Процесс радиоактивного распада дифференциальное уравнение

Основной закон радиоактивного распада. Дифференциальная форма закона.

Радиоактивный распад ядер одного и того же элемента происходит постепенно и с разной скоростью для разных радиоактивных элементов. Нельзя указать заранее момент распада ядра, но можно установить вероятность распада одного ядра за единицу времени. Вероятность распада характеризуется коэффициентом «λ» — постоянной распада, который зависит только от природы элемента.

Закон радиоактивного распада.(Слайд 32)

Экспериментально установлено, что:

За равные промежутки времени распадается одинаковая доля наличных (т.е. еще не распавшихся к началу данного промежутка) ядер данного элемента.

Дифференциальная форма закона радиоактивного распада.(слайд 33)

Устанавливает зависимость количества не распавшихся атомов в данный момент времени от начального количества атомов в нулевой момент начала отсчета, а так же от времени распада»t» и постоянной распада «λ».

N_t — наличное количество ядер.

dN — убыль наличного количества атомов;

dt — время распада.

«λ» — коэффициент пропорциональности, постоянная распада, характеризует долю наличных, еще не распавшихся ядер;

«–» — говорит том, что с течением времени количество распадающихся атомов уменьшается.

Следствие № 1: (слайд 34)

λ = –dN/N_t· dt — относительная скорость радиоактивного распада для данного вещества есть величина постоянная.

dN/N_t = – λ · Nt — абсолютная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству не распавшихся ядер к моменту времени dt. Она не является «const», т.к. уменьшатся с течением времени.

4. Интегральная форма закона радиоактивного распада.(слайд 35)

Устанавливает зависимость числа оставшихся атомов в данный момент времени (N_t) от их исходного количества (N_o), времени (t) и постоянной распада «λ». Интегральная форма получается из дифференциальной:

1. Разделим переменные:

2. Проинтегрируем обе части равенства:

3. Найдем интегралы Þ —общее решение

4. Найдем частное решение:

Если t = t₀ = 0 Þ N_t = N₀ , подставим эти условия в общее решение

(начало (исходное число

Þ Таким образом:

интегральная форма закона р/акт. распада

N_t — число не распавшихся атомов к моменту времени t;

λ — постоянная распада;

Вывод: Наличное количество не распавшихся атомов

исходному количеству и убывает с течением времени по экспоненциальному закону. (слайд 37)

T₂ 3.

Þ

5.

Период полураспада изотопов различается в широких пределах: (слайд40)

238 U ® T = 4,51· 10 9 лет

60 Co ® T = 5,3 года

24 Na ® T = 15,06 часов

6. Активность. Её виды, единицы измерения и количественная оценка. Формула активности.(слайд 41)

На практике основное значение имеет общее число распадов, приходящихся в источнике радиоактивного излучения в единицу времени => количественно меру распада определяют активностью радиоактивного вещества.

Активность (А) зависит от относительной скорости распада «λ» и от наличного числа ядер (т.е. от массы изотопа).

«А» — характеризует абсолютную скорость распада изотопа.

3 варианта записи формулы активности: (слайд 42,43)

I. Из закона радиоактивного распада в дифференциальной форме следует:

Þ

активность (абсолютная скорость радиоактивного распада).

активность

II. Из закона радиоактивного распада в интегральной форме следует:

1. (домножим обе части равенства на «λ» ).

Þ

2. ; ( исходная активность при t = 0)

3. убыль активности идет по экспоненциальному закону

III. При использовании формулы связи постоянной распада «λ» с периодом полураспада «Т» следует:

1. (домножим обе части равенства на «N_t», что бы получить активность ). Þ и получаем формулу для активности

2.

Единицы измерения активности: (слайд 44)

А. Системные единицы измерения.

1[расп/с] = 1[Бк] – беккерель

1Мрасп/с =10 6 расп/с = 1 [Рд] — резерфорд

Б. Внесистемные единицы измерения.

[Ки] — кюри (соответствует активности 1г радия).

1[Ки] = 3,7 · 10 10 [расп/с] — в 1г радия за 1с распадается 3,7· 10 10 радиоактивных ядер.

Виды активности: (слайд 45)

1. Удельная — это активность единицы массы вещества.

Её используют для характеристики порошкообразных и газообразных веществ.

2. Объёмная — это активность в единице объёма вещества или среды.

Её используют для характеристики жидких веществ.

На практике убыль активности измеряется с помощью специальных радиометрических приборов. Например, зная активность препарата и продукта, образующегося при распаде 1 ядра, можно вычислить, сколько частиц каждого вида испускает препарат за 1 секунду.

Если при делении ядра образуется нейтронов»n», то за 1с испускается поток нейтронов «N». N = n · А.

Радиоактивность. Период радиоактивного распада и дифференциальные уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

27.12.2020
1
Интегрированный ( математика- физика) урок изучения нового материала с использованием Интернет-ресурсов.

Тема:«Радиоактивность.
Период радиоактивного распада и дифференциальные уравнения»

Повторить и расширить знания учащихся по основным темам раздела «Ядерная физика».
Изучить новые физические процессы и явления, используя дифференциальные уравнения.
Рассмотреть необходимость защиты от действия радиоактивного излучения.
Используя Интернет-ресурсы, найти дополнительные сведения по теме урока.
Цель урока:

27.12.2020
3
Ход урока
1.Подготовка к восприятию нового материала
(фронтальная беседа)
Вопросы:
1.Историческая справка об открытии радиоактивности
2.Опыт Резерфорда по изучению строения атома.
3.Квантовые постулаты Бора.Какова их роль?
4.Каков состав атомного ядра?
5. Что такое стабильность ядра?
6.Что такое энергия связи нуклонов в ядре?

Дифференциальные уравнения.
Биологическое действие радиации

Естественная радиоактивность
Задача интегрированного урока следующая:
показать, что многие процессы природы, можно описать с помощью математических уравнений. Недаром говорят: «Математика- царица всех наук».

I I. Изучение нового материала.
Период полураспада
Тесты
План:

27.12.2020
5
1932 г Иваненко и Гейзенберг предложили протонно-нейтронную модель
атомного ядра

27.12.2020
6
Силы, связывающие нуклоны в ядре, называются ядерными.
Ядерные силы короткодействующие (радиус действия 10-15 м)
Ядерные силы  сил электрического взаимодействия зарядов
Ядерные силы действуют между нуклонами независимо от их
заряда (протон-протон, нейтрон-протон, нейтрон-нейтрон)
Каждый нуклон взаимодействует только с ограниченным числом
ближайших к нему нуклонов

27.12.2020
7
Естественная радиоактивность- радиоактивность, наблюдаемая у неустойчивых изотопов, существующих в природе. У больших ядер нестабильность возникает вследствие конкуренции между притяжением
нуклонов ядерными силами и кулоновским отталкиванием протонов.
Не существует стабильных ядер с зарядовым числом Z > 83 и массовым числом A > 209.
Искусственная радиоактивность- радиоактивность изотопов,
полученных искусственно при ядерных реакциях.

27.12.2020
8
Радиоактивность – это
самопроизвольное превращение
одних ядер в другие,
сопровождаемое испусканием
различных частиц.
Естественная радиоактивность

27.12.2020
9
Закон радиоактивного распада
Период полураспада

27.12.2020
10
Дифференциальные уравнения
Решение многих задач физики сводится к задаче нахождения функций,
удовлетворяющих уравнению
Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться,
что решением уравнения (1) является любая функция вида
Так как С произвольно, у уравнения (1) бесконечно много решений.
Докажем, что других решений, кроме функций вида(2), уравнение (1)
не имеет
Для этого рассмотрим произвольную функцию f, удовлетворяющую
уравнению (1), и вспомогательную функцию

Подставляя
Из равенства производной функции g нулю следует, что g(x)=C
при всех X
Из (3) получаем:
Найдем ее производную

27.12.2020
12
Радиоактивный распад
Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна:
m(0)=
(4)
Экспериментально установлено, что скорость уменьшения массы
вещества m(t) со временем t пропорциональна его количеству, т.е.
Промежуток времени T, через который масса радиоактивного
вещества уменьшается в 2 раза, называется периодом полураспада
этого вещества.
Зная T, можно найти К. Так как

27.12.2020
13
Например, для радия Т=1550 лет.
Поэтому К=ln2\1550=0,000447
Через миллион лет от начальной
массы радия
Следовательно,

27.12.2020
14
Сам закон радиоактивного распада прост
N=N0 2-t/ Т ,

представить его непросто.
Скорость распада не меняется. Радиоактивные атомы «не старают»
Распад любого атомного ядра – это так сказать, не «смерть от старости», а «несчастный случай» в его жизни. Для радиоактивных атомов (точнее ядер) не существует понятия возраста. Можно определить лишь среднее время жизни Т. Предсказать, когда произойдёт распад данного атома, не возможно. Этот закон справедлив для большого количества частиц.
Период полураспада постоянная величина, которая не может быть изменена
такими доступными воздействия, как охлаждение, нагрев, давление и т.д.

этого закона
Физический смысл :

27.12.2020
15
Закрепление и проверка знаний
Решить задачи.

1. К началу радиоактивного распада имели 1г радия А.
Через сколько минут его останется 0,125г,
если его период полураспада равен 3 минуты?(9минут)
2. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 час. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз? (1\lg2=3,322ч.)

3.Имелось некоторое количество радиоактивного радона. Количество радона уменьшилось в 8 раз за 11,4 дня. Каков период полураспада радона?(3,8 дня) Решение:

4.Какие силы действуют между нуклонами в атомных ядрах и какими свойствами они обладают?

27.12.2020
16
5.Сколько протонов и нейтронов содержит
следующий химический элемент?
Закрепление знаний

27.12.2020
17
Количество электронов-29
Количество протонов-29
Количество нейтронов-64-9=35
Ответ на 5 вопрос

27.12.2020
18
6.При бета-распаде из ядра вылетает электрон. Внутри ядер электроны существовать не могут .
Объясни этот парадокс.?
Закрепление

27.12.2020
19
Электроны возникают при β-распаде в результате превращения нейтрона в протон. Этот процесс может происходить не только внутри ядра, но и со свободными нейтронами. Среднее время жизни свободного нейтрона составляет около 15 минут. При распаде нейтрон превращается в протон и электрон
Бета распад
Ответ на вопрос №6

27.12.2020
20
8.Что называют периодом полураспада радиоактивного вещества?.
9.Что он характеризует?
10.Каков характер этого распада?
11.Как выглядит график зависимости спада активности радиоактивного элемента от времени?
12.Приведите примеры периодов полураспада некоторых радиоактивных элементов?
Закрепление

27.12.2020
21
Биологическое действие радиации.
Способы защиты от радиации.
Как курение связано с радиацией? (презентация суда над«Никотиновой».)
Изотопы. Их получение и применение.
Ядерное оружие.

Дополнительные сведения
полученные из интернета

27.12.2020
22
Подводный взрыв атомной бомбы.
Взрыв атомной бомбы

27.12.2020
24
Биологическое действие
ионизирующих излучений
D=Е/m

1 Гр=1Дж/кг
Доза поглощенного излучения – это отношение энергии ионизирующего
излучения к массе облучаемого тела.

Ионизация атомов
и молекул
вещества

Переход атомов и
молекул в возбужденное
состояние

Допустимая доза облучения

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 121 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 239 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 354 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 396 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.12.2020
• 1456
• 1

• 27.12.2020
• 1986
• 4

• 27.12.2020
• 2463
• 3

• 27.12.2020
• 2328
• 0

• 27.12.2020
• 2960
• 0

• 27.12.2020
• 3389
• 0

• 27.12.2020
• 4390
• 0

• 27.12.2020
• 4554
• 11

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.06.2020 208
• PPTX 1.8 мбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кутенкова Ольга Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 24371
• Всего материалов: 226

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Задача 2 (радиоактивный распад)

Основные понятия

Дифференциальных уравнений

При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция — первообразная для функции .

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.

Задача 1 (движение материальной точки).

Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.

Решение. Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где — есть ускорение движущегося тела, — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения

или , где — масса тела.

Это же уравнение можно записать так

.

Задача 2 (радиоактивный распад).

Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества , найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества и временем .

Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества по времени , т.е. . Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение

,

где — коэффициент пропорциональности.

Знак минус берется потому, что с возрастанием количество вещества уменьшается, а значит, производная не положительна.

Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция

.

Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:

.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.

Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение — обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение — ДУ третьего порядка; — ДУ в частных производных первого порядка.

Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

Например, для уравнения функции вида , или , где — любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения функция вида , где , является решением данного уравнения.