Прямая и ее уравнения презентация

Презентация урока по теме «Уравнение прямой»
презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Уравнение прямой».

Тип урока урок изучения нового материала.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Самостоятельная работа I вариант II вариант 1) Определите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением: а)(х+8) 2 +(у-5) 2 =16 а)(х-4) 2 + (у+2) 2 =4 б)х 2 +(у-10) 2 =25 б)(х+7) 2 + у 2 =9 2) Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А(0; 5), r=3; а) А(-1; 2), r=2; б) А(-3; -7), r=6; б) А(4; -3), r=10 3) Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через заданную точку В(-4; 3) А(-6;8)

4 ) Составить уравнение окружности

Ответы 1 вариант 2 вариант 1 а) (- 8;5) r=4 б) (0;10) r=5 1 а) (4;-2) r=2 б) (-7;0) r= 3 2 а) х 2 +(у-5) 2 =9 б) (х+3) 2 +(у+7) 2 =36 2 а) (х+1) 2 +(у-2) 2 =4 б) (х-4) 2 +(у+3) 2 =100 3 х 2 +у 2 =25 3.х 2 +у 2 =100 4 (х-2) 2 +(у-2) 2 =4 4 (х-4) 2 +(у-3) 2 =25

Китайская пословица гласит: » Я слушаю, — я забываю ; Я вижу, — я запоминаю ; Я делаю, — я усваиваю.»

Практическое задание Начертите прямоугольную систему координат. Проведите произвольную прямую d . Отметьте точки А(х 1; у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ) так, чтобы прямая d была серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Отметьте на прямой d точку N ( х;у ) и постройте отрезки А N и В N . Получили А N = В N (почему?) или А N 2 = В N 2 . Напишите формулу расстояния между точками А и N , В и N .

Уравнение прямой ( х-х 1 ) 2 + (у-у 1 ) 2 =(х-х 2 ) 2 +(у-у 2 ) 2

после преобразований : 2х(х 1 -х 2 )+2у(у 1 -у 2 )+(х 2 2 +у 2 2 -х 1 2 -у 1 2 )=0 ах+ву+с=0 – уравнение прямой , где а=2х(х 1 -х 2 ), в=2у(у 1 -у 2 ), с = х 2 2 +у 2 2 -х 1 2 -у 1 2

1. Уравнение прямой В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид: ах+ву+с=0, где а,в,с — некоторые числа

2. Частные случаи расположения прямой: а ) а=0 , b ≠0, у = m

2.Частные случаи расположения прямой б) а ≠0 , b =0 , х= n

2. Частные случаи расположения прямой: в) а≠0, b ≠0 , с=0, у=кх

3. Уравнение прямой, не параллельной оси ординат Если а≠0, b≠0 , то уравнение ах+ b у+с=0 можно представить в виде у =кх+ m , где к=-а / b , m =-с / b

геометрический смысл коэффициента k Возьмем две точки на прямой А(х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ), где х 1 Мне нравится

Презентация по математике на тему: «Прямая в пространстве. Взаимное положение прямой и плоскости. Уравнение прямой на плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прямая в пространстве Взаимное положение прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости

Прямая в пространстве Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении Пусть точка принадлежит прямой , а направление совпадает с вектором . Возьмем произвольную точку . Тогда и по свойствам векторов , где – параметр. Равенство – векторное уравнение прямой. Представим его в координатной форме: – параметрическое уравнение прямой. Выразим . Тогда , приравняем эти выражения, получим каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой , проходящей через две точки Пусть точки и , которые принадлежат прямой . Примем вектор за , направляющий вектор, а точку за точку и подставим их в каноническое уравнение прямой. Тогда . Пример: Прямая, проходящая через точку с направляющим вектором . Взаимное расположение двух прямых в пространстве Рассмотрим две прямые , заданные точками и с направляющими векторами . Тогда уравнения этих прямых соответственно

Данные прямые могут быть скрещивающими или лежать на одной плоскости. Рассмотрим векторы . Составим смешанное произведение этих векторов: Тогда, если прямые скрещивающиеся, данные три вектора не могут лежать в одной плоскости, то есть через них нельзя провести плоскость и . Если же прямые лежат в одной плоскости, то есть данные векторы компланарны, то . Во втором случае может быть три случая: Прямые будут параллельны, тогда их направляющие векторы коллинеарны. , по свойствам векторов:

Прямые перпендикулярны, тогда их направляющие векторы перпендикулярны, то по свойствам векторов скалярное произведение равно нулю. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а именно . Прямые будут совпадать, если все три вектор будут коллинеарными, другими словами все три строки определителя будут пропорциональны. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть плоскость задана общим уравнением , прямая параметрическим уравнением: . .

Подставим из уравнения прямой в уравнение плоскости. Тогда Если , то . Подставим полученное значение параметра в уравнение прямой, получим выраженные единственным образом значения , которые определяют координаты единственной точки, являющейся точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, – условие пересечения прямой и плоскости. Если и , то получаем уравнение – любое число, другими словами имеем бесконечное число решений, то есть бесконечное число точек пересечения прямой плоскости, получается ,что прямая лежит на плоскости. Если и , то , получаем противоречие, следовательно, нет решений и нет общих точек, то есть прямая и плоскость параллельны.

Угол между прямой и плоскостью Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая каноническим уравнением: и пересекает данную плоскость. Возможны два варианта: а) Рис. 1 б) – угол между прямой и плоскостью, – угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Видно, что в случае а) (острый угол), а в случае б) (тупой угол). Объединив, эти формулы получим: .

Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Так как мы будем рассматривать прямую на плоскости, то ее можно представить как пересечение плоскости с координатной плоскостью с уравнением z=0, то общее уравнение прямой примет вид: Тогда – общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи общего уравнения прямой , то есть прямая проходит через начало координат. , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая совпадает с осью . , то есть прямая совпадает с осью .

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть и – точки через которые проходит заданная прямая. Вспомним соответствующее уравнение прямой в пространстве: Тогда отбрасывая координаты z, получим , где – направляющий вектор. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая проходит через точки и . Представим, что и подставим в уравнение прямой, проходящей через две точки. Тогда или . Пример: .

Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении Пусть направляющий вектор задан, как . Из уравнения прямой, проходящей через две точки получим Таким образом, получили уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении: , где . Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая проходит через точку , то есть . Тогда, подставив в предыдущее уравнение данные значения, получим , где – начальная ордината. Экономический смысл начальной ординаты: уравнение вида описывает процесс накопления капитала, где – время. Тогда при , получаем что – начальный капитал.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости Рассмотрим две прямые и заданные общими уравнениями. По аналогии с плоскостью, прямые параллельны, если их нормальные векторы параллельны. Тогда условие параллельности прямых можно записать как или , так как . Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны. Условие перпендикулярности можно записать как или . Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами, а следовательно Прямые будут совпадать, если

Задания для самостоятельной работы. 1. Ответить на вопросы: Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии? Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями? Что называется порядком алгебраической линии? Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это сделать? Как найти расстояние от данной точки до прямой, заданной уравнением общего вида? Напишите уравнения осей декартовой системы координат. 2. Написать каноническое уравнение прямой 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 4. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1), В(-5; 2) и С(-2; 3). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;-1) и образующей с осью Оу угол 60°.

Краткое описание документа:

Данная презентация-сопровождение предназначена для чтения лекций в ВУЗах. Рассчитана на 2-3 академических часа.

В презентациях отображается основной теоретический материал, предлагаются примеры и задания для самостоятельного выполнения.

Создание подобных презентаций дает ряд преимуществ преподавателю при проведении лекций:

1. возможность использования готовых лекций, а также составление своих собственных, путем редактирования или дополнения уже имеющихся;

2. сокращение времени подготовки преподавателя к занятиям;

3. возможность организации дифференцированного подхода к обучению, в том числе и организация обучения студентов, находящихся на индивидуальном обучении (по причине болезни), или при опережающем обучении;

4. презентации помогают углубить восприятие материала и стимулируют мыслительную деятельность учащихся. Сочетание рассказа преподавателя с показом демонстрационного материала способствует развитию аудиовизуальной памяти, а также систематизации знаний. На основе презентаций у студентов формируются и закрепляются умения по составлению опорных схем и конспектов в рабочей тетради;

5. мультимедийное оформление слайдов, композиционный подбор материала способствуют развитию эстетического восприятия учащихся, стимулируют познавательную активность.

6. слайды содержат не только иллюстрации, но и трёхмерные модели, позволяющие студентам познакомиться с понятиями объёмных фигур в пространстве.

Презентация к уроку геометрии по теме: «Уравнение прямой».

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии по теме: «Уравнение прямой».»

Повторим пройденный материал. — Закончите предложения , используя чертёж : 1. координаты центра окружности … 2. радиус окружности равен… 3. уравнение окружности запишется так…

• Вариант 2

• Вариант 1

Прямые на координатной плоскости могут располагаться только тремя способами:

Уравнение вертикальных прямых

Уравнение вида x = a на координатной плоскости задает множество точек, имеющих одну и ту же абсциссу .

Рассмотрим, например, уравнение: x = 1

Отметим на координатной плоскости некоторые точки, имеющие абсциссу, равную 1.

Уравнение вертикальных прямых

Эти точки лежат на вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 1 на оси ОХ .

Это значит, что уравнение x = a задает на плоскости вертикальную прямую.

Постройте на координатной плоскости множество точек, соответствующих уравнениям:

Уравнение горизонтальных прямых

Уравнение вида y = b на координатной плоскости задает множество точек, имеющих одну и ту же ординату.

Рассмотрим, например, уравнение: y = 1

Отметим на координатной плоскости некоторые точки, имеющие ординату, равную 1.

Уравнение горизонтальных прямых

Эти точки лежат на вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 1 на оси ОХ .

Это значит, что уравнение y = b задает на плоскости горизонтальную прямую.

Постройте на координатной плоскости множества точек, соответствующих уравнениям:

Каноническое уравнение прямых

Мы привыкли к тому, что на координатной плоскости прямая — это график линейной функции, которая задана уравнением вида:

Рассмотрим следующее уравнение прямой:

Каноническое уравнение прямых

В канонической записи уравнения прямых принято использовать целые коэффициенты.

Выполним обратную операцию :

Постройте на координатной плоскости множества точек, соответствующих уравнениям:

Условие параллельности прямых

Пусть заданы уравнения прямых :

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А и В :

Если прямая проходит через точки А и В , то координаты этих точек можно подставить в уравнение прямой:

Получаем систему линейных уравнений с неизвестными k и b . Решив ее, находим значения k и b .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки :

Подставим координаты в уравнение прямой:

Решаем систему линейных уравнений с неизвестными k и b .

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

На координатной плоскости изображены прямые. Запишите уравнения. Соответствующие этим прямым:

Решение задач у доски.

• Даны две точки А (1;-2) и В (2;4)а) Найдите координаты вектора ВА и разложите его по координатным векторам i и j.б) Найдите координаты середины отрезка АВ.в) Найдите длину отрезка АВ.г) Напишите уравнение окружности, имеющей центр в точке В и проходящей через точку Ад) Напишите уравнение прямой АВ

Напишите уравнение прямой АВ . КАК .

Запишите уравнение известной функции

Как узнать, как запишется уравнение прямой?

Любая прямая в координатах x, y имеет уравнение вида: ax + by + c = 0, где a, b и c – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

• Пример.Составим уравнение прямой,которая проходит через точки А(-1; 1), B(1; 0).

• Решение: Прямая имеет уравнение вида ax + by + c = 0. Подставляя координаты А и B в это уравнение, получим:
• –a + b + c = 0,
• a + c = 0.

Решим полученную систему:

• Выразим коэффициенты a и b через коэффициент c :
• В уравнении a + c = 0 : a = 0 – c = –c.
• В уравнении –a + b + c = 0 находим значение b через c (одновременно заменив в нем и значение a уже найденным выше значением c): b = a – c = -c – c = -2c.
• Итак, мы получили новые значенияaиb: a = -c, b = -2c.

Итак, мы получили новые значения a и b : a = -c, b = -2c. Теперь в уравнении прямой ax + by + c = 0 ставим полученные значения a и b : ax + by + c = — cx – 2cy + c = 0. Сокращаем c и получаем окончательное уравнение искомой прямой: -x – 2y + 1 = 0. или x + 2y — 1 = 0.

Работаем с учебником:

1 . П. 95 учебника геометрии 7-9.

• № 972 (а) – совместно

Что является графиком?

• 1.АВ=5;
• 2.М – центр окружности, М(3;-5);
• 3.принадлежит
• 4.прямая
• 5.х=3 – параллельна ОУ,

У=-1 – параллельна ОХ

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2;3) .