Простые тригонометрические уравнения со сложным аргументом

Урок по алгебре на тему «Решение простейших тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ простейшие тригономнтрические уравнения.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Дата: 23 ноября 2015 год Предмет: алгебра и начала анализа Учитель: Давлетбаева Ю.Ю. Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений Создание постера на тему:

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk‚ kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk‚ kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ 2.sint = а, где | а |≤ 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk‚ kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk‚ kЄZ 3)sint = — 1 t = — π/2+2πk‚ kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

1. Индивидуальная работа. Найдите соответствие между заданиями и ответами. Проверьте ответы по ключу. Заполните оценочный лист. 2. Задания для лидеров. Самостоятельная индивидуальная работа

Практическое применение тригонометрических уравнений Нам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И мы не догадываемся, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца, звучание музыки и разработка компьютерных игр – это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями. Большое значение имеет теория тригонометрии, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Некоторые примеры мы сейчас предлагаем вашему вниманию:

Применение в геодезии Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников, тригонометрия дает мощный метод решения геометрических задач. Чтобы воспользоваться им, строители туннелей намечают геодезический пункт, откуда видны концы туннеля. Затем они визируют направления и определяют углы между ними. Математический принцип предельно прост.

Применение в астрономии На сфере, как и на поверхности Земли, о расстояниях можно судить по углам под которыми они видны из центра сферы. Положению точки на поверхности Земли определяются ее широтой (углом отсчитываемым от экватора) и долготой. Это дает мореплавателю расстояние и курсовой угол. Астрономы определяют положение звезд при помощи таких сферических небесных треугольников.

Применение в технике Применения тригонометрии разнообразны. Принцип действия самозахватывающего ключа основан на измерении косинуса угла между захватами. При уменьшении угла косинус возрастает — захваты смыкаются. При смыкании небольшое перемещение захватов обеспечивает плотное сцепление с отвинчиваемой деталью.

Применение в электротехнике В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными, например, колебания тока в электрической цепи. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям, которые можно описать по закону синуса или косинуса. Осцилло́граф — прибор, предназначенный для исследования электрических сигналов путем визуального наблюдения графика сигнала на экране либо записанного на фотоленте, а также для измерения параметров сигнала (амплитуды, периоду) по форме графика.

Домашнее задание Iвариант IIвариант «3» Решить уравнение «3» Решить уравнение «4» Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;π] «4» Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;π] «5» Найдите сумму корней уравнения, принадлежащих промежутку [-π;π] «5» Найдите сумму корней уравнения, принадлежащих промежутку [0;2π]

SMS – сообщение Напишите короткое сообщение другу, рассказав чем вы сегодня занимались на уроке и что узнали нового. Рефлексия

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ» Я. А. КАМЕНСКИЙ. Подведение итогов, оценивание

Выбранный для просмотра документ решение простейших тригонометрических уравнений со сложным аргументом.docx

Урок № 33 класс: 10 (ОГ) предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом»

Цель: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся по решению простейших тригонометрических уравнений;

1. Обучающая : повторить основные свойства обратных тригонометрических функций и решения простейших тригонометрических уравнений вида ,, .

2. Развивающая : работать над развитием понятийного аппарата и развивать навыки самоконтроля;

3 . Воспитательная : воспитывать ответственное отношение к труду, волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок закрепления ЗУН

Вид урока : комбинированный

Оборудование : интерактивная доска, плакат, раздаточный материал, оценочные листы.

Межпредметная связь: физика и астрономия, география

Учащиеся должны знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений;

Учащиеся должны уметь решать простейшие тригонометрические уравнения

1. Организационный момент

а) приветствие, проверка отсутствующих

б) настрой на урок

в) распределение на группы

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний

а) создание постера «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений»

б) самостоятельная парная работа учащихся «Составление кластера»

4. Закрепление изученных ЗУН

а) самостоятельная индивидуальная работа с учащимися

б) практическое применение тригонометрических уравнений

7. Подведение итогов, оценивание

1. Организационный момент

а) приветствие, проверка отсутствующих

б) настрой на урок

— Повернитесь друг к другу, посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь друг к другу, пожелайте друг другу хорошего рабочего настроения на уроке. Теперь посмотрите на меня. Я тоже желаю вам работать дружно, открыть что-то новое.

в) распределение на группы . « Представь, что ты оказался(лась) на необитаемом острове. Кого бы ты хотел(а) видеть рядом с собой? «

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний

а) Создание постера на тему: «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений»

Цель: проверить знания учащихся основных формул для нахождения корне простейших тригонометрических уравнений

2 балла — нет ошибок

1 балл — пропустили 1 -2 формулы

0 баллов — пропущено боллее 2 формул

б) Самостоятельная парная работа учащихся «Составление кластера» Взаимопроверка. Работа в парах.

Цель: проверить знания определения обратных тригонометрических функций.

— ознакомьтесь со схемой «Составление кластера»

— возьмите карточки №1 на столах

— в соответствии с таблицей соедините стрелками функции и соответствующие данным обратным тригонометрическим функциям область определения, область значения, условие монотонности.

— Обменяйтесь карточками и проверьте по ключам с помощью слайда 2

— заполните оценочный лист в соответствии с критериями

Простые тригонометрические уравнения со сложным аргументом

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin <|ccc|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac<\sin \alpha><\cos \alpha>&&\mathrm\, \alpha =\dfrac<\cos \alpha><\sin \alpha>\\&&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 <\cos^2 \alpha>&& 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1<\sin^2 \alpha>\\&&\\ \hline \end\]
формулы двойного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin <2\alpha>=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos<2\alpha>=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin <2\alpha>&& & \cos<2\alpha>=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos<2\alpha>=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\, x+3\mathrm\,x+4=0\)

Т.к. \(\mathrm\,x\cdot \mathrm\,x=1\) , то \(\mathrm\,x=\dfrac1<\mathrm\,x>\) . Сделаем замену \(\mathrm\,x=t\) . Т.к. область значений тангенса \(\mathrm\,x\in\mathbb\) , то \(t\in\mathbb\) . Получим уравнение:

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac=0\) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin <3\alpha>=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos<3\alpha>=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :

\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :

\(\mathrm^2\,x+3\mathrm\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm\,x, \ t\in\mathbb\) . Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :

\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :

\(1+\mathrm\, x=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2> &&& \cos<\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2>\\&&&\\ \hline \end\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac2\) .

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac2\) . Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\) .

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin \begin &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac12 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\end \end \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\) . Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\Rightarrow \left[ \begin \begin &2x+\dfrac<\pi>4=-\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac<\pi>4=\pi+\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n \end \end \right. \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \left[ \begin \begin &x=-\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>-\dfrac<\pi>8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac<3\pi>8+\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+\pi n \end \end \right. \ \ n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)