Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строительная механика

Главное меню

Присоединяйтесь

Метод сил при расчете статически неопределимых систем

Статически неопределимой называется система строительной механики, для которой невозможно определить внутренние усилия из уравнений равновесия.

В статически неопределимых систем существуют «лишние» связи, количество которых определяется степенью статической неопределимости системы.

В качестве неизвестных при решении таких систем используются силы, поэтому данный метод называется методом сил.

1) Рассчитывается степень статической неопределимости системы.

Степень статической неопределимости n простой системы (количество «лишних» связей) рассчитывается по формуле:

где Ш – количество простых шарниров (равно k-1, где k – число дисков, соединяемых шарниром);

С₀ – количество реакций, которые могут возникать во всех опорах системы;

Д – количество дисков.

Пример определения степени статической неопределимости:

Рисунок 1. Степень статической неопределимости

— балка (рис. 1, а): n=2·0+4–3·1=1;

— рама (рис. 1, б): n=2·2+4–3·2=2.

2) С целью преобразования статически неопределимой системы в статически определимую исключаются «лишние» связи. Их реакции заменяют неизвестными силами, а полученная система называется основной системой (ОС).

Пример: у балки (рис. 2, а) степень статической неопределимости n=1 (данную систему называют заданной системой (ЗС), ). Если убрать «лишнюю» связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 2, б). Вариантов исключения лишних связей несколько (рис. 2, в-д). Для каждого из вариантов объем расчетов будет различным. Поэтому необходимо выбирать наиболее оптимальную ОС. Так в нашем примере необходимо выбрать первый вариант ОС (рис. 2, б), т.к. в этом случае эпюры построить проще.

Рисунок 2. Метод сил

3) Записываются канонические уравнения метода сил, исходя из условия, что перемещения системы по направлениям убраных связей равны нулю.

Пример: балка со степенью статической неопределимости 1. Ее ЗС (рис. 3, а) и ОС (рис. 3, б) должны быть эквивалентными. Чтобы это произошло перемещение в направлении убраной связи должно равняться нулю: Δ =0.

Рисунок 3. Каноническое уравнение метода сил

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения Δ _X (рис. 3, в) от неизвестной реакции X и перемещения Δ _P (рис. 3, г) от заданной внешней силы P . Поэтому:

Полученное уравнение называется уравнением совместности деформаций.

Так как сила X неизвестна, перемещение Δ _X определить невозможно.

Рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, в котором на сооружение действует только единичная сила P =1 (рис. 3, д).

По закону Гука, в линейно-упругой системе Δ _X = δ X. Тогда уравнение совместности деформаций предстанет в следующем виде:

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода сил.

Причем количество уравнений равно количеству убраных «лишних» связей:

где δ_ii – главные коэффициенты;

δ_ij – боковые коэффициенты;

Δ iP – грузовые коэффициенты.

Коэффициент δ₂₁ представляет собой перемещение по направлению силы X ₂ , вызванное силой, равной единице, действующей по направлению силы X ₁ .

Симметрично расположенные относительно главной диагонали боковые коэффициенты равны между собой, т.е. δ_ik= δ_ki .

4) Для определения коэффициентов канонических уравнений для ОС строятся единичные эпюры от действия единичных сил, введенных вместо убраных «лишних» связей и грузовая эпюра Мp изгибающих моментов от действия заданной внешней нагрузки. Далее способом Верещагина определяются г лавные, боковые и грузовые коэффициенты .

5) Выполняется проверка коэффициенты канонических уравнений:

Построчная проверка выполняется для проверки всех коэффициентов одного уравнения. Если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, то коэффициенты этой строки вычислены верно:

Универсальная проверка выполняется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на саму себя, то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно.

Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, то грузовые коэффициенты вычислены верно.

6) Полученная система уравнений решается матричным способом и определяются неизвестные усилия Xi.

7) Строятся эпюры изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi. Для этого ординаты построенных ранее единичных эпюр умножаются на найденные соответствующие величины Xi.

8) Строится итоговая эпюра изгибающих моментов (М). Для этого ординаты построенных эпюр изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi складываются с ординатами грузовой эпюры (Мp).

9) На базе эпюры М строится эпюра поперечных сил (Q).

10) Методом вырезания узлов из эпюры поперечных сил строится эпюра продольных сил (N).

11) Проверка правильности построения эпюр М, Q , N :

– статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия (уравнения статики), т.е.:

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М на любую из единичных эпюр должен получаться нуль.

Метод сил — расчет статически неопределимых рам

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Канонические уравнения метода сил

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Выбор основной системы

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру — эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

или, учитывая, что

приходим к выражению:

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Определение перемещений в статически неопределимых системах

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

Пример расчета

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Реакция лишних связи:

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на метод сил

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение I₂=2I₁

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I₁ =I, тогда I₂=2I.

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х₁ и Х₂ и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х₁=1 и Х₂=1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М_F.

М₂= —q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М₃= —q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М₄= —q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х₁, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М_ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М_ок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М_S – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х₁=1 и Х₂=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

1. Построение Эп Q поЭп М_ок.

Эп Q строим по формуле:

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

где М_пр – момент правый,

М_лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М_ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

Строим Эп N.

1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики.

Все проверки сошлись. Задача решена.

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, проверить правильность построения эпюр. Дано: L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей I₁=2I, I₂=I

1. Определяем степень статической неопределимости: n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где R – число всех неизвестных реакций, Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей Основная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х₁, Х₂

Эквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х₁=1, затем Х₂=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М₁

б) Построение эпюры М₂

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе прикладываем одновременно Х₁=1 и Х₂=1. Эпюра M_s = M₁ + M₂

а) Первая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_s = ∑δ_ij

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

верно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_F = ∑Δ_iF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

верно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

10. Строим окончательную эпюру моментов М_ок по формуле:

11. Проверки окончательной эпюры моментов М­_ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

Ошибка составляет:

12. По эпюре М_ОК строим эпюру поперечных сил Q с использованием формулы: , где М пр и М лев – моменты с эпюры М_ок, соответственно с правой и с левой стороны участка . Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

13. По эпюре Q строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

Вырезаем узел 2

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

Составляем уравнения равновесия:

Все проверки выполняются.

Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения

Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N и подобрать размеры поперечного сечения в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям для рамы, если дано F=80 кН, М=30кНм, q=60кН/м, h=2м, а=1,6м, EI_x=const, σ_adm=160МПа.

Итак, заданная система:

Найдем степень статической неопределимости системы:

n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где R – число всех неизвестных реакций, Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет; 3 — количество уравнений статики. Рама получилась дважды статически неопределима ( две «лишние» связи и требуется два дополнительных канонических уравнений метода сил).

Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей:

Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей неизвестные реакции Х₁, Х₂ .

Запишем систему канонических уравнений для выбранной эквивалентной системы:

Построим эпюру изгибающих моментов M_F для основной системы от действия заданных нагрузок, предварительно определив реакции и значения внутренних усилий в характерных сечениях. Определяем опорные реакции:

Так как Н_К и V_K получились со знаком минус, меняем их направление действия на схеме.

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях силовых участков.

Построим эпюру изгибающих моментов M_{F .} Строим эпюру на сжатых волокнах.

Проверка равновесия узлов:

Построим единичные эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия соответственно

При действии :

Сначала определим опорные реакции:

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Строим эпюру.

При действии :

Опорные реакции:

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Строим эпюру.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия единичных усилий:

Определим коэффициенты канонических уравнений метода сил перемножением эпюр по формуле Симпсона

:

Итак, приступим к расчету:

Выполним проверку правильности вычисления единичных коэффициентов:

Проверка верна.

Определим грузовые коэффициенты:

Выполним проверку правильности вычисления грузовых коэффициентов:

Проверка верна.

Решаем систему канонических уравнений:

Построим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия неизвестных усилий, для этого умножим единичные эпюры моментов на найденные значения X:

Построим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы путём сложения составляющих

Выполним деформационную проверку правильности построения эпюры М — произведение окончательной и суммарной единичной эпюр должно быть равно нулю (разница не более 5%).

Проверка верна.

Построим эпюры поперечных и продольных сил, используя зависимость , где , и рассматривая уравнения равновесия для вырезанных узлов.

Поперечная сила на силовых участках:

Строим эпюру Q

Определяем продольную силу. Из рассмотрения равновесия узлов D и С следует:

Строим эпюру N

Подбираем размеры поперечного сечения из условия прочности:

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №27, у которого W_x= 371см 3 .

Перенапряжение составляет

Перенапряжение меньше 5% ,что допустимо.

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры M_ок,Q, N со всеми проверками.

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I₁=I , тогда второй I₂=2 I

1) определим степень статической неопределимости системы:

λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число уравнений статики

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:

2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами — X_{1 ,} X_2.

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

Построим грузовую эпюру моментов (все значения откладываются на сжатых волокнах):

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х₁=1 и х₂=1, строим единичные эпюры М₁ и М₂

Построим эпюру M₁ от действия x₁=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Теперь определим моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=22=4 (сжатые волокна сверху). Строим эпюру M₁

Построим эпюру M₂ от действия x₂=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x₁ и x₂ :

17,33X₁ +12X₂ -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X₂ (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X_{1 ,} X_2.

При построении эпюры M₂x₂ следует обратить внимание на то, что значение x₂ — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:

M_F л = 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2 кНм (сжатые волокна внизу)

M_F пр = -40 кНм (сжатые волокна внизу)

M_F низ = 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм (сжатые волокна справа)

M_E= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм (сжатые волокна слева)

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

M_ср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

верно

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

Эпюра M_s = M₁ + M₂ Это суммарная единичная эпюра: к основной системе прикладываем одновременно Х ₁ =1 и Х ₂ =1.

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1 проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_s = ∑δ_ij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

верно

Вторая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_F = ∑Δ_iF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.

Ошибка составляет: , что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по М_ок:

где М пр и М лев – моменты с эпюры М_ок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

Q_AF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

Q_FB=(0 – (-40))/2=20 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.

М_прав = -20,8 , М_лев = 6

Значение поперечной силы в точке E:

Значение в точке F найдём:

Строим эпюру Q

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы, и рассматриваем равновесие данного узла. Знаки у продольных сил — от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

∑х = 0, — 3 -3,4 + N = 0 N = 6,4 (растяжение)

Рассмотрим узел F

∑х = 0, — N₁ + 23,4 = 0

N₁ = 23,4 кН (сжатие –к узлу)

∑у = 0 , N₂ – 9,6 – 20= 0

N 2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), и проверяется равновесие рамы в целом

Все проверки выполняются.

Задачи на расчет статически неопределимых балок и рам. Метод сил

Задача 1. Расчет неразрезной балки. Неразрезная балка загружена нагрузкой. Построить эпюру моментов.

1. Степень статической неопределимости балки:

1. Основную систему выбираем удалением одной внутренней моментной связи из сечения над промежуточной опорой. Следовательно, в качестве «лишней» неизвестной в таком случае принимаем величину изгибающего момента (Х₁) в этой удаленной связи.
2. К основной системе, состоящей из двух простых балок, прикладываем в качестве внешних сил: всю заданную нагрузку (M и q), а так же и лишнюю неизвестную силу Х₁. Получается эквивалентная система.
3. Строим в основной системе:- эпюру от действия только Х₁=1,— эпюру М_F от действия только заданной нагрузки (M и q).
4. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения
5. Решая каноническое уравнение, находим значение Х₁:
6. Умножаем ординаты эпюры на Х₁.
7. Суммируем эпюры и М_Fи получаем окончательную эпюру моментов.

Задача 2 Расчет статически неопределимой рамы

1) Степень статической неопределимости n = R — Ш – 3 = 6-1-3=2.

2) Выбор основной системы и эквивалентной системы.

Возможное количество ее вариантов бесконечно. Покажем только два из них. В первом варианте в качестве двух лишних неизвестных выберем внутренние усилия (Q и N) в среднем сечении ригеля. Удалив внутренний шарнир, то есть то место, где и возникают эти усилия, получаем основную систему:

Соответствующая эквивалентная система показана рядом. Здесь введены стандартные обозначения неизвестных: Х₁вместо Q в шарнире и Х₂ вместо N в шарнире.

Во втором варианте основной системы в качестве лишних неизвестных примем по одной реакции (реактивному моменту) в каждой из двух опор. Удалив соответствующие моментные связи из жестких заделок, имеем:

3) Составляем систему канонических уравнений при n=2:

4) Строим в основной системе три эпюры моментов:

Все эпюры показаны на растянутых волокнах.

5) Вычисляем коэффициенты уравнений:

6) Решаем уравнения:

7) Строим окончательную эпюру суммированием эпюр