Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению заданная функция
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        20.22. Показать, что функция y(x) удовлетворяет данному уравнению (1).
        
        (1)
Примеры решений задач: функции нескольких переменных
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:
Примеры: область определения ФНП
Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.
Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.
Примеры: частные производные ФНП
Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$
Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=\sqrt
Задача 5. Найти частные производные сложной функции:
$$ z=u^2 \cdot \ln v; \quad u=\frac
Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.
Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции
Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:
Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $\sin(xz)+\cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.
Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.
Градиент, производная по направлению
Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $\overline
Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $\overline
Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.
Касательная плоскость и нормаль
Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.
Задача 16. Для кривой $\overline
$$ \overline
Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.
Экстремумы функции нескольких переменных
Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.
Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.
Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+\frac<1><2>y^2+5$.
Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.
Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.
Приближенные вычисления
Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.
Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.
Ряд Тэйлора
Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2\ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.
Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.
Наибольшее и наименьшее значение в области
Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 \le x \le 1; 0\le y \le 2$. Сделать чертёж области $D$.
Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.
Решение контрольной
Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $\overline
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Электронная библиотека
Пример 1. Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция z = f(x,y).
Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:
Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:
В правой части уравнения имеем:
Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.
Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.
Решение. а) Рассмотрим функцию
Значение этой функции в точке известно и равно
Вычислим приближенно значение функции по формуле:
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mafnp
http://libraryno.ru/4-reshenie-tipovogo-varianta-funkneskperem/