Проверка гипотезы о незначимости уравнения регрессии

Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии

Проверкой статистической гипотезы о значимости отдельных параметров модели называется проверка предположения о том, что данные параметры значимо отличаются от нуля.

Необходимость проверки гипотез о значимости параметров модели вызвана тем, что в дальнейшем построенную модель будут использовать для дальнейших экономических расчётов.

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена линейная модель парной регрессии. Задача состоит в проверке значимости оценок неизвестных коэффициентов модели, полученных методом наименьших квадратов.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости коэффициентов регрессии, т. е.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости коэффициентов регрессии, т.е.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента и называется критическим.

Критическое значение t-критерия зависит от уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровнем значимостиа называется величина, которая рассчитывается по формуле:

где γ – это доверительная вероятность попадания оцениваемого параметра в доверительный интервал. Значение доверительной вероятности должно быть близким к единице, например, 0.95, 0.99. Следовательно, уровень значимости а можно определить как вероятность того, что оцениваемый параметр не попадёт в доверительный интервал.

Числом степеней свободы называется показатель, который рассчитывается как разность между объёмом выборочной совокупности n и числом оцениваемых параметров по данной выборке h. Для линейной модели парной регрессии число степеней свободы рассчитывается как (n-2), потому что по данным выборочной совокупности оцениваются только два параметра – β₀ и β₁.

Таким образом, критическое значение t-критерия Стьюдента определяется как tкрит(а;n-h).

При проверке основной гипотезы вида Н₀:β₁=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где – оценка параметра модели регрессии β₁;

ω(β₁) – величина стандартной ошибки параметра модели регрессии β₁.

Показатель стандартной ошибки параметра модели регрессии β₁ для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

Числитель стандартной ошибки может быть рассчитан через парный коэффициент детерминации следующим образом:

где G 2 (y) – общая дисперсия зависимой переменной;

r2yx – парный коэффициент детерминации между зависимой и независимой переменными.

При проверке основной гипотезы β₀=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где – оценка параметра модели регрессии β₀;

ω(β₀) – величина стандартной ошибки параметра модели регрессии β₀.

Показатель стандартной ошибки параметра β₀ модели регрессии для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

При проверке основных гипотез возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о незначимости параметров модели регрессии отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости параметров модели регрессии принимается.

Пример нахождения статистической значимости коэффициентов регрессии

Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: .
Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:
,
где — оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;
μ_a – стандартная ошибка параметра a.
Для линейного парного уравнения регрессии:
.
Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:
, где r_yx — оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; m_r – стандартная ошибка коэффициента корреляции r_yx.
Для линейного парного уравнения регрессии:
.
В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь: t _{( b =0)} = t _(r=0).

Пример №1 . Уравнение имеет вид y=ax+b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.73 2 = 0.54, т.е. в 54% случаев изменения х приводят к изменению y . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — средняя.

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	y(x)	(y-y cp ) 2	(y-y(x)) 2	(x-x p ) 2
69	124	4761	15376	8556	128.48	491.36	20.11	367.36
83	133	6889	17689	11039	141.4	173.36	70.56	26.69
92	146	8464	21316	13432	149.7	0.03	13.71	14.69
97	153	9409	23409	14841	154.32	46.69	1.73	78.03
88	138	7744	19044	12144	146.01	66.69	64.21	0.03
93	159	8649	25281	14787	150.63	164.69	70.13	23.36
74	145	5476	21025	10730	133.1	1.36	141.68	200.69
79	152	6241	23104	12008	137.71	34.03	204.21	84.03
105	168	11025	28224	17640	161.7	476.69	39.74	283.36
99	154	9801	23716	15246	156.16	61.36	4.67	117.36
85	127	7225	16129	10795	143.25	367.36	263.91	10.03
94	155	8836	24025	14570	151.55	78.03	11.91	34.03
1058	1754	94520	258338	155788	1754	1961.67	906.57	1239.67

2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (10;0.05) = 1.812
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически — значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

S _a = 0.2704
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 88,16
(128.06;163.97)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика

Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (3.41>1.812).

Статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (2.7>1.812).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=1.812):
(a — t_табл·S _a; a + t_табл·S_a)
(0.4325;1.4126)
(b — t_табл·S _b; b + t_табл·S_b)
(21.3389;108.3164)
2) F-статистики

Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

Пример №2 . По территориям региона приводятся данные за 199Х г.;

Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение находим с помощью калькулятора.
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид
12a+1027b=1869
1027a+89907b=161808
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение. Получаем b = 0.92, a = 76.98
Уравнение регрессии: y = 0.92 x + 76.98
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.
Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день на 1%, среднедневная заработная плата изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние среднедушевого прожиточного минимума Х на среднедневную заработную плату Y не существенно.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению средней среднедневной заработной платы Y на 0.721 среднеквадратичного отклонения этого показателя.
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.72 2 = 0.5199, т.е. в 51.99 % случаев изменения среднедушевого прожиточного минимума х приводят к изменению среднедневной заработной платы y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — средняя. Остальные 48.01% изменения среднедневной заработной платы Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

y 2	x·y	y(x)	(y i — y ) 2	(y-y(x)) 2	(x i — x ) 2	|y-y x |:y
78	133	6084	17689	10374	148,77	517,56	248,7	57,51	0,1186
82	148	6724	21904	12136	152,45	60,06	19,82	12,84	0,0301
87	134	7569	17956	11658	157,05	473,06	531,48	2,01	0,172
79	154	6241	23716	12166	149,69	3,06	18,57	43,34	0,028
89	162	7921	26244	14418	158,89	39,06	9,64	11,67	0,0192
106	195	11236	38025	20670	174,54	1540,56	418,52	416,84	0,1049
67	139	4489	19321	9313	138,65	280,56	0,1258	345,34	0,0026
88	158	7744	24964	13904	157,97	5,06	0,0007	5,84	0,0002
73	152	5329	23104	11096	144,17	14,06	61,34	158,34	0,0515
87	162	7569	26244	14094	157,05	39,06	24,46	2,01	0,0305
76	159	5776	25281	12084	146,93	10,56	145,7	91,84	0,0759
115	173	13225	29929	19895	182,83	297,56	96,55	865,34	0,0568
1027	1869	89907	294377	161808	1869	3280,25	1574,92	2012,92	0,6902

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t_крит:
t_крит = (10;0.05) = 1.812
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 157.4922 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

12.5496 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bx_p ± ε)
где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 94

(76.98 + 0.92*94 ± 7.8288)
(155.67;171.33)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (10;0.05) = 1.812

Поскольку 3.2906 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 3.1793 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(0.9204 — 1.812·0.2797; 0.9204 + 1.812·0.2797)
(0.4136;1.4273)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a-t_a)
(76.9765 — 1.812·24.2116; 76.9765 + 1.812·24.2116)
(33.1051;120.8478)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fkp = 4.96
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Вопрос №11.Проверка гипотез о значимости параметров регрессии и уравнение регрессии в целом.

При помощи способа меньших квадратов мы получили только оценки характеристик уравнения регрессии. Чтоб проверить, значимы ли эти характеристики (т. е. значимо ли они отличаются от нуля в «истинном» уравнении регрессе y =b0 + b1∙x + u), употребляют статистические способы проверки гипотез. При помощи статистических способов проверки гипотез можно также проверить значимость коэффициента парной линейной корреляции (т. е. значимо ли он отличается от нуля в генеральной совокупы).

В качестве основной догадки (H0) выдвигают догадку о незначимом отличии от нуля «истинного» параметра регрессии либо коэффициента корреляции. Кандидатурой догадкой (Н1) при всем этом является догадка оборотная, т.е. о неравенстве нулю «истинного» параметра либо коэффициента корреляции. Мы заинтересованы в том, чтоб основная догадка была отвергнута. Для проверки этой догадки; употребляется t-статистика аспекта проверки догадки, имеющая рассредотачивание Стьюдента.

Отысканное по данным наблюдений значение t-статистики (его еще именуют наблюдаемым либо фактическим) сравнивается с критичным значением t -статистики, определяемым по таблицам рассредотачивания Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике либо эконометрике). Критичное значение определяется зависимо от уровня значимости ( ) и числа степеней свободы, которое равно (n – h), n — число наблюдений, h — число оцениваемых характеристик в уравнении регрессии. В случае линейной парной регрессии h= 2, а число степеней свободы равно (n – 2). Критичное значение может быть также вычислено на компьютере при помощи интегрированной функции СТЬЮДРАСПОБР пакета Ехcеl.

Если фактическое значение t-статистики, взятое по модулю, больше критичного, то основную догадку отторгают и считают, что с вероятностью ( ) «истинный» параметр регрессии (или коэффициент корреляции) значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-статистики (по модулю) меньше критичного, то нет оснований отторгать основную догадку, т. е. «истинный» параметр регрессии (или коэффициент корреляции) незначимо отличается от нуля при уровне значимости .

Для проверки догадки: b1=0 статистика аспекта проверки имеет вид:

где — оценка коэффициента регрессии b1 приобретенная по наблюдаемым данным;

— стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии .

Для линейного парного уравнения регрессий стандартная ошибка коэффициента рассчитывается по формуле:

Числитель в этой формуле может быть просто рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата:

Для проверки догадки: b0=0 статистика аспекта проверки догадки имеет вид:

где — оценка параметра регрессии b0, приобретенная по наблюдаемым данным;

— стандартная ошибка оценки параметра .

Для линейного парного уравнения регрессии:

Для проверки догадки о незначимом отличии от нуля «истинного» коэффициента линейной парной корреляции употребляют статистику аспекта:

– оценка коэффициента корреляции, приобретенная по наблюдаемым данным (выборочный коэффициент корреляции);

– стандартная ошибка выборочного коэффициента корреляции .

Для линейного парного уравнения регрессии:

В парной линейной регрессии меж наблюдаемыми значениями статистик критериев существует связь: .

Рассмотренная формула статистики аспекта проверки догадки о незначимом отличии от нуля коэффициента корреляции рекомендуется к применению, если:

1) число наблюдений (n) огромное;

2) величина не близка к единице.

Если же величина выборочного коэффициента корреляции по модулю близка к 1, то рассредотачивание его оценок отличается от рассредотачивания Стьюдента. В этом случае употребляют подход, предложенный Р. Фишером, а конкретно, для оценки значимости линейного парного коэффициента корреляции r вводится вспомогательная величина z, связанная c данным коэффициентом последующим отношением:

Величину z можно не рассчитывать, а пользоваться готовыми таблицами z-преобразования, в каких приведены значения z для соответственных значений .

При изменении от –1 до +1 величина z меняется от –¥ до +¥, что соответствует нормальному рассредотачиванию. Математический анализ обосновывает, что рассредотачивание величины z не много отличается от обычного даже при близких к единице значениях коэффициента корреляции.

Тогда догадка о том, что «истинный» коэффициент корреляции незначимо отличается от нуля, сводится к догадке о незначимом отличии от нуля величины z. Для проверки данной догадки употребляют статистику аспекта: . Стандартная ошибка определяется по формуле:

где п — число наблюдений.

Критичное значение t-статистики — tкрнаходят по таблицам стандартного обычного рассредотачивания по доверительной вероятности ( ). Основную догадку отторгают, если .

Оценка значимости уравнения регрессии делается для того, чтоб выяснить, применимо уравнение регрессии для практического использования (к примеру, для прогноза) илинет. При всем этом выдвигают основную догадку о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к догадке о равенстве нулю характеристик регрессии, либо, что тоже самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации R2=0. Другая ей догадка о значимости уравнения – догадка о неравенстве нулю характеристик регрессии либо о неравенстве нулю коэффициента детерминации:

Для ее проверки употребляют F-статистику аспекта проверки догадки: , где n –число наблюдений; h – число оцениваемых характеристик. Данная статистика имеет рассредотачивание Фишера-Снедоккора.

По таблицам рассредотачивания Фишера-Снедоккора находят критичное значение F-критерия зависимо от уровня значимости (обычно его берут равным 0,05) и 2-ух чисел степеней свободы k1=h – 1 и k2 = n – h.

Ассоциируют значение F-критерия, рассчитанное по данным подборки — Fнабл с критичным значением . Если , то догадку о незначимости уравнения регрессии не отторгают. Если , то выдвинутую догадку отторгают и принимают альтернативную догадку о статистической значимости уравнения регрессии.

Вопрос №12.Интервальная оценка параметров модели множественной регрессии.

1. Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_р) значение как точечный прогноз ŷ_x при х_р=х_к, то есть путем подстановки в уравнение регрессии ŷ_x=a+b*x соответствующего значения х 12 . однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки ŷ_x, то есть m_ŷx, и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у * )

что бы понять, как строится формула для определения величины стандартной ошибки ŷ_x, обратимся к уравнению линейной регрессии: ŷ_x=a+b*x. Подставим в это уравнение выражение параметра а: a=y-b*x, тогда уравнение регрессии примет вид: ŷ_x= y-b*x+b*x=у+ b(x-x).

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка m_ŷx зависит от ошибки у и ошибки коэффициента регрессии b, то есть:

Из теории выборки известно, что m_y 2 = σ 2 /n. Используя в качестве оценки σ 2 остаточную дисперсию на одну степень свободы S 2 , получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

Считая, что прогнозное значение фактора х_з=х_к, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, то есть m_ŷx:

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении x_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки m_ŷx, как видно из формулы, достигает минимума при х_к=х, и возрастает по мере того, как «удаляется» от х в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между х_к и х, тем больше ошибка m_ŷx с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения х_к. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении х_к от х. Если же значение х_к оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько х_к отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Фактические значения у варьируются около среднего значения ŷ_x. Индивидуальные значения у могут отклоняться от ŷ_x на величину случайной ошибки ε, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку m_ŷx, но и случайную ошибку S.