Простейшие тригонометрические уравнения простейшие тригонометрические неравенства конспект

Конспект урока на тему «Решение тригонометрических неравентсв»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение тригонометрических неравенств.

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для
восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и
вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические
неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших
тригонометрических неравенств.

Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р _t1, другую точку – Р _t2 .

Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток удовлетворяющий данному неравенству.

Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

Определяем направление движения по дуге (от точки Р _t1 к точке Р _t2 по дуге ),
изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для
контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения
неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности ).

Находим координаты точек Р _t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р _t2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t ₁ и t _2.

Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Конспект урока по теме: “Решение
тригонометрических неравенств”.

– изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

 закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

 формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

 освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

 развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;

 воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.

 формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.

Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок — лекция.

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса, устного иписьменного самоконтроля, самостоятельной работы. Учебная дисциплина: Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

развитие умения обобщать полученные знания;

развитие логического мышления;

развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

учить высказывать свои идеи и мнения;

формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Дидактическая цель урока: Создание условий:

для соединения новой информации с уже изученным материалом;

для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

учебник Никольского «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

презентация MS PowerPoint.

Оргмомент 1 мин

Проверка д\з 3 мин

Объяснение нового материала 35 мин

Подведение итогов 3 мин

2. Проверка д\з у доски №11.29-11.31(в,г)

3.Объяснение нового материала

На этом занятии мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим тригонометрических неравенства вида sint . Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период синуса ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса. Также используем свойство нечетности функции y=sinx ( sin (-x)=-sinx ), периодичность синуса (наименьший период Т=2π ) и известное равенство: sin (π-x)=sinx . Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t . Возвращаемся к первоначальному значению аргумента ( 2х ). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х . Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t . Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤ а ≤1) справедлива формула:

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Мы решили три неравенства вида sint . На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a , где -1≤а≤1 .

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t , удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х. Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида: sint≥a. Далее мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга) применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута . Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Рассмотрим неравенства вида cost :

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса Т=2π ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функции y=cosx также называют синусоидой !)

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функции y=sinx ., т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx .

Определяем промежуток значений х , при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Ответ запишем в виде промежутка.

А теперь формула , которой вам следует воспользоваться на экзамен ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost

Примените эту формулу для решения рассмотренных неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

Используем алгоритм решения, как в предыдущем случае:

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми синусоида располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t , при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х .

Выделяем промежуток значений t , при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t, удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен 2π . Возвращаемся к переменной х , постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Нас будет интересовать промежуток значений t , при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2х и выразим х . Ответ запишем в виде числового промежутка.

И снова формула , которой вам следует воспользоваться на ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.

Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства
план-конспект занятия

1) образовательная: организовать деятельность студентов по изучению и первичному закреплению простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

2) воспитательная: воспитывать самостоятельность, информационную компетентность;

3) развивающая: развивать внимание, память, познавательный интерес к учебной дисциплине.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Технологическая карта практического занятия

Название УД, ПМ, раздела, МДК: Математика

Специальность, группа: 09.02.07 Информационные системы и программирование, 14 группа

Тема занятия: Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства

1) образовательная: организовать деятельность студентов по изучению и первичному закреплению простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

2) воспитательная: воспитывать самостоятельность, информационную компетентность;

3) развивающая: развивать внимание, память, познавательный интерес к учебной дисциплине.

• обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

• обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

• обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

Умение организовать собственную деятельность, определение методов и способов выполнения профессиональных задач, оценивание их эффективности и качества.

Уровень освоения: 1,2.

Междисциплинарные связи: истоки, выход

Материально-техническое оснащение: ПК, презентация, проектор, интерактивна доска.

Учебно-методическое оснащение: рабочая программа, презентация, КТП, технологическая карта урока, практическая работа.

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.
4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
6. Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
7. Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

Этапы урока

Содержание

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

Формулировка цели урока.

– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

Решить тригонометрические уравнения:

sinx = —, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

cosx = —, cos2x = 1, tgx = -1.

Повторение.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1) sinx —;

t₁ = arccos(-) = p – arccos =

= p – = ;

t_{2 = —};

— + 2p n t₂;

t₁ = arcsin = ;

t_{2 =} -p — = —;

+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

2p n 2 + () 2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

1. cosx > sin 2 x;
2. 4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
3. sinx + cosx > 1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

Подведение итогов, рефлексия.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Вариант 1

Решите неравенства 1 – 3:

1. sin3x – 2 x + 3cosx > 0;
2. coscos2x – sinsin2x —.
3. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

Решите неравенства 1 – 3:

1. 2cos> 1;
2. sin 2 x – 4sinx