РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Простейшие тригонометрические уравнения задания для решения
1. Решить уравнение cos2x = 1/2.
Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:
2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).
Откуда x = ±π/6 + πn.
Ответ: x = ±π/6 + πn.
2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.
Используем формулу из методов решений, имеем:
3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).
Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:
1 — 2sin2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:
Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.
Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).
Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.
4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.
Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение
2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.
Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.
Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.
Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:
tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.
tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.
Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.
5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.
Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.
Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.
Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).
Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.
Ответ: x = -π/4 + πn.
6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Проделаем следующие преобразования
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;
2cos4xcos2x + cos4x = 0;
cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.
Имеем два случая:
cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).
2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).
Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.
7. Решить уравнение cos5x = cos2x.
Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:
sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;
Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.
Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).
Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).
Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.
8. Решить уравнение sin3x — 2cos2xsinx = 0.
Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:
sinx(sin2x — 2cos2x) = 0.
Уравнение распадается на два случая:
sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).
sin2x — 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:
Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm
9. Решить уравнение 4sin2x — 3sinxcosx + 5cos2x = 3.
Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:
sin2x — 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;
sin2x — 3sinxcosx + 2cos2x = 0.
А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).
1 — 3ctgx + 2ctg2x = 0;
2ctg2x — 3ctgx + 1 = 0.
Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:
Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.
Возвращаемся к неизвестному x и получаем
из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);
из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).
Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.
10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.
Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:
t3 — 2t2 + 3t — 2 = 0;
t2(t — 1) — (t2 — 3t + 2) = 0;
t2(t — 1) — (t — 2)(t — 1) = 0;
(t — 1)(t2 — t + 2) = 0;
Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: x = π/2 + 2πn.
11. Решить уравнение 4sinx — 3cosx = 3.
Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.
Замена же приводит к следующему уравнению:
Делая преобразования получаем 8y = 6;
Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда
x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).
Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.
12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
(sin(3x + 8x) + sin(3x — 8x))/2 = 1;
sin11x — sin5x = 2.
Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.
Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).
Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).
Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.
π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;
(4n + 1)π/22 = (4m — 1)π/10;
5n = 11m — 4 (n, m ∈ Z).
Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).
Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).
Ответ: x = 3π/2 + 2πt.
13. Решить уравнение ctg2x = cos22x — 1.
Сделаем преобразование cos22x — 1 = -sin22x и получим:
Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.
Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).
Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).
Найдем общее решение:
n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).
Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).
Ответ: x = 3π/2 + πt.
14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
(sin8x — sin2x)/2 = 1;
sin8x — sin2x = 2.
Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.
Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).
Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**).
Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:
π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;
Левая часть уравнения делится на 4, правая — нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.
Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.
Уравнения cosx = a и sinx = a
Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:
Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.
7.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
8.
9.
10.
11.
12.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
13.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то
Мы получили первую серию решений x1. А если k нечётно, k = 2n + 1, то
Это вторая серия x2.
Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1) k обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
14.
15.
16.
17.
18.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:
Но поэтому
Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.
Уравнение tg x = a
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.
19.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
20.
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
21.
22.
23.
24.
25.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;
• при уравнение равносильно уравнению
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
http://www.sites.google.com/site/cortimoi/zadaci-s-reseniem-1
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/