Пространственная система параллельных сил уравнения

Равновесие тела под действием пространственной системы сил

Содержание:

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Условия равновесия тела, находящегося под действием пространственной системы произвольных сил

Поскольку любую пространственную систему произвольных сил можно свести к одной силе — главного вектора и одной пары — главного момента , приложенные к телу, то для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент одновременно равны нулю:

Причем, если = 0, то R_x = 0, R_y = 0 и R_z = 0, а если = 0, то M_x = 0, M_y = 0 и M_z = 0.

Проекции главного вектора на оси пространственной декартовой системы
координат равны

Проекции главного момента на эти же оси координат равны

Далее, с учетом уравнений, выражение можно окончательно представить в виде уравнений равновесия тела под действием пространственной системы произвольных сил:

На основании этих уравнений состоят конкретные уравнения равновесия тела.

Таким образом, для равновесия тела, находящегося под действием пространственной
системы произвольных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы
проекций всех сил на оси пространственной декартовой системы координат и
алгебраические суммы моментов всех сел относительно этих осей равны нулю.

Условия равновесия тела, находящегося под действием пространственной системы параллельных сил

Если силы, приложенные к телу, расположенные в пространстве, но параллельны, то можно так выбрать систему координат, чтобы одна из осей (например, ось z) была параллельна данным силам (рис. 1.53). Тогда две другие оси (x, y) будут образовывать плоскость, которая будет перпендикулярной этим силам. Проекции заданных сил на оси x и y будут равны нулю. Как силы, параллельные оси, заданные силы не создают моментов относительно оси z.

Теперь, если принимать во внимание условия выше, то для пространственной системы параллельных сил три условия равновесия по данной системе выпадают, а остаются три другие. Итак, для равновесия пространственной системы параллельных сил имеем следующие уравнения равновесия:

Таким образом, для равновесия тела, находящегося под действием пространственной
системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
проекций всех сил на ось, которая параллельная силам, и алгебраические суммы
моментов относительно двух других осей равны нулю.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы относительно оси

Предположим, что есть тело, к которому приложена пространственная система
произвольных сил . , , . , что сведено к равнодействующей , которая приложена к телу в точке C (рис. 1.54). Приложим к точке C уравновешивающую
силу , которая по модулю равна равнодействующей силе , расположенная с ней
на одной прямой, но имеет противоположное направление.

В этом случае тело, которое находится под действием системы сил . , , . и уравновешивающей силы , будет в состоянии равновесия, а это означает, что алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно любой оси декартовой системы координат должна равняться нулю. Возьмем сначала ось x и для нее запишем данное условие равновесия

Найдем из этого выражения момент силы относительно оси x. Он будет равняться

Поскольку модуль силы равен модулю силы , но они имеют противоположное направление, то = –. А это значит, что m_x () = –m_x (). Подставим значение этого момента, получим

Такие условия можно составить в отношении двух других осей.

Таким образом, если пространственная система произвольных сил сводится к
равнодействующей, то момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.

Пример равновесия тела под действием пространственной системы произвольных сил

Есть горизонтальный вал трансмиссии (рис. 1.55), который несет два шкивы C и D ременной передачи и может вращаться в подшипниках A и B. Радиусы шкивов равны r_C = 0,2 м, r_D = 0,25 м. Натяжения ветвей ремня на шкиве C — горизонтальные и , причем, = 2 = 4905 Н. Натяжения ветвей паса на шкиве D — и , причем = 2 , с вертикалью они образуют угол α = 30º. Размеры вала равны: a = b = 0,5 м, с = 1 м.

Система находится в равновесии.

Определить натяжения и и реакции подшипников A и B.

Решение.

Рассмотрим равновесие вала AB со шкивами C и D. Освободим вал от связей, заменив их соответствующими реакциями. В подшипниках реакции расположены в плоскости, перпендикулярной оси вала AB. Таким образом, реакции подшипников A и B расположены соответственно в плоскости xAz и в плоскости, параллельной к ней и проходит через точку B. Неизвестный вектор каждой реакции подшипников в плоскости определяется двумя проекциями на оси x и z, как это показано на рис. 1.55. После сделанных
предположений, полученная пространственная система произвольных сил, находится в
состоянии равновесия.

Запишем на основании условий равновесия соответствующие уравнения равновесия пространственной системы произвольных сил.

Как видно из полученной системы уравнений равновесия, второе уравнение отсутствует, поскольку среди сил, приложенных к телу, нет таких, которые бы могли быть спроецированы на ось y (т. е. все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси y). Однако, данная система является статически обозначенной, поскольку число неизвестных величин (t₂, X_A, Z_A, X_B, Z_B) равно числу уравнений равновесия — 5.

Если подставить в данную систему уравнений числовые значения величин, заданные (учитывая, что по условию задачи = 2) и решить эти уравнения относительно неизвестных, получим следующие ответы:

Значения неизвестных величин X_A и X_B отрицательные, а это означает, что, фактически, эти реакции, которые показаны на рис. 1.55, имеют противоположное направление.

Для окончательного определения реакций подшипников в точках A и B необходимо добавить геометрически их составляющие. А именно

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

iSopromat.ru

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Техническая механика

Пространственная система сил

Пространственная система сходящихся сил

Система сил, линии действия которых расположены в различных плоскостях, называется пространственной системой сил .

Пространственная система сил называется сходящейся , если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке.

Теорема: пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей, которая равна векторной сумме этих сил; линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.

Пусть дана пространственная система n сходящихся сил (F₁, F₂, F₃. F_n) . На основании следствия из аксиом III и IV перенесем все силы системы вдоль линий действия в точку их пересечения. Затем на основании аксиомы параллелограмма последовательно сложим все силы и получим их равнодействующую:

Силовой многоугольник пространственной системы сил не лежит в одной плоскости, поэтому геометрический и графический способы нахождения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил неприемлемы, а применяется только аналитический способ (метод проекций) .

Проекция силы на ось в пространстве находится по проецирующим перпендикулярам, и может быть определена при помощи тригонометрических функций. При определении проекций сил пространственной системы потребуется система координат с осями X , Y , Z , поскольку силы системы не располагаются в одной плоскости.

Правило знаков для проекций будет таким же, как и для плоской системы сил – совпадающие по направлению с координатной осью силы считаются положительными, в противном случае – отрицательными. Если вектор силы параллелен какой-либо оси координат, то он проецируется на эту ось в натуральную величину, если же вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось будет равна нулю.

Разложение силы по трем осям координат

Пусть дана сила F (см. рисунок 1) .
Возьмем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с началом вектора силы F (т. е. с точкой приложения силы). Из конца этого вектора опустим перпендикуляр на плоскость xy и разложим силу F на составляющие F_xy и F_z , а составляющую F_xy – на составляющие F_x и F_y . Тогда:

Достроим полученное изображение до параллелепипеда, у которого составляющие F_x , F_y и F_z являются ребрами, а сила F – диагональю.

Из изложенного можно сделать вывод: равнодействующая трех взаимно-перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах .

Из рисунка видно, что в случаях разложения силы F по трем взаимно-перпендикулярным направлениям x , y , z составляющие F_x , F_y и F_z равны по модулю проекциям силы F на эти оси.

Зная проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси координат, можно определить модуль и направление вектора силы по формулам:

модуль силы: F = √(F_x 2 + F_y 2 + F_z 2 ) (здесь и далее √ — знак корня) ;

направляющие косинусы: cos(F,x) = Fx/F; cos(F,y) = Fy/F; cos(F,z) = Fz/F .

Аналитический способ определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил

Рассмотренный выше способ разложения силы F на три составляющие по направлению координатных осей x , y , z можно применить для каждой из сходящихся сил пространственной системы. Тогда вместо данной системы n сходящихся сил мы получим эквивалентную ей систему 3n сил, из которых n сил действуют по оси x , n сил – по оси y , и n сил – по оси z .
Равнодействующая проекций сил системы на ось x равна их геометрической сумме, то же самое можно сказать и о равнодействующих проекций сил на оси y и z .
Таким образом, систему 3n сил можно заменить эквивалентной ей системой трех сил, каждая из которых представляет собой равнодействующую проекций сил данной системы на ту или иную ось координат.

Проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси и составляющие силы, направленные по этим осям, равны по модулю, следовательно, проекции равнодействующей равны:

Очевидно, что равнодействующая трех взаимно перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и по известным проекциям равнодействующей можно определить модуль и направление самой равнодействующей.

Аналитические условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Известно, что пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей. Если такая система сил находится в равновесии, т. е. эквивалентна нулю, то можно сделать вывод, что равнодействующая этой системы равна нулю, а следовательно, и проекции равнодействующей тоже равны нулю, причем эти проекции равны сумме проекций составляющих.
Отсюда вытекают условия равновесия пространственной системы сходящихся сил:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣZ = 0 .

Эти условия формируются следующим образом: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую их трех координатных осей равнялась нулю.

Момент силы относительно оси

Рассмотрим колесо червячной передачи, укрепленное на валу, вращающемся в подшипниках (см. рисунок 2) . Червяк передает червячному колесу силу F , не лежащую в плоскости, перпендикулярной оси.

Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие F₁ , F₂ и F₃ .
Составляющую F₁ назовем окружной силой , составляющую F₂ – осевой силой , а составляющую F₃ – радиальной силой .
Из рисунка видно, что составляющая F₁ вызывает вращательное действие, которое измеряется произведением силы F₁ на радиус колеса r ; составляющая F₂ стремится сдвинуть червячное колесо вдоль оси, а составляющая F₃ стремится изогнуть ось колеса.
Очевидно, что вращающее действие сил F₂ и F₃ относительно оси колеса равно нулю.
Таким образом, если нужно найти момент силы относительно оси, то следует принимать в расчет только составляющую F₁ , лежащую в плоскости, перпендикулярной оси, и не пересекающую ось (иначе ее момент будет равен нулю).

Ранее было отмечено, что проекция вектора силы на ось есть скалярная алгебраическая величина. В отличие от проекции на ось проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как эта проекция характеризуется не только числовым значением, но и положением на плоскости, т. е. направлением.
Поэтому моменту силы относительно оси можно дать такое определение: моментом силы относительно оси называется величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Это определение поясняет рисунок 3 .
Момент силы относительно оси условимся записывать следующим образом:

Условимся считать момент силы положительным, если смотреть с положительного конца оси и сила стремится вызвать вращение против часовой стрелки, если же сила стремится вызвать вращение по часовой стрелке, ее момент считаем отрицательным.

Момент силы относительно оси не меняется при перемещении силы вдоль оси ее действия.

Момент силы будет равен нулю в двух случаях (не считая случаев, когда сила равна нулю или направлена вдоль оси):

• если вектор силы параллелен оси, так как при этом проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю (см. рисунок 3, сила F_Z) ;
• если линия действия силы пересекает ось, так как при этом плечо равно нулю (сила F₃ на рисунке 2) .

Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Пространственная система сил, в которой линии действия составляющих сил расположены произвольно, т. е. линии их действия могут не пересекаться и находиться в разных плоскостях, называется произвольно расположенной системой сил.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Строгое обоснование приведенного выше условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил требует знания некоторых вопросов, не предусмотренных программами учреждений среднего профессионального образования, поэтому условие равновесия такой системы здесь приводится без доказательства.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

• ΣX = 0; ΣMx(Fi) = 0;
• ΣY = 0; ΣMy(Fi) = 0;
• ΣZ = 0; ΣMz(Fi) = 0.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно-перпендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.
Если система сил, приложенных к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и трех вращений тела под действием сил системы исключена, поэтому тело будет находится в равновесии.

Очевидно, что все выведенные ранее условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справедливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть уравнений равновесия составить для одних осей координат, а часть – для измененных. В некоторых случаях этот прием упрощает решение задач.

Теорема о моменте равнодействующей относительно оси
(теорема Вариньона)

Теорема: момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой же оси .

Пусть даны пространственная система n произвольно расположенных сил, приложенных к телу, и равнодействующая этой системы сил F_Σ (см. рисунок 4) :

Приложим к телу другую систему сил, равнодействующая которой F’_Σ по модулю равна F_Σ и направлена по той же линии действия, но в противоположную сторону, т. е. является уравновешивающей данной системы сил.
Тогда можно записать:

Так как обе записанные выше системы сил эквивалентны нулю, т. е. уравновешены, то к ним можно применить любое условие равновесия, например

Запишем это условие для обеих систем:

Так как правые части этих равенств равны, то будут равны и левые :

Сократив общее слагаемое M_x(F’_Σ) , получим: