Пространственная система параллельных сил уравнения равновесия

Равновесие тела под действием пространственной системы сил

Содержание:

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Условия равновесия тела, находящегося под действием пространственной системы произвольных сил

Поскольку любую пространственную систему произвольных сил можно свести к одной силе — главного вектора и одной пары — главного момента , приложенные к телу, то для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент одновременно равны нулю:

Причем, если = 0, то R_x = 0, R_y = 0 и R_z = 0, а если = 0, то M_x = 0, M_y = 0 и M_z = 0.

Проекции главного вектора на оси пространственной декартовой системы
координат равны

Проекции главного момента на эти же оси координат равны

Далее, с учетом уравнений, выражение можно окончательно представить в виде уравнений равновесия тела под действием пространственной системы произвольных сил:

На основании этих уравнений состоят конкретные уравнения равновесия тела.

Таким образом, для равновесия тела, находящегося под действием пространственной
системы произвольных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы
проекций всех сил на оси пространственной декартовой системы координат и
алгебраические суммы моментов всех сел относительно этих осей равны нулю.

Условия равновесия тела, находящегося под действием пространственной системы параллельных сил

Если силы, приложенные к телу, расположенные в пространстве, но параллельны, то можно так выбрать систему координат, чтобы одна из осей (например, ось z) была параллельна данным силам (рис. 1.53). Тогда две другие оси (x, y) будут образовывать плоскость, которая будет перпендикулярной этим силам. Проекции заданных сил на оси x и y будут равны нулю. Как силы, параллельные оси, заданные силы не создают моментов относительно оси z.

Теперь, если принимать во внимание условия выше, то для пространственной системы параллельных сил три условия равновесия по данной системе выпадают, а остаются три другие. Итак, для равновесия пространственной системы параллельных сил имеем следующие уравнения равновесия:

Таким образом, для равновесия тела, находящегося под действием пространственной
системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
проекций всех сил на ось, которая параллельная силам, и алгебраические суммы
моментов относительно двух других осей равны нулю.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы относительно оси

Предположим, что есть тело, к которому приложена пространственная система
произвольных сил . , , . , что сведено к равнодействующей , которая приложена к телу в точке C (рис. 1.54). Приложим к точке C уравновешивающую
силу , которая по модулю равна равнодействующей силе , расположенная с ней
на одной прямой, но имеет противоположное направление.

В этом случае тело, которое находится под действием системы сил . , , . и уравновешивающей силы , будет в состоянии равновесия, а это означает, что алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно любой оси декартовой системы координат должна равняться нулю. Возьмем сначала ось x и для нее запишем данное условие равновесия

Найдем из этого выражения момент силы относительно оси x. Он будет равняться

Поскольку модуль силы равен модулю силы , но они имеют противоположное направление, то = –. А это значит, что m_x () = –m_x (). Подставим значение этого момента, получим

Такие условия можно составить в отношении двух других осей.

Таким образом, если пространственная система произвольных сил сводится к
равнодействующей, то момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.

Пример равновесия тела под действием пространственной системы произвольных сил

Есть горизонтальный вал трансмиссии (рис. 1.55), который несет два шкивы C и D ременной передачи и может вращаться в подшипниках A и B. Радиусы шкивов равны r_C = 0,2 м, r_D = 0,25 м. Натяжения ветвей ремня на шкиве C — горизонтальные и , причем, = 2 = 4905 Н. Натяжения ветвей паса на шкиве D — и , причем = 2 , с вертикалью они образуют угол α = 30º. Размеры вала равны: a = b = 0,5 м, с = 1 м.

Система находится в равновесии.

Определить натяжения и и реакции подшипников A и B.

Решение.

Рассмотрим равновесие вала AB со шкивами C и D. Освободим вал от связей, заменив их соответствующими реакциями. В подшипниках реакции расположены в плоскости, перпендикулярной оси вала AB. Таким образом, реакции подшипников A и B расположены соответственно в плоскости xAz и в плоскости, параллельной к ней и проходит через точку B. Неизвестный вектор каждой реакции подшипников в плоскости определяется двумя проекциями на оси x и z, как это показано на рис. 1.55. После сделанных
предположений, полученная пространственная система произвольных сил, находится в
состоянии равновесия.

Запишем на основании условий равновесия соответствующие уравнения равновесия пространственной системы произвольных сил.

Как видно из полученной системы уравнений равновесия, второе уравнение отсутствует, поскольку среди сил, приложенных к телу, нет таких, которые бы могли быть спроецированы на ось y (т. е. все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси y). Однако, данная система является статически обозначенной, поскольку число неизвестных величин (t₂, X_A, Z_A, X_B, Z_B) равно числу уравнений равновесия — 5.

Если подставить в данную систему уравнений числовые значения величин, заданные (учитывая, что по условию задачи = 2) и решить эти уравнения относительно неизвестных, получим следующие ответы:

Значения неизвестных величин X_A и X_B отрицательные, а это означает, что, фактически, эти реакции, которые показаны на рис. 1.55, имеют противоположное направление.

Для окончательного определения реакций подшипников в точках A и B необходимо добавить геометрически их составляющие. А именно

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

iSopromat.ru

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Как уже было установлено, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения.

Этим условиям можно придать и более удобную для практических целей аналитическую форму. Из формул (8) и (37) для модулей главного вектора и главного момента пространственной системы сил следует, что они обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и суммы моментов всех сил относительно каждой из трех координатных осей.

Заметим, что при составлении уравнений моментов нет необходимости в том, чтобы оси, относительно которых берутся моменты сил, совпадали с осями проекций. Для простоты решения уравнений рекомендуется оси проекций располагать перпендикулярно к линии действия одной из неизвестных сил, вследствие чего проекции этой силы исключаются из соответствующего уравнения проекций. Ось моментов рекомендуется выбирать в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю.

Одним словом, оси всегда нужно выбирать так, чтобы в каждое из шести уравнений равновесия вошло возможно меньшее число неизвестных.

Рассмотрим теперь частный случай — условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Пусть мы имеем систему параллельных сил

Так как выбор координатных осей произволен, то возьмем ось параллельной данным силам и составим шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил. Так как оси и перпендикулярны к данным параллельным силам, то проекции на эти оси каждой из сил системы будут равны .нулю. Следовательно, при таком выборе координатных осей уравнения

удовлетворяются независимо от того, находится ли система в равновесии или нет, а потому перестают быть условиями равновесия. Так как все данные силы параллельны оси г, то проекции их на эту ось равны модулям этих сил, взятым со знаком плюс или минус, в зависимости от того, в какую сторону они направлены. Следовательно, уравнение

можно заменить уравнением

Отпадает также и условие

так как моменты всех сил относительно параллельной им оси будут всегда порознь равны нулю, при любом значении сил и любом их расстоянии от оси .

Таким образом, для системы параллельных сил остаются только три уравнения равновесия

Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно каждой из двух осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к данным параллельным силам.

Нужно сказать, что все выведенные ранее уравнения равновесия для частных случаев расположения сил можно было бы получить из шести уравнений (38) равновесия произвольной пространственной системы сил, подобно тому как это было сделано выше для пространственной системы параллельных сил.

Для каждого случая расположения сил достаточным является вполне определенное число условий равновесия, и потому для каждого из них можно написать только определенное число независимых уравнений равновесия. Это важно помнить, так как при числе неизвестных, превышающем то число независимых уравнений, которое возможно составить для данного случая расположения сил, задача становится статически неопределенной.

Пример задачи:

На платформе трехколесной тележки в точке лежит груз . Найти давление каждого колеса тележки на пол, пренебрегая ее собственным весом, если . Точка лежит в середине отрезка (рис. 84).

Решение:

Тележка находится в равновесии под действием пространственной системы параллельных сил: веса груза и реакции и пола. Имеем три неизвестных и возможно составить три независимых уравнения равновесия.

Возьмем в плоскости, перпендикулярной к линиям действия данных сил, оси и так, как показано на рис. 84, и найдем моменты всех данных сил относительно этих осей:

Уравнение равновесия имеют вид

Решая систему уравнений и подставляя числовые данные, получим:

Искомые давления колес па пол, очевидно, равны по модулю найденным реакциям.

Пример задачи:

На валу трансмиссии насажены два шкива ременной передачи (рис. 85, а). Диаметры шкивов от подшипника эти шкивы находятся на расстоянии ; расстояние между подшипниками и равно . Ветви ремня, надетого на первый шкив, образуют с вертикалью угол ; ветви ремня, надетого на второй шкив, горизонтальны. Даны натяжения и ветвей первого ремня и натяжение верхней ветви второго ремня. Найти, при каком натяжении нижней ветви второго ремня вал, находясь под действием приложенных к нему сил, будет в равновесии, а также определить реакции подшипников, вызываемые натяжением ремней.

Решение:

Так как все силы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, то реакции подшипников не будут иметь составляющих, направленных вдоль оси вала (т. е. по оси ). Составляюще

реакций подшипников и по осям и обозначим соответственно через и . Для их определения спроектируем

все силы приложенные к валу на оси и и найдем моменты их относительно осей , и (см. таблицу):

Составляя соответствующие уравнения равновесия, получим:

Решая эту систему уравнений и подставляя числовые данные, находим:

Пример задачи:

Прямоугольная дверь, вращающаяся около вертикально оси открыта на угол Она

удерживается в этом положении грузом , подвешенным на веревке , перекинутой через блок и концом прикрепленной к двери, и некоторой силой , приложенной в точке двери и направленной перпендикулярно к ее плоскости. Вес двери , ее ширина , высота . Определить модуль силы , а также реакции шарнира в точке и подпятника в точке , если .

Решение:

Дверь находится в равновесии под действием активных сил и реакций подшипника и подпятника . Проведем координатные оси, как показано на рис. 86, а, и разложим реакции связей на составляющие по этим осям. Так как цилиндрический шарнир допускает скольжение двери в вертикальном направлении, то его реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разлагается лишь на две составляющие и . Реакция же подпятника дает составляющие и , направленные по трем координатным осям. Расположение сил показано на рис. 86, а. Для удобства определения проекций и моментов сил и , проекции их на плоскость показаны на рис. 86,6.

Составляем таблицу проекций всех сил на выбранные оси и моментов сил относительно этих осей.

Уравнения равновесия принимают вид:

Из рис. 86,б находим:

Подставляя в уравнения все данные и решая их, получим:

Отрицательные значения, полученные для и , означают, что направления этих сил, указанные па рис. 86, надо изменить на противоположные.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института