Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия

Проверка адекватности линейного уравнения регрессии

Расчет коэффициентов ПФЭ при равном числе параллельных опытов в каждой точке факторного пространства

Коэффициенты находятся по формуле:

,

где — среднее значение параметра оптимизации, вычисленное по параллельным опытам – ой строки матрицы планирования .

Проверка значимости коэффициентов ПФЭ

Очевидно, что один фактор больше влияет на параметр оптимизации, другой – меньше. Поэтому можно проверить полученные коэффициенты регрессии на значимость, т.е. оценить величину влияния каждого фактора на значение параметра оптимизации. Если эта величина соизмерима с ошибкой эксперимента, то соответствующий коэффициент не несет дополнительной информации об объекте, и его можно приравнять к нулю, что упрощает математическую модель.

Значимость коэффициентов проверяется с помощью – критерия Стьюдента.

Значения – критерия вычисляются для каждого для каждого фактора по формуле:

,

Полученные значения сравнивают с табличным значением критерия Стъюдента , которое находится по числу степеней свободы , и уровню значимости α — величина, характеризующая вероятность того, что решение будет неправильным. Обычно принимают, что α =0.05.

> ,

то коэффициент значимо отличается от нуля, если же , (1)

то линейное уравнение регрессии признается адекватным. Если это условие не выполняется, т.е.

При расчете F предполагается что . Если наблюдается обратное, то вывод об адекватности может быть сделан и без проверки условия (1).

Если модель адекватна, то ее можно использовать для поиска области оптимума объекта исследования или для предсказания отклика.

При неадекватной линейной модели наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьирования факторов и повторении эксперимента.

Итак, алгоритм расчета линейной модели с использованием ПФЭ следующий:

Задают матрицу планирования в кодированной форме для заданного числа факторов

Для каждого фактора задают базовую точку и интервал варьирования

Рассчитывают матрицу планирования в натуральной (размерной) форме

Проводят эксперименты, по матрице планирования, используя случайные числа.

Проводят серию опытов в центре плана, для определения ошибки опыта.

Проверка адекватности регрессионной модели

Расчет F-критерия Фишера, индекса (коэффициента) детерминации, критерия Дарбина -Уотсона, средней ошибки аппроксимации

Исходные данные

Используем опытные данные при построении уравнения квадратичной функции вида y = ax 2 + bx + c, оценим значимость полученного уравнения регрессии У =0.6531x 2 -1.3403x+1.9226 .

Решение системы линейных уравнений и определение параметров для данного уравнения, с использованием метода Крамера, смотри МНК для параболы 2-го порядка .

Диаграмма рассеяния и график уравнения регрессии

Расчет критериев оценки

Для оценки значимости параметров регрессии и корреляции сначала рассчитаем среднее значение зависимой переменной:

Составим таблицу вспомогательных величин, где:

Критерии оценки

Зависимость (связь) между переменными весьма тесная.

Индекс детерминации (коэффициент детерминации) используют для характеристики качества уравнения регрессии. R 2 = 0.9216 2 =0.8494 Чем больше R 2 , тем большая часть дисперсии результативного признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. Изменчивость зависимой переменной (у) на 84,94 % объясняется изменчивостью независимой переменной (х). Иными словами: в 85 случаях из 100 изменение величины результативного показателя (у) объясняется изменением величины факторного признака (х).

Средняя ошибка аппроксимации:

Общее суждение о качестве модели среднее (полученный критерий выше максимально допустимых значений: 12-15 %).

F-критерий Фишера (фактический):

k=m = 2 , k=n-m – 1 = 10-2-1 = 7 , α= 0.05 m– это число параметров при переменных уравнения регрессии (без свободного члена).

F_факт > F_теор. ( 19,7371>4.7374 ) – признается статистическая значимость уравнения в целом.

Критерий Дарбина-Уотсона (фактический):

Автокорреляция отклонений отсутствует, если выполняется следующее условие: d_L d_U) → 0.95 1.54 основная гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.

Электронная библиотека

Совокупность действий, связанных с составлением уравнения регрессии, называется регрессионным анализом. Регрессионный анализ результатов однофакторного эксперимента включает в себя следующие действия:

1) подбор вида уравнения регрессии. Осуществляется с помощью, например, функциональных шкал;

2) определение постоянных коэффициентов в уравнении регрессии. Осуществляется с помощью МНК;

3) проверку соответствия (адекватности) уравнения регрессии результатам опытов.

Проверка адекватности уравнения регрессии результатам опытов проводится следующим образом:

1) По результатам повторных изменений в каждом опыте вычисляются дисперсия функции отклика (σ_у 2 ), среднеквадратичная погрешность ( ), доверительный интервал 9 ), математическое ожидание ( ).

2) Осуществляется проверка однородности дисперсии , где j = 1,2,…, N – число опытов. Дисперсии называются однородными, если при неограниченном увеличении числа повторных измерений п в каждом из опытов они стремятся к общему пределу, т.е.

Дисперсии проверяются на однородность с помощью критериев Фишера, Кохрена, Бартлета. Наиболее просто осуществить проверку однородности с помощью критерия Фишера. Для этого из всех дисперсий ( ) выбирают две: наибольшую ( ) и наименьшую ( ).

Отношение / сравнивают с табличным значением критерия Фишера (F):

· если / F – дисперсии неоднородны.

Значения критерия Фишера берутся из таблицы 2.3, составленной при доверительной вероятности Р = 0,95, для числа степеней свободы числителя (дисперсии ) и числа степеней свободы знаменателя (дисперсии ).

Если в каждом из опытов число повторных измерений одинаково и равно п, то f_числ = f_знам = п – 1.

Если дисперсии и неоднородны, то это означает, что число повторных измерений недостаточно или что среди результатов повторных измерений опыта с дисперсией находится промах.

Следует очистить результаты повторных измерений от промахов, увеличить число повторных измерений, снова определить и проверить их однородность. Если все дисперсии и однородны, можно переходить к следующему действию.

3) Вычисляется дисперсия воспроизводимости (S 2 _воспр). Дисперсия воспроизводимости – это среднее из дисперсий ( ) всех опытов. Дисперсия воспроизводимости характеризует средний разброс результатов повторных измерений во всех опытах относительно своих математических ожиданий.

Если в каждом опыте число повторных измерений одинаково и равно п, то S 2 _воспр определяется по формуле:

где N – число опытов, – математическое ожидание в j-м опыте. Если в опытах число повторных измерений различно, то S 2 _воспр определяется как средневзвешенная величина

где — число повторных измерений в j—м опыте.

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно сумме чисел степеней свободы дисперсий опытов:

4) Вычисляется дисперсия адекватности (S 2 _ад). Дисперсия адекватности – это сумма квадратов отклонений расчётных и экспериментальных значений функции отклика в каждом опыте, отнесённая к числу степеней свободы. Она характеризует разброс экспериментальных результатов относительно расчётных и определяется по формуле:

где т – число постоянных коэффициентов в уравнении регрессии; — математическое ожидание в j—м опыте; N – m = f_ад – число степеней свободы дисперсии адекватности;

3) Проверяется однородность дисперсий адекватности и воспроизводимости. Дисперсии адекватности и воспроизводимости будут однородными, если их отношение будет меньше табличного значения критерия Фишера:

S 2 _ад / S 2 _воспр 2 _ад и S 2 _воспр однородны , то с доверительной вероятностью Р = 0,95 можно утверждать, что составленное уравнение регрессии адекватно. Это следует из того, что при и разброс экспериментальных значений функции отклика относительно её расчётных значений равен среднему разбросу результатов повторных измерений в каждом опыте относительно своих математических ожиданий.

Если S 2 _ад / S 2 _воспр > F, то выбранное уравнение регрессии неадекватно. Следует перейти к уравнению регрессии более высокого порядка или выбрать уравнение регрессии другого вида, определить значения коэффициента и снова проверить адекватность.

Если опыты состоят из однократных измерений, то адекватность уравнения регрессии не может быть проверена изложенным способом. В этом случае проверка адекватности уравнения регрессии может быть осуществлена сравнением доверительного интервала функции отклика (а_у) с отклонениями расчётных и экспериментальных значений функции отклика ( ). Очевидно, что, если Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00