Простые тригонометрические уравнения вариант 1

«Простейшие тригонометрические уравнения» тесты с ответами

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 sin 2 x – 5 sin x – 7 = 0

2 . 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0

3 . 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0

4 . 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0

5 . 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0

6 . 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x – 17 cos x + 6 = 0

2 . 2cos 2 x + 5sin x + 5 = 0

3 . 6sin 2 x + 13sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 4ctg x + 8 = 0

5 . 6cos 2 x + 13sin 2 x = –10

6 . 2 sin 2 x + 6sin 2 x = 7(1 + cos 2 x )

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 sin 2 x – 7 sin x + 4 = 0

2 . 6sin 2 x – 11cos x – 10 = 0

3 . sin 2 x + 5sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 12ctg x + 13 = 0

5 . 5 – 8cos 2 x = sin 2 x

6 . 7 sin 2 x + 9cos 2 x = –7

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x + 17 cos x + 6 = 0

2 . 3cos 2 x + 10sin x – 10 = 0

3 . 2 sin 2 x + 9sin x cos x + 10cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 12ctg x + 5 = 0

5 . 10sin 2 x – 3sin 2 x = 8

6 . 11sin 2 x – 6cos 2 x + 8cos 2 x = 8

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 sin 2 x + 11 sin x – 8 = 0

2 . 4sin 2 x – 11cos x – 11 = 0

3 . 4sin 2 x + 9sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 8ctg x + 10 = 0

5 . 3sin 2 x + 8sin 2 x = 7

6 . 10sin 2 x + 11sin 2 x + 6cos 2 x = –6

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 cos 2 x – 10 cos x + 7 = 0

2 . 6cos 2 x + 7sin x – 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 10sin x cos x + 3cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 14ctg x + 5 = 0

5 . 6 sin 2 x + 7sin 2 x + 4 = 0

6 . 7 = 7sin 2 x – 9cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6 sin 2 x – 7 sin x – 5 = 0

2 . 3sin 2 x + 10cos x – 10 = 0

3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 14cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 5ctg x + 14 = 0

5 . 10sin 2 x – sin 2 x = 8cos 2 x

6 . 1 – 6 cos 2 x = 2sin 2 x + cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 cos 2 x – 5 cos x – 8 = 0

2 . 8cos 2 x – 14sin x + 1 = 0

3 . 5sin 2 x + 14sin x cos x + 8 cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 9ctg x + 3 = 0

5 . sin 2 x – 5cos 2 x = 2sin 2 x

6 . 5 cos 2 x + 5 = 8sin 2 x – 6sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6 sin 2 x + 11 sin x + 4 = 0

2 . 4sin 2 x – cos x + 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 11sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 8ctg x + 6 = 0

5 . sin 2 x + 1 = 4cos 2 x

6 . 14cos 2 x + 3 = 3cos 2 x – 10sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4 cos 2 x + cos x – 5 = 0

2 . 10cos 2 x – 17sin x – 16 = 0

3 . sin 2 x + 6sin x cos x + 8 cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 6ctg x + 7 = 0

5 . 2 cos 2 x – 11sin 2 x = 12

6 . 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 sin 2 x – 17 sin x + 6 = 0

2 . 5sin 2 x – 12cos x – 12 = 0

3 . 2sin 2 x + 5sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4 . 7 tg x – 12ctg x + 8 = 0

5 . 3 + sin 2 x = 8cos 2 x

6 . 2 sin 2 x + 3cos 2 x = –2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 cos 2 x – 5 cos x – 7 = 0

2 . 12cos 2 x + 20sin x – 19 = 0

3 . 5sin 2 x + 12sin x cos x + 4cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 6ctg x + 11 = 0

5 . 22 sin 2 x – 9sin 2 x = 20

6 . 1 4cos 2 x – 2cos 2 x = 9sin 2 x – 2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4 sin 2 x + sin x – 5 = 0

2 . 6sin 2 x + 7cos x – 1 = 0

3 . 4sin 2 x + 11sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 6ctg x + 13 = 0

5 . 3 – 4sin 2 x = sin 2 x

6 . 10sin 2 x + 3cos 2 x = –3 – 14sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8 cos 2 x – 10 cos x – 7 = 0

2 . 4cos 2 x – sin x + 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 10sin x cos x + 8cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 12ctg x + 5 = 0

5 . 14sin 2 x – 11sin 2 x = 18

6 . 2 sin 2 x – 3cos 2 x = 2

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 sin 2 x – 5 sin x – 8 = 0

2 . 10sin 2 x + 17cos x – 16 = 0

3 . sin 2 x + 8sin x cos x + 12cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 9ctg x + 9 = 0

5 . 14sin 2 x – 4cos 2 x = 5sin 2 x

6 . 1 – 5 sin 2 x – cos 2 x = 12cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8 cos 2 x + 14 cos x – 9 = 0

2 . 3cos 2 x + 5sin x + 5 = 0

3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 5cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 3ctg x + 14 = 0

5 . 2 sin 2 x – 7sin 2 x = 16cos 2 x

6 . 14sin 2 x + 4cos 2 x = 11sin 2 x – 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 12 cos 2 x – 20 cos x + 7 = 0

2 . 5cos 2 x – 12sin x – 12 = 0

3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 12cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 6ctg x + 7 = 0

5 . sin 2 x + 2sin 2 x = 5cos 2 x

6 . 13sin 2 x – 3cos 2 x = –13

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 sin 2 x – 10 sin x + 7 = 0

2 . 8sin 2 x + 10cos x – 1 = 0

3 . 4sin 2 x + 13sin x cos x + 10cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 3ctg x + 8 = 0

5 . sin 2 x + 4cos 2 x = 1

6 . 10cos 2 x – 9sin 2 x = 4cos 2 x – 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6 cos 2 x – 7 cos x – 5 = 0

2 . 3cos 2 x + 7sin x – 7 = 0

3 . 3sin 2 x + 7sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 4ctg x + 7 = 0

5 . sin 2 x – 22cos 2 x + 10 = 0

6 . 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4

Решите тригонометрические уравнения:

1. 5 sin 2 x + 12 sin x + 7 = 0

2 . 10sin 2 x – 11cos x – 2 = 0

3 . 4sin 2 x + 13sin x cos x + 3cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 10ctg x + 7 = 0

5 . 14 cos 2 x + 5sin 2 x = 2

6 . 4 sin 2 x = 4 – cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6 cos 2 x + 11 cos x + 4 = 0

2 . 2cos 2 x – 3sin x + 3 = 0

3 . 2sin 2 x + 7sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 3ctg x + 11 = 0

5 . 9 sin 2 x + 22sin 2 x = 20

6 . 8 sin 2 x + 7sin 2 x + 3cos 2 x + 3 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 sin 2 x + 3 sin x – 5 = 0

2 . 10sin 2 x – 17cos x – 16 = 0

3 . 5sin 2 x + 13sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 14ctg x + 1 = 0

5 . 10 sin 2 x + 13sin 2 x + 8 = 0

6 . 6 cos 2 x + cos 2 x = 1 + 2sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 cos 2 x + 11 cos x – 8 = 0

2 . 4cos 2 x – 11sin x – 11 = 0

3 . 3sin 2 x + 8sin x cos x + 4cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 12ctg x + 11 = 0

5 . 5 sin 2 x + 22sin 2 x = 16

6 . 2 sin 2 x – 10cos 2 x = 9sin 2 x + 10

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4 sin 2 x + 11 sin x + 7 = 0

2 . 8sin 2 x – 14cos x + 1 = 0

3 . 2sin 2 x + 9sin x cos x + 9cos 2 x = 0

4 . 6 tg x – 2ctg x + 11 = 0

5 . 8 sin 2 x – 7 = 3sin 2 x

6 . 11sin 2 x = 11 – cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2 cos 2 x + 3 cos x – 5 = 0

2 . 6cos 2 x – 11sin x – 10 = 0

3 . sin 2 x + 7sin x cos x + 12cos 2 x = 0

4 . 7 tg x – 8ctg x + 10 = 0

5 . 9cos 2 x – sin 2 x = 4sin 2 x

6 . 7 sin 2 x + 3cos 2 x + 7 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10 sin 2 x + 17 sin x + 6 = 0

2 . 3sin 2 x + 7cos x – 7 = 0

3 . 3sin 2 x + 11sin x cos x + 10cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 9ctg x + 12 = 0

5 . 3 sin 2 x + 5sin 2 x + 7cos 2 x = 0

6 . 12cos 2 x + cos 2 x = 5sin 2 x + 1

Решите тригонометрические уравнения:

1. 5 cos 2 x + 12 cos x + 7 = 0

2 . 10cos 2 x + 17sin x – 16 = 0

3 . 2sin 2 x + 9sin x cos x + 4cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 6ctg x + 5 = 0

5 . 8 sin 2 x + 3sin 2 x = 14cos 2 x

6 . 2sin 2 x – 7cos 2 x = 6sin 2 x + 7

Решите тригонометрические уравнения:

1. 12 sin 2 x – 20 sin x + 7 = 0

2 . 3sin 2 x + 5cos x + 5 = 0

3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 14cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 4ctg x + 11 = 0

5 . 8 cos 2 x + 7sin 2 x + 6sin 2 x = 0

6 . 1 – cos 2 x = 18cos 2 x – 8sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 4 cos 2 x + 11 cos x + 7 = 0

2 . 10cos 2 x – 11sin x – 2 = 0

3 . 2sin 2 x + 13sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4 . 3 tg x – 2ctg x + 5 = 0

5 . 7 sin 2 x + 2 = 18cos 2 x

6 . 13sin 2 x + 13 = –5cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8 sin 2 x + 14 sin x – 9 = 0

2 . 2sin 2 x + 5cos x + 5 = 0

3 . sin 2 x + 9sin x cos x + 14cos 2 x = 0

4 . 2 tg x – 5ctg x + 9 = 0

5 . 7 sin 2 x + 5sin 2 x + 3cos 2 x = 0

6 . 2sin 2 x + 9sin 2 x = 10cos 2 x + 10

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3 cos 2 x – 7 cos x + 4 = 0

2 . 8cos 2 x + 10sin x – 1 = 0

3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 4cos 2 x = 0

4 . 5 tg x – 14ctg x + 3 = 0

5 . 7 sin 2 x = 22sin 2 x – 4

6 . cos 2 x + 8sin 2 x = 1 – 18cos 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 8 sin 2 x – 10 sin x – 7 = 0

2 . 2sin 2 x – 3cos x + 3 = 0

3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 12cos 2 x = 0

4 . 4 tg x – 14ctg x + 1 = 0

5 . 4 sin 2 x + 10cos 2 x = 1

6 . 11sin 2 x – 7cos 2 x = 11

3 . – arctg 3 +  n ; – arctg 2 +  k

3 . – arctg 2 +  n ; – arctg 4 +  k

3 . – arctg 2 +  n ; – arctg 6 +  k

3 . – arctg 4 +  n ; – arctg 3 +  k

3 . – arctg 2 +  n ; – arctg 7 +  k

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 625 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 28.09.2016
• 1112
• 27

• 28.09.2016
• 4096
• 63

• 28.09.2016
• 996
• 1

• 28.09.2016
• 670
• 0

• 28.09.2016
• 1155
• 10

• 28.09.2016
• 490
• 0

• 28.09.2016
• 913
• 3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.09.2016 9510
• DOCX 224 кбайт
• 44 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Янишевская Инна Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13430
• Всего материалов: 18

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Тест с ответами: “Простейшие тригонометрические уравнения”

1. Решением какого из ниже перечисленных уравнений является такой ответ x = 2πk:
а) cos x = 1 +
б) sin x = 0
в) ctg x = 1

2. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) cos a = x
б) cos x = a +
в) cos x = bx

3. Решите уравнение cos x = √ 3/2:
а) x = ±π/3 + 2πk
б) x = ± 2π/3 + 2πk
в) x = ±π/6 + 2πk +

4. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) tg x = a +
б) tg a = x
в) tg x = bx

5. Решите уравнение cos x = -√2/2:
а) x = – π/4 + πk
б) x = 3π/4 + πk
в) x = ± 3π/4 + 2πk +

6. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) ctg a = x
б) ctg x = a +
в) ctg x = bx

7. Решите уравнение tg x = √3/3:
а) x = π/3 + πk
б) x = ±π/3 + 2πk
в) x = π/6 + πk +

8. “a” в тригонометрическом уравнении:
а) произвольное число +
б) основополагающее число
в) знаковое число

9. Решите уравнение sin x = 0:
а) x = π + 2πk
б) x = 2πk
в) x = πk +

10. Решение тригонометрического уравнения состоит из … этапов:
а) трех
б) двух +
в) четырех

11. Найти корни уравнения сos(x)=1:
а) 0+ 2π +
б) 0
в) 1

12. Один из этапов решения тригонометрического уравнения:
а) преобразование уравнения для получения его сложного вида
б) преобразование уравнения для получения его простейшего вида +
в) решение полученного сложного тригонометрического уравнения

13. Тригонометрическое уравнение:
а) тригонометрическая функция с неизвестным в качестве аргумента +
б) сos(x)=1
в) уравнения, не требующие никаких преобразований

14. Один из этапов решения тригонометрического уравнения:
а) решение полученного сложного тригонометрического уравнения
б) преобразование уравнения для получения его сложного вида
в) решение полученного простейшего тригонометрического уравнения +

15. 90 градусов:
а) π/2 +
б) π/4
в) π/6

16. Существует … основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) пять
б) семь +
в) шесть

17. Скольким градусам соответствует π в тригонометрии:
а) 90
б) 45
в) 180 +

18. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а)
б) алгебраический метод +
в)

19. Число π в общем случае-это:
а) отношение радиуса окружности к ее диаметру
б) отношение длины окружности к ее радиусу
в) отношение длины окружности к ее диаметру +

20. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) разложение на частное
б) разложение на множители +
в) разложение на множимые

21. Укажите наименьший положительный корень уравнения 2sinx + 1 = 0:
а) 7π/6
б) π/6
в) 5π/6

22. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) приведение к однозначимому уравнению
б) приведение к однородному уравнению +
в) приведение к квадратному уравнению

23. Решите уравнение cos2x-1=0:
а) 0
б) x=π-k
в) x=πk +

24. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) переход к целому углу
б) переход к половинному углу +
в) переход к вспомогательному углу

25. Является ли число 5π/6 решением уравнения 2cos2x+4sinx=3:
а) нет
б) отчасти
в) да +

26. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) введение отрицательного угла
б) введение вспомогательного угла +
в) введение прямого угла

27. При каких значениях а уравнение sinx=a имеет хотя бы одно решение:
а) [-1;1] +
б) 2
в) R

28. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) преобразование разности в сумму
б) преобразование произведения в разность
в) преобразование произведения в сумму +

29. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) sin x = a +
б) sin a = x
в) sin x = bx

30. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) общепринятая подстановка
б) универсальная подстановка +
в) закрепленная подстановка

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!