Простейшие уравнения с модулем 8 класс мордкович

«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича (профильный уровень) по теме «Алгебраические уравнения».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока в восьмом классе по учебнику А.Г. Мордковича ( профильный уровень), по теме : «Алгебраические уравнения», 14 урок по теме, параграф № 37, « Уравнения с модулями».

«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».

Урок разработан учителем

школы №74, г.Н.Новгорода

Шаповаловой Еленой Владимировной.

Цели урока :- формирование умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений; осуществлять поиск решения задач синтетическим методом; учиться наблюдать и анализировать.

Тип урока : Изучение нового материала.

1) Повторение изученного материала;

2) Актуализация прежних знаний и способов действия;

3) Мотивация учебной деятельности;

4) Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.

2. Операционно-познавательный этап.

1. Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов решения)

3. Рефлексивно-оценочный этап.

1. Сопоставление целей и результатов урока;
2. Первичный контроль усвоения знаний;
3. Постановка домашнего задания;
4. Подведение итогов урока.

( к уроку прилагается презентация )

На доске записаны задания:

1) |х|=5; Сколько корней имеет данное уравнение?

Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?

2) |х-3|=5. Какие способы вы можете предложить для решения данного уравнения?

После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.

х-3=5 х-3=-5 у=|х-3|, сдвиг графика

х=8 х=-2 у=|х| на 3 ед. вправо.

Ответ: х=8,х=-2. У=5 –прямая || оси абсцисс.

3) Прочитать и объяснить словесную запись:

П.О.( предполагаемый ответ)Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

П.О.Найти точки, которые находятся от точки -5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

Вопрос: В чем заключается геометрический смысл модуля?

П.О. Расстояние между точками на координатной прямой.

4) Записать аналитическую модель рисунка:

5) |х-2|=3 Вопрос: в чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Вопрос: как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

6) Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля |х+5|=3, найдите его корни, используя координатную прямую.

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки -5.

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

П.О. Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

а) найдем расстояние между точками -5 и 2.

б) т.к. х равноудалена от точек -5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2=3,5

в) найдем координату точки: -5+3,5=-1,5 или 2-3,5=-1,5

Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.

2 этап урока . Учащиеся записывают в тетрадь тему урока: « Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.»

1).Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

П.О. Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2.

Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

Найдите расстояние между точками 2 и 1.

Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1;2].

Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

П.О. Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

3).|х-1|+|х-2|=3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?

П.О. Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

Уравнение имеет 2 корня: х=0;х=3.

4).Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение:

5).|х-3|-|х-7|=4 В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

П.О. Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

Т.к. расстояние между 3 и 7 равно4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

6).|х-7|-|х-3|=-4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ , обязательно изобразить решение на координатной прямой).

Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.

П.О. Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.

Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:

и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений

Подведем итог урока:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, вы знаете?

В чем заключается геометрический смысл модуля?

Запишите в тетради задания на дом:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Геометрическая интерпетация при решении уравнений, содержащих знак модуля

Материал данного урока содержит «нестандартный» метод, который позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8.

Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы

Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы 1. Уравнение вида If(x)I =a, a €RРешение: ·.

Открытый урок с использованием информационных технологии по теме «Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины».

Математика в школе – это достаточно сложный предмет для ребенка. Использование на уроках математики новых информационных технологии позволяет повысить интерес к предмету и мотивацию учащих.

Решение уравнений, содержащих знак модуля (абсолютной величины)

В настоящее время на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в различные учебные заведения предлагаются уравнения с модулем и параметрами, решения которых часто вызывает.

Доклад «Решение уравнений, содержащих знак модуля»

Решение уравнений, содержащих знак модуля и параметры

презентация к уроку.

Элективный курс «Уравнения и неравенства содержащие знак абсолютной величины»

Данный элективный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний по математике.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241258 0

План-конспект урока по математике на тему «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Решение уравнений с модулем

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Автор: Я.А. Каменский

Цель : повторить понятие модуля действительного числа, свойства модуля; повторить понятия: уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, модуль действительного числа, сформировать навыки решения уравнений, содержащих знак модуля, рассмотреть решение некоторых типов уравнений с модулем, научиться решать уравнения с большим числом модулей, способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты, развивать самостоятельность.

Задачи : систематизировать знания учащихся по теме, совершенствование знаний и умений, обеспечить условия для формирования навыков решения уравнения с модулем, развивать аналитическое мышление, внимание, развивать коммуникативные качества, воспитывать чувство ответственности, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, привычки к регулярному труду, потребности к самоконтролю, стимулирование познавательной активности, развитие их речи, памяти, внимания, воли.

Тип урока : комбинированный.

Методы работы : наглядный, практический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, метод контроля, словесный.

Формы работы : фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная

1.Организационный момент: сообщается тема, цель урока (3 мин)

определение уравнения, линейного уравнения, квадратного уравнения

что значит решить уравнение, что такое корень уравнения

определение модуля числа (алгебраическое и геометрическое) ( Модулем действительного числа а (абсолютной величиной числа а) называют расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета и обозначают │а│)

какие уравнения являются уравнениями с модулями

На магнитной доске прикреплены карточки с уравнениями.

|х+1|=0
— как называются эти уравнения, чем они отличаются друг от друга? ( это уравнения с модулем; в правой части уравнения стоят положительные числа, 0 и отрицательные)

— разделите их на группы и назовите, по какому принципу вы их группировали ( в первой группе в правой части — положительное число (а, во второй — нуль (а=0), в третьей – отрицательное (а)

— сколько корней имеет каждое уравнение

Предлагается решить по одному уравнению из каждой группы (вызывается к доске ученик).

3.Изучение новой темы ( 15 мин)

Существует несколько способов решения уравнений с модулем.

1. Метод последовательного раскрытия модуля.

Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

2. Метод интервалов или по определению модуля числа.

Проверка д/з № 5.132

Ответы: 2) -2; 4) 6; 6) -5; 4; 6; 8)-2; 0; 1.

ЗАДАНИЕ «НАЙДИ ОШИБКУ».

На доске записано решение уравнения. Учащимся предлагается найти ошибку. Уравнение решено правильно, тем самым учащиеся закрепляют метод решения уравнения с модулем.
Решить уравнение: |х 2 -8х+5|=| х 2 -5|.
Решение.
|х 2 -8х+5|=| х 2 -5|
х 2 -8х+5= х 2 -5 или х 2 -8х+5=-х 2 +5,
-8х+10=0, 2х 2 -8х=0,
х=1,25. х(2х-8)=0,
2х-8=0,

4.Проверка понимания учащимися нового материала ( 13 мин)

Выполните тест (рылейная контрольная работа)

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней ; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 4; -11 ; г) 7; -7.
3. Решите уравнение |2х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,5 ; г) 0,5.
4. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; -3; б) -2; 3; в) 2; 3 ; г) -2; -3.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -1?
а) -3; б) -3; 1; в) нет корней ; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=5:
а) 5; б) -5; в) 2; -8 ; г) 5; -5.
3. Решите уравнение |5х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,2 ; г) 0,2.
4. Решите уравнение |5х-2|=4-х:
а) 0,5;1; б) -0,5;-1; в)-0,5;1 ; г) 0,5; 1.

5.Анализ домашнего задания(4 мин).

6.Итог урока. Выставление отметок (3 мин).

Карточка для «рылейной» контрольной работы.

Удобно для быстрой проверки распечатать самостоятельную работу на цветной бумаге для разных вариантов.

Учащиеся отвечают, выбирая правильный вариант ответа. Для проверки требуется сложить по вариантам и проколоть правильные варианты ответа шилом или иголкой. Совпадения проколов на бланке ответа и ответов учащихся показывают на количество баллов за работу. Раздаются бланки учащимся, и учащиеся проверяют работу самостоятельно.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 4; -11; г) 7; -7.
3. Решите уравнение |2х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,5; г) 0,5.
4. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; -3; б) -2; 3; в) 2; 3; г) -2; -3.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -1?
а) -3; б) -3; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=5:
а) 5; б) -5; в) 2; -8; г) 5; -5.
3. Решите уравнение |5х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,2; г) 0,2.
4. Решите уравнение |5х-2|=4-х:
а) 0,5;1; б) -0,5;-1; в)-0,5;1; г) 0,5; 1.