Простейшие тригонометрические уравнения конспект кратко

Конспект урока «Простейшие тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Методика преподавания математики и подхода к организации

учебного процесса в условиях реализации ФГОС»

ОРЛОВА ЕЛЕНА ВИТАЛЬЕВНА

МИНИ-ПРОЕКТ НА ТЕМУ

«РАЗВЁРНУТЫЙ ПЛАН УРОКА В СООТВЕТСТВИИ ФГОС»

Урок математики в 10 классе

Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения ( cos x = a , sin x = a )

Тип урока : урок открытия новых знаний.

Личностные:
— сформированность потребности в самовыражении и самореализации,
— сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

Коммуникативные:
— умение передавать информацию интонацией,
— слушать,
— интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество с одноклассниками и педагогом,
— умение грамотно выражать свои мысли,

Познавательные:
— умение строить речевое высказывание,

Регулятивные:
— предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

Формы организации работы обучающихся на уроке : индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения : частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, системные обобщения, самопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы», системно-обобщающая схема;

на партах обучающихся: памятка по решению тригонометрических уравнений, листы — консультации, учебник « Алгебра и начала математического анализа». 10 класс. Никольский С.М. и др. Базовый и углублённый уровни.

I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.

Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.). (слайд 1,2)

II. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

Цель: организация осознания ими внутренней потребности к построению учебных действий и фиксирование каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии.

Выберите и продолжите фразу: «Сегодня на уроке мы будем …»

1) решать задания, применяя понятия арксинуса, арккосинуса ;

2) упрощать тригонометрические выражения;

3) решать простейшие тригонометрические уравнения;

1. Опрос по теоретическому материалу:

а) Сформулировать определение арксинуса числа.

б) Сформулировать определение арккосинуса числа.

2. Устная работа практической направленности.
1) Вычислите:

а) arcsin

в) arcsin(- )

г) arccos(- )

д) -arcsin

3. Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет).

4. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2 которые соответствуют числам , , , , arcsin 0, arcsin ( слайд 3,4)

5. Проверить, верно ли равенство:

III. Объяснение новой темы.

Цель: учащиеся формулируют конкретную цель своих будущих учебных действий, какие знания им нужно построить и чему научиться.

Сегодня на уроке мы научимся решать с вами простейшие тригонометрические уравнения.

А.Эйнштейн говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. (слайд 5)

1 . Пусть дано простейшее уравнение cos t = a. (слайд 6)

t₁ = ar с cos a + 2 k, k Z

t ₂ = — ar с cos a + 2 m, m Z.

Эти серии можно записать так

t = ± ar с cos a + 2 n, n Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 7)

t = 2 n, n Z ;

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = + 2 n, n Z ;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 8)

t₁ = + 2k, k Z

t ₂ = — + 2m, m Z. Обе серии можно записать в одну серию

t = + n, n Z.

Задание 1. Решить уравнения: (слайд 9,10)

1) cos х = ;

2) cos х = — ;

4x = 2n, n Z

.

4)

,

.

5) (слайд 11)

,

,

.

6) Решите уравнение ; укажите корни, принадлежащие промежутку [-; -2]. (слайд 12)

а)

б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2; —]. (слайд 13)

1) с помощью окружности

2) с помощью графика функции

Ответ: а) ; б) .

Задание 2. Найти корни уравнения: (слайд 14)

1) a) cos x =1 б ) cos x = — 1 в ) cos x = 0 г ) cos x =1,2 д ) cos x = 0,2

2) а) б) в) г)

ФИЗМИНУТКА (слайд 15)

Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру8.

Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак бесконечности ∞.
Задание 3: Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 2-3 раза.

Быстро встали,
Тихо сели,
Головами повертели,
Сладко, сладко потянулись
И друг другу улыбнулись,
Рот закрыли на замок,
Продолжается урок.

В двух кошельках лежат две монеты( т. е. внутри первого кошелька – одна монета и внутри второго кошелька – одна монета), причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

Ответ: один кошелек лежит внутри другого

Всегда ли уравнения решаются по формуле?

Ответ учащихся : существуют и частные случаи решения уравнений

2 . Пусть дано простейшее уравнение sin t = a. (слайд 16)

t₁ = ar с sin a + 2 n, n Z

t ₂ = — ar с csin a + 2 n, n Z.

Эти серии можно записать так

t = ( -1) k ar с sin a + k, k Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 17)

t = + 2 n, n Z

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = — + 2 n, n Z;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 18)

t₁ = 2k, k Z,

t₂ = + 2m, m Z.

Обе серии можно записать в одну серию

t = n, n Z ;

Задание 3. Решить уравнения: (слайд 19)

1) sin х = ;

,

;

,

;

,

.

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1) k + k, k Z .

2) sin х = —; (слайд 20)

,

;

,

;

,

.

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1) k ( — + k, k Z или x = ( -1) k+1 + k, k Z .

IV Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель: организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий по теме; организовать самопроверку учащимися своих решений; создать ситуацию успеха для каждого ребенка

Найти корни уравнения : (слайд 21)

2) а) б) в) г)

Следующее задание — р ешить уравнения. ( слайд 22)

Конспект занятия » Простейшие тригонометрические уравнения»

Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели занятия:

• Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
• Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

• Развивать математическое мышление.
• Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.

• Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.

Тип занятия: комбинированный.

Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений.

ТСО: компьютер, интерактивная доска.

Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.

Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций.

Междисциплинарные связи: физика, информатика, геодезия, техническая механика, геофизика, гидрогеология.

Ход занятия:

1. Организационный момент:

Проверка отсутствующих, заполнение журнала.

Постановка темы и целей урока.

1. Проверка знаний:

Фронтальный опрос (устные вопросы слайд №2)

1. Дайте определение функции . Назовите ее область определения и область значения.
2. Чему равен ?
3. Сформулируйте определение арккосинуса числа.
4. Чему равен ?
5. Дайте определение функции . Назовите область определения и область значения этой функции.
6. Чему равен ?
7. Дайте определение арккотангенса числа.
8. Чему равен ?

Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций:

Проверка домашней работы:

Студентам предлагается исправить ошибки решенной на доске домашней работы и сделать соответствующие комментарии. (6 человек по 1 примеру)

Домашняя работа на доске с ошибками:

Остальные студенты сверяют решение домашнего задания по своим тетрадям.

1. Объяснение нового материала:

Актуализация опорных знаний:

Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,

так как они используются при решении тригонометрических уравнений.

В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?

Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.

Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.

Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.

3.1 (Слайд № 3: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)

Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим уравнение вида .

Так как , то уравнение при и не имеет решений.

Период синуса равен , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины . Из рисунка видно что, что на отрезке синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно, на этом отрезке . На отрезке синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что . Если , то

, и поэтому решением уравнения на отрезке будет .

Для получения всех решений уравнения к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида где .Следовательно,

Обе серии решений можно объединить:

называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)

3.3 (Слайд № 5: Частные случаи уравнения . )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а=-1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.4Уравнение вида: (Слайд №6: уравнение вида: )

Рассмотрим уравнение . При и уравнение не имеет решений, так как .

Так как период косинуса равен , то при для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины . Удобнее всего выбрать отрезок . Очевидно, что уравнение на отрезке имеет решение , а на отрезке — решение так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке уравнение имеет решения

Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по , где . В итоге получим бесконечное множество решений

3.5(Слайд №7: Частные случаи уравнения )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а= -1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.6 Уравнения вида: , (Слайд №8: уравнения вида: , : )

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения , достаточно найти все его решения на любом отрезке длины . По определению арктангенса решение уравнения на промежутке есть .

Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины , прибавить . Следовательно,,

И решение уравнения

(Слайд № 9:Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)

Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Общее решение

Частные случаи

Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.

4.Обобщение и систематизация знаний:

Решение примеров у доски.

1. Подведение итогов занятия:

Сегодня мы с вами познакомились с формулами для решения простейших тригонометрических уравнений и закрепили их при решении задач. На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения. Активным студентам выставление оценок.

Домашнее задание: §28, решить примеры (Слайд№10: домашнее задание).

Примеры для домашнего задания.

1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.
2. Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с.

Простейшие тригонометрические уравнения конспект кратко

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: