Методика обучения решению квадратных уравнений с параметром
Разделы: Математика
Решение задач с параметром вызывает затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках недостаточно.
Цели разработки темы
- формирование устойчивого интереса к познавательному процессу при изучении математики и оценка возможности овладения предметом с точки зрения дальнейшей перспективы;
- обеспечение прочного и сознательного усвоения учащимися системой математических знаний, умений и навыков;
- формирование качества мышления, характерного для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;
- выявление и развитие математических способностей учащихся.
- Задачи разработки темы:
- показать универсальные алгоритмы для решения квадратных уравнений с параметром;
- научить приемам решения различного класса задач с параметром, способствовать овладению технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
- использование новых современных педагогических технологий обучения.
В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи (“параметр” с греческого “parametron” – отмеривающий)..
Если ставится задача для каждого значения параметра а из некоторого числового множества А решить уравнение F(х;а)= 0 относительно х, то это уравнение называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения параметра. Под областью определения уравнения F(х;а)=0 с параметром а понимаются такие системы значений х и а, при которых F(х;а) имеет смысл. Все значения параметра а, при которых F(х;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений. Под областью изменения параметра (если не сделано специальных оговорок) берется множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравнение F(х;а)=0 (с переменной х и параметром а) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного уравнения при всех действительных значениях параметра или установить, что решений нет.
В связи с тем, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но каждое уравнение семейства должно быть решено, следовательно, необходимо по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества, удобно пользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.
1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Задачи с параметрами можно разделить на два больших класса:
- задачи, в которых необходимо при всех значениях параметра из некоторого множества решить уравнение;
- задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения удовлетворяют некоторым условиям.
В зависимости от типа задачи изменяется и вид ответа. В первом случае в решении и ответе должны быть рассмотрены все возможные значения параметров. Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.
Во втором случае в ответе перечисляются только те значения параметра, при которых выполнены условия задачи, а при решении подобных задач обычно решать заданное уравнение нет необходимости.
Уравнение вида Ах 2 + Вх + С= 0 , где А, В, С — выражения, зависимые от параметра, х – переменная — называется квадратным уравнением с параметром.
Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где , а, в, с – действительные числа, называют квадратным уравнением. D=в 2 -4ас называется дискриминантом квадратного уравнения (“дискриминант” по – латыни “различитель”).
В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:
D > 0. Данное квадратное уравнение имеет два действительных корня
D=0. Данное уравнение имеет корень двойной кратности
D 2 +2кх+с=0 со вторым коэффициентом (в=2к) четным, для нахождения корней удобно пользоваться формулами: , где D1= =к 2 -ас.
№ 1.1. Определите все значения параметра а при которых уравнение ах 2 +2(а+1)х+а+3=0 имеет два неравных корня.
Если а=0, то имеем 0·х 2 +2(0+1)х+0+3=0, 2х+3=0 — данное уравнение является линейным, х=-1,5 – единственный корень. Итак, а=0 не удовлетворяет условию задачи.
Если а?0, то уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант >0.
Найдем=(а+1) 2 -а(а+3)=-а+1,-а+1>0, а 2 -4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.
Если а=0, то имеем 2·0·х 2 -4(0+1)х+4·0+1=0, -4х+1=0 — данное уравнение является линейным, х=0,25 – единственный корень. Итак, а=0 удовлетворяет условию задачи.
Если а 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при =0. Найдем =(2(a+1)) 2 -2a(4а+1) = -4a 2 +6a+4,4a 2 +6a+4=0, а1=2, а2=-0,5.
С учетом а=0, запишем ответ: а=-0,5, а=0, а=2.
№ 1.3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение (5а-1)х 2 -(5а+2)х+3а-2=0 не имеет корней?
Если 5а-1=0,а=0,2, то имеем (5*0,2-1)х 2 -(5*0,2+2)х+3*0,2-2=0,
-3х-1,4=0 — данное уравнение является линейным, х = — единственный корень.
Итак, а=0,2 не удовлетворяет условию задачи.
Если а 0,2, то квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант квадратного уравнения D 2 -4(5a-1)(3а-2)=-35a 2 +72a-4,-35a 2 +72a-4 2 -72a+4>0, а1=2, а2=, (а-2)(а-)>0. С учетом а 0,2 ответ:
№ 1.4. Определите все значения параметра а при которых уравнение (2а-1)х 2 +ах+2а-3=0 имеет не более одного решения.
Если 2а-1=0,а=0,5, то имеем (2·0,5-1)х 2 +0,5·х+2·0,5-3=0, 0,5х-2=0 — данное уравнение является линейным, х=4 — единственный корень.
Итак, а=0,5 удовлетворяет условию задачи.
Если а 0,5, то квадратное уравнение имеет не более одного решения, если дискриминант квадратного уравнения D0.
Найдем D=а 2 -4(2a-1)(2а-3)=-15a 2 +32a-12, -15a 2 +32a-120,
15a 2 -32a+12?0, а1=, а2=, (а-)(а-) 0.
С учетом а 0,5, имеем .
С учетом а=0,5, запишем ответ: .
2. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.
Квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а 0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.
Общая схема решения неполных квадратных уравнений с параметрами.
ах 2 =0, где а 0, в=0, с=0. Если а 0 ,то уравнение примет вид: х 2 =0, х=0.
Следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.
Если а=0, то х — любое действительное число.
ах 2 +с=0, где а0, в=0, с0. Если а0,то уравнение примет вид: следовательно, уравнение имеет корни, то они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; 2 +вх=0, где а0, в0, с=0. Если а0,то уравнение примет вид: х(а+в)=0,или Если а=0, то вх=0, х=0.
№ 2.1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2х 2 +(3а 2 -|а|)х-а 2 -3а=0 равны нулю?
Оба корня квадратного уравнения равны нулю, когда
№ 2.2. При каких значениях параметра а, корни уравнения 2 х 2 -(5а-3)х+1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда 5а-3=0,а=0,6, но с учетом того, что имеем уравнение 2х 2 +1=0, х 2 =-0,5, которое корней не имеет. Ответ: .
№ 2.3. При каких значениях параметра а один из двух различных корней уравнения 3х 2 +х+2а-3=0 равен нулю?
Параметр должен удовлетворять условию: 2а-3=0, а=1,5. Ответ: а=1,5.
№ 2.4. При каких значениях параметра а корни уравнения 3х 2 +(а 2 -4а)х+а-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда:
Ответ: а=0.
№ 2.5. Решить относительно х неполное квадратное уравнение х 2 -2а+1=а.
х 2 =а+2а-1; х 2 =3а-1.
Если 3а-1=0, а= ,то уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.
Если 3а-1 0. а>, то уравнение имеет два корня .
Ответ: при арешений нет; при а= х=0; при
3. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.
№ 3.1. Исследовать и решить уравнение с параметром х 2 –2(а-1)х+2а+1=0.
Найдем дискриминант: D=(а — 1) 2 -2а – 1= а 2 -2а+1-2а-1= а 2 — 4а.
D > 0, а 2 — 4а > 0, а (а -4) > 0, а 4, то уравнение имеет два действительных корня ;
D =0, а (а-4)=0, а=0, то х=а-1, х=0-1, х=-1, а=4,то х=а-1, х=4-1, х=3;
D 2 +2(а+1)х+а–2= 0.
1) При а-1=0, а=1 имеем линейное уравнение 4х-1=0, х=– единственное решение.
2) При а 1 уравнение является квадратным, найдем дискриминант:
D1 = (а+1) 2 -(а–1)(2а-2)=а 2 +2а+1-а 2 +2а+а-2=5а-1.
D1>0. 5а-1>0, а>, а 1, то уравнение имеет два корня .
D1=0. 5а-1=0, а=, то уравнение имеет два равных корня .
х 2 +2х-8–ах+4а=0; х 2 +(2-а)х+4а-8=0. Уравнение является квадратным.
Найдем дискриминант: D=(2-а) 2 -4(4а-8)=4-4а+а 2 -16а+32= а 2 -20а+36.
D>0. а 2 20а+36>0, (а-18)(а -2)>0, а 18, то уравнение имеет два действительных корня .
D=0. (а-18)(а-2)=0, а=2, то ; а=18, то ;
D 2 равен 1, то уравнение принимает вид х 2 +px+q, где p и q — некоторые числа называется приведенным квадратным уравнением.
Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
ах 2 +вх+с=0, где х1 и х2 – корни квадратного уравнения, то
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема: Если числа p и q таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q. то эти числа являются корнями уравнения х 2 +px+q=0.
№ 4.1. При каком значении параметра а сумма обратных величин действительных корней уравнения 2х 2 -2ах+а 2 -2=0 равна ?
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения, по условию .
По теореме Виета: Используя соотношения между корнями и условие задачи, имеем:
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
Имеем: Ответ: при
№ 4.2. В уравнении (а 2 -5а+3)х 2 +(3а-1)х+2=0 определите а так, чтобы один из корней был вдвое больше другого.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения, по условию х1 =2 х2. Заметим, что кратное сравнение выполняется только для положительных чисел.
По теореме Виета и условию задачи имеем систему:
Составим и решим уравнение:
Можно вычислить дискриминант данного уравнения, а затем проверить, удовлетворяет ли данное значение параметра а условию, что дискриминант неотрицателен, а так же, что корни положительны. Однако в данной задаче значительно проще сделать проверку, подставив это значение а в исходное уравнение.
При Корни отрицательны и кратно не сравниваются, поэтому задача решений не имеет. Ответ: решений нет.
№ 4.3. Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение (а+2)х 2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.
При а+2=0, а=-2, то 2х+2=0, х=-1 – единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.
При а-2. Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения, по условию х1 =1-у, х2.=1+у, где у – некоторое действительное число.
По теореме Виета имеем:
Решим первое уравнение системы: 2(а+2)=а, а=-4.
Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:
Данное значение а=-4 удовлетворяет полученным значениям. Ответ: а=-4.
Ответ: при а = — 4.
- ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
- Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск; “Аверсэв”. 2005.
- Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск; “Асар”. 1996.
- Данкова И. Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К.Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Москва; “5 за знания”.2006.
- Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.. Практикум по элементарной математике. Москва; “Просвещение”.1991.
- Родионов Е. М. Решение задач с параметрами. Москва; “Русь – 90”. 1995.
- Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. Математика 8 – 9классы: сборник элективных курсов. Волгоград; “Учитель”. 2006.
- Шарыгин И. Ф. Решение задач. Москва; “Просвещение”. 1994.
- Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. Санкт-Петербург; “Петроглиф”. 2006.
Проверочная работа по математике на тему: «Уравнения с параметром. Биквадратные уравнения»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
1. При каких значениях а уравнение 4х 2 -6х+2а=0
2. Решите уравнение: х 4 -17х 2 +16=0
1. При каких значениях b уравнение х 2 -4 b х+24=0
2. Решите уравнение: х 4 +4х 2 -32=0
1. При каких значениях t уравнение 7х 2 +2 t х+4=0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 -20х 2 +64=0.
1. При каких значениях b уравнение 4х 2 +8х+b=0
2. Решите уравнение: 12 х 4 -х 2 -1=0
1. При каких значениях b уравнение 5х 2 +bх+5=0
2. Решите уравнение: 4 х 4 -12х 2 +1=0
1. При каких значениях t уравнение х 2 +tх+4=0
2. Решите уравнение: х 4 +3х 2 -10=0
1. При каких значениях а уравнение 4х 2 +ах+6=0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 -9х 2 +18=0
1. При каких значениях с уравнение 2х 2 -6х+с=0
2. Решите уравнение: х 4 +15х 2 +54=0
1. При каких значениях а уравнение 6х 2 +ах+6=0
2. Решите уравнение: х 4 +6х 2 -27=0
1. При каких значениях t уравнение 6х 2 +tх+4=0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 -х 2 -12=0
1. При каких значениях b уравнение х 2 +bх+16=0
2. Решите уравнение: х 4 -18х 2 +32=0
1. При каких значениях b уравнение 2х 2 +4х+ b =0
2. Решите уравнение: х 4 -10х 2 +9=0
1. При каких значениях c уравнение х 2 +8х+ c =0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 +9х 2 +8=0
1. При каких значениях t уравнение 4х 2 -8х+ t =0
2. Решите уравнение: х 4 +7х 2 -44 =0
1. При каких значениях а уравнение 3х 2 +aх+3=0
2. Решите уравнение: х 4 +5х 2 -6=0
1. При каких значениях t уравнение 2х 2 +tх+8=0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 -5х 2 + 4 =0
1. При каких значениях а уравнение 3х 2 -10х+а=0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: х 4 -13х 2 +36=0
1. При каких значениях c уравнение 2х 2 +tх+2=0
2. Решите уравнение: 2 х 4 -5х 2 -12=0
1. При каких значениях b уравнение 25х 2 +х+ b =0
не имеет корней?
2. Решите уравнение: 3х 4 -5х 2 -2 =0
1. При каких значениях а уравнение 4х 2 -6х+2а=0
2. Решите уравнение: х 4 -17х 2 +16=0
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 576 089 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
27. Уравнения с параметром
«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
27. Уравнения с параметром
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Другие материалы
- 27.03.2020
- 217
- 0
- 26.03.2020
- 222
- 3
- 25.03.2020
- 138
- 0
- 22.03.2020
- 163
- 1
- 15.03.2020
- 502
- 19
- 08.03.2020
- 166
- 0
- 19.02.2020
- 654
- 49
- 17.02.2020
- 220
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 29.03.2020 373
- DOCX 13.4 кбайт
- 2 скачивания
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Миронова Татьяна Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 2 года и 11 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 16238
- Всего материалов: 5
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры
Время чтения: 1 минута
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
Приемная кампания в вузах начнется 20 июня
Время чтения: 1 минута
Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств
Время чтения: 2 минуты
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр
Название: Уравнения, содержащие параметр Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа Добавлен 03:07:55 12 марта 2011 Похожие работы Просмотров: 4362 Комментариев: 20 Оценило: 4 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно Скачать | |
;
, т.е. если а 4,т.е. если 4 0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с 0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а -1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a 1 D 0 и данное уравнение имеет два различных корня
; .
Ответ: и при a При а2 х= -3
При а=2 .
3.
=> При а -2 х= -3
При а= -2 .
Ответ: 1. при
2. при а2 х= -3
при а=2 .
3. при а -2 х= -3
при а= -2 .
Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.
http://infourok.ru/proverochnaya-rabota-po-matematike-na-temu-uravneniya-s-parametrom-bikvadratnye-uravneniya-4224852.html
http://www.bestreferat.ru/referat-206693.html