14. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

4-й уровень (задания, требующие не только свободного владения приобретенными знаниями и умениями, но и творческого подхода, проявления смекалки и сообразительности).

Система упражнений предназначена для закрепления навыков решения простейших тригонометрических уравнений, а также для развития умений работать с получающимися в результате решения уравнений сериями корней.

Уравнения 1–3 необходимы для закрепления навыков работы с усложненным (линейным) аргументом.Уравнения 4–6 позволяют научиться исключать из одной серии корней другую – постороннюю.Уравнение 7 позволяет отработать навыки объединения двух серий корней и записывать их в виде одной серии.Уравнение 8 позволяет научиться видеть, что одна из серий содержится в другой и выбирать в этом случае для записи правильного ответа нужную серию.

Ответы к проверочной работе 1 уровня:

Нечетные варианты Чётные варианты

+ 2πn, nZ 1. 2πn, nZ π + 2πn, nZ 2. — + 2πn, nZ +πn, nZ 3. πn, n Zπn, nZ 4. + πn, nZ + πn, nZ 5. πn, nZ+ 2πn, nZ 6. ( — 1)n + πn, nZ(- 1)n + πn, nZ 7. +2πn, n Z + πn, nZ 8. + πn, nZ + 2πn, nZ 9. ( -1)n+1+πn, nZ ( — 1)n+1+πn, nZ 10. +2πn, nZОтветы (к проверочной работе 2 уровня):

Нечетные варианты Чётные варианты

π + 4πn , 1. 4πn, + , 2. , + πn , 3. — + , — + πn, 4. — + πn, (- 1)n + 2πn , 5. + 4πn, , 6. ( — 1)n+1, , 7. 8. (- 1)n+1 9. 10. Ответы (к проверочной работе 3 уровня):

Нечетные варианты Четные варианты

1. (-1)n+1 2. 3. 4. 5. (- 1)n 6. 7. ( — 1)n 8. 9. ( — 1)n+1 10. ( — 1)n+1

Дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения»

Представлен дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения», 10 класс. Задания составлены для двух и более вариантов и проверяют умение находить арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс числа, решать простейшие тригонометрические уравнения, уметь делать отбор корней уравнения, решать уравнения. сводящиеся к квадратным и однородные уравнения.

Просмотр содержимого документа
«Дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения» »

Дидактический раздаточный материал

Тема: «Тригонометрические уравнения»

Учащиеся должны знать: а)формулы корней простейших уравнений ; б)методы решения тригонометрических уравнений; в)тригонометрические формулы; г)определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа.

Учащиеся должны уметь: а)находить арксинус, арккосинус и арктангенс числа; б)решать простейшие тригонометрические уравнения; в)уметь делать отбор корней уравнения; г)решать уравнения, сводящиеся к квадратным, однородные уравнения,

Учащиеся должны использовать полученные знания в практической деятельности.

Блок 1 «Простейшие уравнения» 3 часа

Блок 2 «Способы решения тригонометрических уравнений» 8 часов

Планируемые проверочные и контрольные работы

Тема :определение арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Верно ли равенство.

Верно ли равенство.

Тема: простейшие квадратные уравнения

Для фронтальной работы

Зачет «Простейшие тригонометрический уравнения»

Карта – задание на урок «Способы решения уравнений»

Решение уравнений, которые с помощью тригонометрических формул сводятся к простейшим.

Гл.8№87, 97, 116, 135, 150, 167(нечетные)

Решение уравнений, которые с помощью тригонометрических формул сводятся к простейшим.

Гл.8№87, 97, 116, 135, 150, 167(нечетные)

Решение уравнений, левая часть которых произведение нескольких сомножителей, а в правой части ноль.

Решение уравнений, левая часть которых произведение нескольких сомножителей, а в правой части ноль.

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим (квадратным).

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим (квадратным).

1. Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения на отрезке .

3. Решите уравнение:

.

4. Решите уравнение:

1. Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения на отрезке .