Простые задачи по логарифмическим уравнениям

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Серия двух уроков по математике по теме «Решение логарифмических уравнений»

Разделы: Математика

Цели:

• Систематизировать знания по теме «Понятие логарифма»
• Систематизировать умения решать и выбирать способы решения логарифмических уравнений.
• Использовать знания свойств логарифмической функции и показательных неравенств, выделить виды простейших неравенств и предложить методы их решения.
• Отработать алгоритмы решения простейших неравенств.
• Подготовка к ЕГЭ.
• Развить исследовательские навыки.
• Воспитывать культуры речи, познавательный интерес к математике.
• Активизировать самостоятельную деятельность учащихся.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний по теме.

Оборудование: персональный компьютер, проектор, экран, ЦОРы, наглядные таблицы, лист самоконтроля, карточки с заданиями.

Организационный момент: у каждого учащегося на парте: учебник, рабочая тетрадь, лист самоконтроля за состоянием знаний, которые в ходе урока ведут сами учащиеся.
На организационном этапе: учащимся предлагается заполнить лист самоконтроля. (Приложение 1)

Цель: определить уровень подготовки учащихся к уроку – прогнозирующий контроль.

План урока №1

1. Организационный момент (2 мин.)
2. Постановка цели урока (3 мин.)
3. Активизация знаний (повторение теоретического материала через презентацию) 10 мин.
4. Проверка знаний (5 мин.)
5. Самооценка (2 мин.)
6. Выполнение теста 1 (5 мин.)
7. Самооценка (2 мин.)
8. Выполнение теста 2 (5 мин.)
9. Подведение итогов первого этапа (3 мин.)
10. Представление презентации 2 (6 мин.)

Этапы урока №1 и их содержание

1. Организационный момент

Доброе утро, ребята!
Сегодня мы с вами вернемся в мир удивительный и прекрасный – в мир математических уравнений.
Еще в курсе начальной школы перед вами возникали проблемы: как найти неизвестный множитель, если известно произведение и второй множитель? Как найти длину диагонали, если еще Пифагор доказал, что она не соизмерима со стороной? На протяжении 10 лет обучения в школе нам на помощь приходили уравнения. Самые различные виды уравнений изучались вами на уроках математики.

2. Постановка цели урока

Но для начала мы с вами вместе определим цель (учащиеся определяют цели). Проверка через презентацию: ЦЕЛИ (Приложение 2, слайд 2).

3. Повторение теоретического материала через презентацию 1

– Но прежде мы всё начнём сначала.
Начнём с определения логарифма и его свойств.
Логарифмическая функция.
Начнём с презентации «Понятие логарифма» и в этом мне поможет (ученик презентует материал).
Сообщение учащегося “Свойства логарифмической функции”.

Цель: систематизировать материал по данному вопросу (представить в виде компьютерной презентации)

Цель остальных учащихся класса: сверить свои знания по теме с предложенным материалом, сделать выводы в отношении своих знаний и оценить ответ одноклассника (по содержанию и по качеству подготовленной презентации)тетради по с теоретическим материалом у учащихся открыты, учащиеся могут пользоваться записями, делать записи в тетради во время выступления.
После выступления учащегося обсуждение подготовленной презентации, ответы на вопросы одноклассников, оценка выступления.

4. Проверка знаний

– Следующий этап нашего урока – это проверка первичных знаний.

5. Самоанализ (по пятибалльной оценочной шкале)

6. Выполнение теста 1

А сейчас проверка знаний с самопроверкой. По итогам самопроверки – коррекция знаний. Заполнение листов самоконтроля. Выставление набранных баллов (каждый верный ответ 1 балл) на полях тетради.

Задание 1 (учащиеся решают по двум вариантам задания 5 минут и дальше матрица ответов, разбор ошибок, оценивание себя и результат в лист самоконтроля см. приложение).

Тест 1

Цель: проверка знаний свойств логарифмов.

1. Выражение 25 –log10 равно	2. Логарифм равен	3. Выражение равно	4. Выражение равно.	5. Если , то х равно
–20	–6	1	72	3
0,01	6	250	22	8
0,1	–1,5	15		9
100	1,5	2,5	19	6

Ответы:

Матрица ответов заранее напечатана и в конце тестирования вывешивается для проверки правильности решений и выставление баллов.

7. Подведение итогов работы – экспресс опрос учащихся.

8. Выполнение теста 2

Тест 2

Цель: проверка знаний учащимися свойств логарифмической функции. Контроль взаимопроверка (каждое верно решенное задание –1 балл). После проверки – коррекция знаний, заполнение листа самоконтроля. На полях тетради выставить набранные за данный вид работы баллы.

1. Выражение имеет смысл	2. Область определения функции у =	3. Убывающей является функция.	4. Возрастающей является функция
	(2; + )
	(–2; 2)
	(– ; – 2) U (2; + )
	(– ; + )

Ответы:

Матрица ответов заранее напечатана и в конце тестирования вывешивается для проверки правильности решений и выставление баллов.

9. Подведение итогов этапа актуализации знаний

Хорошо усвоено __________,
Необходимо работать над __________________.
Каждый из вас подводит итог этой части урока и делаем общий выводы.
Подведение итогов работы – экспресс опрос учащихся.

10. Логарифмические уравнения

– Какие виды уравнений знаете вы? (Рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные)
11 класс – это ответственный этап жизненного пути, год окончания школы, и конечно же, год когда подводятся итоги самых важных тем изучаемых вами на уроках алгебры.
И мы сегодня оставшуюся часть наших двух уроков посвятим решению логарифмических уравнений и неравенств.

Нашей задачей с вами будет: СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Сейчас (ученик, ученица) напомнит всем нам основные теоретические основы этой темы (идёт представление презентации).
Вопросы к докладчику, обсуждение презентации, ответы на вопросы одноклассников, оценивание работы.

План урока 2

1. Устная работа (3 мин).
2. Систематизация способов решения (составление таблицы). (7 мин.)
3. Самостоятельное комплексное применение знаний (15 мин.)
4 Подведение итогов (4 мин.)
5. Работа по карточкам (10 мин.)
6. Подведение итогов, выставление оценок за урок (3 мин.)
7. Рефлексия (2 мин.)
8. Домашнее задание (1 мин.)

Урок 2 (учащиеся уже разбиты на группы разноуровневого состава и работают в группе – интерактивный режим)

1. Устный опрос (проводит ученик, представлявший презентацию).

– Что значит решить уравнение? (Найти все значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство или доказать, что таких значений нет.)
– Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное числовое равенство)
– Какие уравнения называют логарифмическим? (Уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называют логарифмическими)
– Какие методы решения логарифмических уравнений вы уже рассматривали на уроках алгебры

1. Метод решения с помощью определения;
2. Метод потенцирования;
3. Метод введения вспомогательной переменной;
4. Метод логарифмирования)

2. Рассмотрим более подробно каждый из методов. Решим устно несколько уравнений, используя определение логарифма.
(Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b).

log₄ x = 2 (x = 16 )
log₅ x = – 2 (x = 1/25)
log_0,5 x = 2 (x = 1/4)
log_x 4 = 2 (x = 2 )
log_x 5 = 1 (x = 5)
log_x (– 4) = (– 4) (решений нет)
log_x 1 = 0 (x – любое положительное, х ? 1)

Все методы, которые рассматривались на уроках, занесены в презентацию, и сейчас мы ещё подробнее остановимся на функционально-графическом методе (второй ученик помощник с помощью специальной программы строит графики) на рисунке (экране) видно, сколько решений и какие.

3. Самостоятельное комплексное применение знаний

Составьте таблицу методов решения логарифмических уравнений, и заполните ее, указав номер уравнений которые решаются данным методом и решают их.

На основании определенияВведение новой переменнойГрафический метод решенияНа основании свойств логарифмаМетод потенцированияМетод логарифмирования

4. Подведение итогов и проверка правильности заполнения таблиц (учитель использует интерактивный режим в группе, тем самым организует по новым спискам составы новых групп и представители из разных групп доказывают правильность заполнения таблицы и решения своих уравнений друг другу).

Подведение итогов этого этапа

Учитель во время работы проходит и смотрит, какая из групп решила уравнение №9.

– Итак, оформляем защиту: 1 группа, 2 группа, 3 группа.

5. Работа по карточкам

Ответы проверяются и берутся учениками из специальной таблицы.2 уровень.

1 вариант

1. log₃ (2х – 1) = log₃ 27
2. log₃ (4х + 5) + log₃ (х + 2) = log 3 (2х + 3)
3. log₂ х = – log₂ (6х – 1)
4. 4 + log₃ (3 – х) = log₃ (135 – 27х)
5. log (х – 2) + log₃ (х – 2) = 10

2 вариант

1. log₂ (х + 3) = log₂ 16
2. 2 log₅ (3 – 4х) – log₅ (2х + 1) 2 = 0
3. 2 log₃ (7х – 10) = log₃ х
4. lg (х – 1) + lg х = lg (5х – 8)
5. –lg (х – 1) – lg = –6

Ответы проверяются и берутся учениками из специальной таблицы.3 уровень.

1 вариант

1. 2log 2 ₃ х – 7log 3 х + 3 = 0
2. lg 2 х – 3lg х – 4 = 0
3. log 2 ₃ х – log₃ х – 3 = 2 lоg ₂ 3

2 вариант

1. log 2 ₃ х – 3log₃ х + 2 = 0
2. lg 2 х – 2lg х – 3 = 0
3. 3log 2 ₈ х + 2 log₈ х + 2 = 0,5 lоg _0,5 3

4 вариант

1. log₆(х 2 – 5х + 40) = 2
2. log 2 ₃х + 2log₂ х = 3
3. log₅7 = 2log₇ х – log₇ (х + 4)

По мере решения каждым учеником данных ему заданий выдаётся карточка «решебник» для проверки решение и он сам оценивает себя.

6. Подведение итогов, выставление оценок за урок

«3» – 9-10 баллов;
«4» – 11-15 баллов;
«5» – 16-22 балла.

Работы оцениваются. Подводят итоги всей работы. Коррекция проводится на каждом этапе работы. Ошибки анализируются вместе с учителем.
Мы с вами в ходе комплексного применения знаний выработали навык самостоятельного применения полученных знаний в стандартных и нестандартных ситуациях. В результате выполнения работ каждый смог оценить себя и определить свой уровень, сделать выводы.

7. Рефлексия

8. Домашнее задание (тест по теме «Логарифмические уравнения»)