Проверка качества уравнения регрессии что это

R — значит регрессия

Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.

Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.

Введение в регрессионный анализ

Если имеется корреляционная зависимость между переменными y и x , возникает необходимость определить функциональную связь между двумя величинами. Зависимость среднего значения называется регрессией y по x .

Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.

Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.

Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.

• k — число коэффициентов в системе уравнений регрессии.

Чаще всего используется модель линейной регрессии, а все нелинейные зависимости приводят к линейному виду с помощью алгебраических ухищрений, различных преобразования переменных y и x .

Линейная регрессия

Уравнения линейной регрессии можно записать в виде

В матричном виде это выгладит

• y — зависимая переменная;
• x — независимая переменная;
• β — коэффициенты, которые необходимо найти с помощью МНК;
• ε — погрешность, необъяснимая ошибка и отклонение от линейной зависимости;

Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:

• — полная дисперсия (TSS).
• — объясненная часть дисперсии (ESS).
• — остаточная часть дисперсии (RSS).

Еще одно ключевое понятие — коэффициент корреляции R 2 .

Ограничения линейной регрессии

Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.

1. Линейность, собственно. Увеличение, или уменьшение вектора независимых переменных в k раз, приводит к изменению зависимой переменной также в k раз.
2. Матрица коэффициентов обладает полным рангом, то есть векторы независимых переменных линейно независимы.
3. Экзогенность независимых переменных — . Это требование означает, что математическое ожидание погрешности никоим образом нельзя объяснить с помощью независимых переменных.
4. Однородность дисперсии и отсутствие автокорреляции. Каждая ε_i обладает одинаковой и конечной дисперсией σ 2 и не коррелирует с другой ε_i. Это ощутимо ограничивает применимость модели линейной регрессии, необходимо удостовериться в том, что условия соблюдены, иначе обнаруженная взаимосвязь переменных будет неверно интерпретирована.

Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.

Неоднородность дисперсии

При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.

Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.

Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.

• Автокорреляция проверяется статистикой Дарбина-Уотсона (0 ≤ d ≤ 4). Если автокорреляции нет, то значения критерия d≈2, при позитивной автокорреляции d≈0, при отрицательной — d≈4.
• Неоднородность дисперсии — Тест Уайта, , при \chi<^2>_<\alpha;m-1>$» data-tex=»inline»/> нулевая гипотеза отвергается и констатируется наличие неоднородной дисперсии. Используя ту же можно еще применить тест Бройша-Пагана.
• Мультиколлинеарность — нарушения условия об отсутствии взаимной линейной зависимости между независимыми переменными. Для проверки часто используют VIF-ы (Variance Inflation Factor).

В этой формуле — коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.

Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.

Как преодолеть эти ограничения

Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.

1. Нелинейность регрессии может быть преодолена преобразованием переменных, например через функцию натурального логарифма ln .
2. Таким же способом возможно решить проблему неоднородной дисперсии, с помощью ln , или sqrt преобразований зависимой переменной, либо же используя взвешенный МНК.
3. Для устранения проблемы мультиколлинеарности применяется метод исключения переменных. Суть его в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные устраняются из регрессии, и она заново оценивается. Критерием отбора переменных, подлежащих исключению, является коэффициент корреляции. Есть еще один способ решения данной проблемы, который заключается в замене переменных, которым присуща мультиколлинеарность, их линейной комбинацией. Этим весь список не исчерпывается, есть еще пошаговая регрессия и другие методы.

К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.

Линейная регрессия плюсов на Хабре

Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.

Загружает данные из tsv файла.

• points — Рейтинг статьи
• reads — Число просмотров.
• comm — Число комментариев.
• faves — Добавлено в закладки.
• fb — Поделились в социальных сетях (fb + vk).
• bytes — Длина в байтах.

Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.

Теперь собственно сама модель, используем функцию lm .

В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points

. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points

reads , набор переменных — points

Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.

• Intercept — Если у нас модель представлена в виде , то тогда — точка пересечения прямой с осью координат, или intercept .
• R-squared — Коэффициент детерминации указывает насколько тесной является связь между факторами регрессии и зависимой переменной, это соотношение объясненных сумм квадратов возмущений, к необъясненным. Чем ближе к 1, тем ярче выражена зависимость.
• Adjusted R-squared — Проблема с в том, что он по любому растет с числом факторов, поэтому высокое значение данного коэффициента может быть обманчивым, когда в модели присутствует множество факторов. Для того, чтобы изъять из коэффициента корреляции данное свойство был придуман скорректированный коэффициент детерминации .
• F-statistic — Используется для оценки значимости модели регрессии в целом, является соотношением объяснимой дисперсии, к необъяснимой. Если модель линейной регрессии построена удачно, то она объясняет значительную часть дисперсии, оставляя в знаменателе малую часть. Чем больше значение параметра — тем лучше.
• t value — Критерий, основанный на t распределении Стьюдента . Значение параметра в линейной регрессии указывает на значимость фактора, принято считать, что при t > 2 фактор является значимым для модели.
• p value — Это вероятность истинности нуль гипотезы, которая гласит, что независимые переменные не объясняют динамику зависимой переменной. Если значение p value ниже порогового уровня (.05 или .01 для самых взыскательных), то нуль гипотеза ложная. Чем ниже — тем лучше.

Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.

Проверим значения параметров линейной регрессии.

Как видим в целом отзывчивость модели возросла, параметры подтянулись и стали более шелковистыми , F-статистика выросла, так же как и скорректированный коэффициент детерминации .

Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.

И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.

В заключение

Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.

Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.

Проверка общего качества уравнения

Множественной регрессии

Для проверки общего качества уравнения регрессии обычно используется коэффициент детерминации R 2 , который характеризует долю дисперсии зависимой переменной Y, объясняемую регрессионной моделью, и определяется по формуле:

(3.27)

Свойства коэффициента R 2 подробно рассмотрены в разделе 2.4.

Для множественной регрессии коэффициент детерминации (или множественный коэффициент детерминации) является неубывающей функцией числа объясняющих переменных, т. е. добавление новой объясняющей переменной (фактора-аргумента Х) в модель никогда не уменьшает значение R 2 . Действительно, каждая новая объясняющая переменная может лишь дополнить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной. В целом это уменьшает неопределенность в поведении исследуемой величины Y. Однако увеличение R 2 при добавлении новых переменных далеко не всегда приводит к улучшению качества регрессионной модели, так как эти переменные могут не оказывать существенного влияния на результативный признак. Поэтому, наряду с коэффициентом R 2 , для анализа используется скорректированный коэффициент детерминации , определяемый соотношением:

(3.28)

или с учетом (3.27)

. (3.29)

Можно заметить, что знаменатель в (3.29) является несмещенной оценкой общей дисперсии зависимой переменной Y, а числитель – несмещенной оценкой остаточной дисперсии (дисперсии случайных отклонений).

Скорректированный коэффициент детерминации устраняет (корректирует) неоправданный эффект, связанный с ростом R 2 при увеличении числа объясняющих переменных. Из (3.28) следует, что при m > 1 Можно показать, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы, т. е. когда ее коэффициент регрессии (параметр модели) считается относительно значимым. Таким образом, в определенной степени использование скорректированного коэффициента детерминации более предпочтительно для сравнения регрессионных моделей при изменении количества объясняющих переменных (регрессоров). Добавление в модель новых регрессоров может осуществляться до тех пор, пока растет .

В компьютерных пакетах приводятся данные как по R 2 , так и по , которые используются на практике для оценки суммарной меры общего качества построенной регрессионной модели.

В общем случае качество модели считается удовлетворительным, если R 2 > 0,5. Однако не следует рассматривать коэффициент детерминации как абсолютный показатель качества модели. Можно привести ряд примеров, когда неправильно специфицированные модели имели сравнительно высокие коэффициенты детерминации. Поэтому коэффициент детерминации в современной эконометрике следует рассматривать лишь как один из показателей, который необходим для анализа строящейся модели.

Анализ общей (совокупной) статистической значимости уравнения множественной регрессии осуществляется на основе проверки основной гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при объясняющих переменных:

Если данная гипотеза не отклоняется, то естественно считать уравнение модели статистически незначимым, т. е. не выражающим существенную линейную связь между Y и Х₁, Х₂, …, Х_m.

Напомним (см. раздел 2.4.3), что общая дисперсия зависимой переменной D_n(y) может быть представлена в виде суммы двух составляющих:

где D_n(y) – соответственно, дисперсия, объясняемая уравнением множественной регрессии, и необъясняемая (остаточная) дисперсия, характеризующая влияние неучтенных факторов.

Исходя из этого проводится дисперсионный анализ для проверки гипотезы Н₀ (F-тест).

Строится проверочная F-статистика:

(3.30)

где – объясняемая дисперсия (в уравнении множественной регрессии вместе со свободным членом оценивается k = m + 1 параметров); – остаточная дисперсия. При выполнении предпосылок МНК построенная статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁ = m, v₂ = n — m — 1. Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, если при заданном уровне значимости a значение F_набл, рассчитанное по формуле (3.30), больше, чем критическое значение F_кр = F_{a; m; n — 1 — m} (F_набл > F_кр), и делается вывод о статистической значимости уравнения множественной регрессии. В противном случае (F_набл > F_кр) нет оснований для отклонения Н₀. Это означает, что объясняемая построенной моделью дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной неучтенными факторами, а следовательно, общее качество модели невысоко.

Если рассчитан коэффициент детерминации R 2 , то критерий значимости уравнения регрессии (3.30) может быть представлен в следующем виде:

(3.31)

Критерий (3.31) обычно используется на практике для тестирования гипотезы о статистической значимости коэффициента детерминации (Н₀ : R 2 = 0; Н₁ : R 2 > 0) которая эквивалентна гипотезе об общей статистической значимости уравнения множественной регрессии.

Отметим, что в отличие от парной регрессии, где t-тест и F-тест равносильны, в случае множественной регрессии коэффициент R 2 приобретает самостоятельную значимость.

Пример 3.2. Оценим статистическую значимость построенной модели.

Пусть при оценке регрессии с тремя объясняющими переменными ( по 30 наблюдениям получено значение коэффициента детерминации R 2 = 0,7. Тогда, наблюдаемое значение F-ста­тистики . По таблице критических точек распределения Фишера найдем F_{0,05; 3; 26} = 2,98 при заданном уровне значимости a = 0,05. Поскольку F_набл = 20,2 > F_кр = 2,98, то нулевая гипотеза отклоняется, т. е. отвергается предположение о незначимости линейной связи.

Мультиколлинеарность

Весьма нежелательным эффектом, который может проявляться при построении моделей множественной регрессии и искажать статистическую информацию, полученную по модели, является мультиколлинеарность [1,28,33]– линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих переменных. Различают функциональную и корреляционную формы мультиколлинеарности.

При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере два регрессора связаны между собой линейной функциональной зависимостью. В этом случае определитель матрицы Х Т Х равен нулю в силу присутствия линейно зависимых вектор-столбцов (нарушается предпосылка 5 МНК), что приводит к невозможности решения соответствующий системы уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.

Однако в эконометрических исследованиях мультиколлинеарность чаще всего проявляется в более сложной корреляционной форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Ниже рассмотрены некоторые способы обнаружения, а также уменьшения и устранения мультиколлинеарности.

Один из таких способов заключается в исследовании матрицы Х Т Х. Если ее определитель близок к нулю, то это может свидетельствовать о наличии мультиколлинеарности. В этом случае наблюдаются значительные стандартные ошибки коэффициентов регрессии и их статистическая незначимость по t-критерию, хотя в целом регрессионная модель может оказаться значимой по F-тесту.

Другой подход состоит в анализе матрицы парных коэффициентов корреляции между объясняющими переменными (факторами). Если бы факторы не коррелировали между собой, то корреляционная матрица R была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы (х_i ¹ x_j) равны нулю. Определитель такой матрицы равен единице [Тимофеев, 2013]. Например, для модели, включающей три объясняющих переменных , в этом случае имеем:

. (3.32)

Если же, наоборот, между факторами-аргументами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1 (|r_ij| = 1), то определитель матрицы межфакторной корреляции равен нулю

. (3.33)

Таким образом, чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность объясняющих переменных и ненадежнее оценки множественной регрессии, полученные с использованием МНК.

Если в модели больше двух объясняющих переменных, то для обнаружения мультиколлинеарности полезно находить частные коэффициенты корреляции, поскольку парные коэффициенты корреляции определяют силу линейной зависимости между двумя факторами без учета влияния на них других объясняющих переменных. Например, между двумя экономическими переменными может наблюдаться высокий положительный коэффициент корреляции совсем не потому, что одна из них стимулирует изменение другой, а вследствие того, что обе эти переменные изменяются в одном направлении под влиянием других факторов, присутствующих в модели. Поэтому возникает необходимость оценки действительной тесноты (силы) линейной связи между двумя факторами, очищенной от влияния других переменных. Параметр, определяющий степень корреляции между двумя факторами Х_i и X_j при исключении влияния остальных переменных называется частным коэффициентом корреляции.

Например, в случае модели с тремя объясняющими переменными Х₁, Х₂, Х₃ частный коэффициент корреляции между Х₁ и Х₂ рассчитывается по формуле:

(3.34)

Частный коэффициент корреляции может существенно отличаться от «обычного» парного коэффициента корреляции r₁₂. Пусть, например, r₁₂ = 0,5; r₁₃ = 0,5; r₂₃ = -0,5. Тогда частный коэффициент корреляции r_12.3 = 1 (3.34), т. е. при относительно невысоком коэффициенте корреляции r₁₂ частный коэффициент корреляции указывает на высокую зависимость (коллинеарность) между переменными Х_i и X_j.

Таким образом, для обоснованного вывода о корреляции между объясняющими переменными множественной регрессии необходимо рассчитывать частные коэффициенты корреляции.

Частный коэффициент корреляции r_{ij.1, 2, …, m}, как и парный коэффициент r_ij, может принимать значения от -1 до 1. Присутствие в модели пар переменных, имеющих высокие коэффициенты частной корреляции (обычно больше 0,8), свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.

Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности используется ряд методов, простейшим из которых является исключение из модели одной или нескольких коррелированных переменных. Обычно решение об исключении какой-либо переменной принимается на основании экономических соображений. Следует заметить, что при удалении из анализа объясняющей переменной можно допустить ошибку спецификации. Например, при изучении спроса на некоторый товар в качестве объясняющих переменных целесообразно использовать цену данного товара и цены товаров-заменителей, которые зачастую коррелируют друг с другом. Исключив из модели цены заменителей, мы, вероятнее всего, допустим ошибку спецификации. Вследствие этого можно получить смещенные оценки и сделать ненадежные выводы.

Иногда для уменьшения мультиколлинеарности достаточно (если это возможно) увеличить объем выборки. Например, при использовании ежегодных показателей можно перейти к поквартальным данным. Увеличение количества данных сокращает дисперсии коэффициентов регрессионной модели и тем самым увеличивает их статистическую значимость.

В ряде случаев минимизировать либо вообще устранить мультиколлинеарность можно с помощью преобразования переменных, в результате которого осуществляется переход к новым переменным, представляющим собой линейные или относительные комбинации исходных [11].

Например, построенная регрессионная модель имеет вид:

(3.35)

причем Х₁ и Х₂ – коррелированные переменные. В этом случае целесообразно оценивать регрессионные уравнения относительных величин:

.

Следует ожидать, что в моделях, построенных аналогично (3.36), эффект мультиколлинеарности не будет проявляться.

Существуют также другие, более теоретически разработанные способы обнаружения и подавления мультиколлинеарности, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Одним из таких методов является факторный анализ. Сущностью факторного анализа является процедура вращения факторов, т.е. перераспределение дисперсии по определённому методу с целью получения максимально простой и наглядной структуры факторов (выделение главных компонент) [23,35]. В результате проведения факторного анализа можно соответствующим образом сократить число переменных, тем самым избежать проявления мультиколлинеарности. При этом в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, что позволяет проводить регрессионный анализ на главных компонентах.

Факторный анализ играет большую самостоятельную роль в экономике и, прежде всего, разработан для поиска ненаблюдаемых, латентных переменных (факторов), имеющих определённый социально-экономический смысл [23].

Следует заметить, что если основная задача, решаемая с помощью эконометрической модели – прогнозирование поведения реального экономического объекта, то при общем удовлетворительном качестве модели проявление мультиколлинеарности не является слишком серьезной проблемой, требующей приложения больших усилий по ее выявлению и устранению, т. к. в данном случае наличие мультиколлинеарности не будет существенно сказываться на прогнозных качествах модели. Таким образом, вопрос о том – следует ли серьезно заниматься проблемой мультиколлинеарности или «смириться» с ее проявлением – решается исходя из целей и задач эконометрического анализа.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Какова общая структура модели множественной линейной регрессии?

2. Опишите алгоритм определения коэффициентов множественной линейной регрессии (параметров модели) по МНК в матричной форме.

3. Как определяется статистическая значимость коэффициентов регрессии?

4. В чем суть скорректированного коэффициента детерминации и его отличие от обычного R 2 ?

5. Как используется F-статистика во множественном регрессионном анализе?

6. Вычислите величину стандартной ошибки регрессионной модели со свободным членом и без него, если n = 30; m = 3.

7. На основе n = 30 наблюдений оценена модель с тремя объясняющими переменными. Получены следующие результаты:

Стандартные ошибки (2,5) (1,6) (2,8) (0,07)

Проведите необходимые расчеты и занесите данные в скобки. Сделайте выводы о существенности коэффициентов регрессии на уровне значимости a =0,05.

8. Имеются данные о ставках месячных доходов по трем акциям за шестимесячный период:

Есть основания предполагать, что доходы по акции С(Y) зависят от доходов по акциям А(X₁) и В(X₂). Необходимо:

а) составить уравнение регрессии Y по X₁ и X₂ с использованием МНК (указание: для удобства вычислений сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений переменных составьте вспомогательную таблицу);

б) найти множественный коэффициент детерминации R 2 и оценить общее качество построенной модели;

в) проверить значимость полученного уравнения регрессионной модели на уровне a = 0,05.

9. Объясните суть матрицы ковариаций случайных отклонений.

10. Дайте определение и объясните смысл мультиколлинеарности факторов-аргументов.

11. Каковы основные последствия мультиколлинеарности?

12. Какие вы знаете способы обнаружения мультиколлинеарности?

13. Как оценивается степень коррелированности между двумя объясняющими переменными?

14. Перечислите основные методы устранения мультиколлинеарности.

15. В чем заключается сущность факторного анализа?

16. Как определяются парный и частный коэффициенты корреляции для независимых переменных.

17. Для модели с тремя независимыми переменными X₁, X₂, X₃ построенной по n = 50 наблюдениям, определена следующая корреляционная матрица:

б) определить, имеет ли место мультиколлинеарность для уравнения регрессии.

Анализ общего качества уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации R 2

После проверки точности и статистической значимости каждого коэффициента регрессионной модели обычно проводится анализ общего качества уравнения модели, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Другими словами, необходимо оценить, насколько широко рассеяны точки наблюдений по их совокупности относительно линии регрессии (линии модели). Поэтому представляется естественным вывод о том, что проверку общего качества регрессионной модели следует проводить на основе дисперсионного анализа, сравнивая дисперсии модельных и реальных значений исследуемой переменной Y.

Рассмотрим для определенного набора наблюдений n дисперсию D_n(y), которая характеризует разброс значений y_i вокруг среднего значения. Из дисперсионного анализа следует, что эту дисперсию можно разбить на две части: объясняемую уравнением регрессии и не объясняемую (т. е. связанную со случайными отклонениями e_i). Тогда выполняется следующее соотношение:

(2.27)

где – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной Y от среднего значения;

– сумма квадратов, объясняемая уравнением регрессии;

– необъясненная (остаточная) сумма квадратов. Напомним, что определяется как , а .

Разделив выражение (2.27) на его левую часть, получим формулу для оценки характеристики, которая обозначается как R 2 и называется коэффициентом детерминации:

(2.28)

Коэффициент детерминации R 2 является мерой качества уравнения регрессионной модели и определяет долю дисперсии (разброса), объясняемую регрессией Y на Х, в общей дисперсии зависимой переменной Y.

Из проведенных рассуждений следует, что R 2 принимает значения между 0 и 1 (0 £ R 2 £ 1). Чем ближе R 2 к единице, тем теснее линейная связь между Х и Y (экспериментальные точки теснее примыкают к линии регрессии). Чем ближе R 2 к нулю, тем такая связь слабее. Если R 2 = 0, то дисперсия зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных факторов и линия регрессии (модели) должна быть параллельна оси абсцисс (Y = ).

Например, если для построенной модели R 2 = 0,7, то согласно (2.28) можно утверждать, что поведение зависимой переменной (результативного признака) Y на 70 % объясняется влиянием фактора Х и на 30 % обусловлено влиянием неучтенных факторов. Доля влияния неучтенных факторов связана со случайными отклонениями e_i и определяется отношением , характеризующим долю разброса зависимой переменной, не объясняемую линейной регрессией Y на Х.

Естественно, что для исследуемого объекта наиболее качественной будет считаться модель с наибольшим значением коэффициента детерминации R 2 .

Заметим, что коэффициент детерминации имеет смысл рассматривать только при наличии параметра (свободного члена) в уравнении регрессионной модели.

Таким образом, коэффициент детерминации R 2 определяет степень тесноты статистической связи между Y и Х. Но об этом же говорит выборочный коэффициент корреляции r_xy. Рассматривая эти характеристики, можно установить, что в случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

Действительно, учитывая (2.13),

.

Естественно, возникает вопрос, какое значение R 2 можно считать удовлетворительным. Ответ на этот вопрос может быть неоднозначным, особенно в случае множественной регрессионной модели и зависит от объема выборки n и постановки задачи, вытекающей из предмодельного анализа.

Более точно проверить значимость уравнения регрессии, т. е. установить, соответствует ли построенная модель реальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной, позволяет F-тест, который проводится по схеме статистической проверки гипотез. Тестируется гипотеза Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии.

Рассмотрим «объясненную» и «необъясненную» дисперсии: и D_n(e). Отношение этих дисперсий, рассчитанное на одну степень свободы, имеет F-распределение (F-статистику), фактически наблюдаемое значение которой для парной регрессии определяется формулой

(2.29)

Учитывая смысл дисперсий и D_n(e), можно считать, что значение F_набл показывает, в какой мере уравнение регрессии лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с

Согласно схеме статистической проверки гипотез, гипотеза Н₀ отклоняется, т. е. признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии на заданном уровне α, если F_набл превосходит критическое (табличное) значение F-статистики Фишера (F_набл > F_кр = F_α, 1, n — 2). Если F_набл 2 . В этом случае гипотеза Н₀ о статистической незначимости регрессионной модели заменяется эквивалентной гипотезой о статистической незначимости R 2 .

Для парной регрессионной модели способы проверки значимости коэффициента с использованием t-критерия (t-тест) и уравнения регрессии (показателя тесноты связи R 2 ) с использованием F-критерия равносильны, поскольку эти критерии связаны соотношением F = t 2 .

Наряду с коэффициентом детерминации R 2 для оценки качества парной регрессионной модели можно использовать характеристику, называемую средней ошибкой аппроксимации :

%. (2.31)

Средняя ошибка аппроксимации определяет среднее относительное отклонение расчетных данных (оцененных по уравнению модели) от фактических. является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах. Принято считать, что качество модели считается удовлетворительным, если средняя ошибка аппроксимации не превышает 8-9 %.

Пример 2.3.Проверить общее качество и статистическую значимость уравнения регрессии для модели, построенной в примере 2.1.

Оценку качества построенной модели дают коэффициент детерминации R 2 и средняя ошибка аппроксимации .

Вычислим коэффициент детерминации, воспользовавшись данными табл. 2.1.

Величина коэффициента детерминации показывает, что поведение результативного признака (недельного потребления) Y на 98,3 % объясняется влиянием фактора Х (изменением недельного дохода), а остальные 1,7 % составляют долю необъясненной вариации, происходящей под действием прочих (неучтенных) факторов.

Расчет средней ошибки аппроксимации представлен в последнем столбце табл. 2.1.

Рассчитанные значения коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации свидетельствуют о достаточно высоком общем качестве построенной модели.

Проверим статистическую значимость уравнения регрессионной модели с помощью F-теста. Расчетное (наблюдаемое) значение F-статистики Фишера вычисляется по формуле:

.

Табличное значение F-статистики при уровне значимости α = 0,01 и числе степеней свободы ν = n – 2 будет составлять 13,75 (F_кр = 13,75).

Так как F_набл > F_кр (355,05 > 13,75), то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется и уравнение регрессионной модели признается статистически значимым и весьма надежным, поскольку наблюдаемое значение F-статистики превосходит табличное значение критерия более чем в 25 раз.

Дата добавления: 2016-06-02 ; просмотров: 2252 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ