Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости |
Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости |
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Определение . Прямой, перпендикулярной к плоскости , называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство . Рассмотрим сначала следующий случай.
Предположим, что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α и проходящим через точку O . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей на плоскости α и проходящей через точку O .
С этой целью отметим на прямой a произвольную точку A , а на прямой b произвольную точку B (рис. 1).
Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P’ точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP’ . Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP’ , то справедливы равенства
Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP’B , заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP’B равны. Следовательно,
Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P’BС ( BP = BP’ , , сторона BС — общая). Следовательно,
Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
Теперь перейдем к общему случаю.
Предположим, что что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей плоскости α (рис. 2).
С этой целью проведем через точку O прямые a’ , b’ и c’ соответственно параллельные прямым параллельные прямым a , b и c .
По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым a’ и b’ , проходящим через точку O, и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.
Замечание . Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.
Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α .
Свойства перпендикуляра к плоскости
Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.
Рисунок | Свойство |
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α. | |
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны | |
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны. | |
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. | |
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β. |
Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α.
Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны
Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство:
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β.
Уравнение плоскости в отрезках
В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.
Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:
, | (1) |
где a, b, c отличные от нуля числа.
Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).
Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0) и M3(0, 0, с).
Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.
Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:
. |
. |
Приведение уравнения плоскости в отрезках к общему виду
Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:
. |
Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:
. |
Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:
. |
Перевести уравнение к общему виду.
Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
. |
Умножив обе части уравнения на 10, получим:
. |
. |
Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках
где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).
Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:
. | (2) |
Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:
. | (3) |
Сделаем следующие обозначения:
Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).
Пример 3. Привести общее уравнение прямой
к уравнению прямой в отрезках.
Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим:
Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач
Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.
Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры
Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 , где a , b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат O х , O у и O z в трехмерной системе координат O х у z . Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.
Действительно, координаты точек a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:
a a + 0 b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + b b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + 0 b + c c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1
Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.
Проиллюстрируем описанное выше примером.
Плоскость проходит через точки — 2 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 и 0 , 0 , — 1 2 на осях координат в прямоугольной системе координат O x y z . Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.
Решение
Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 1 2 .
При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1 .
Ответ: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1
Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.
Плоскость в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнением плоскости в отрезках вида x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.
Решение
Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Ответ:
Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c и соединить их прямыми линиями.
Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках
Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида A x + B y + C z + D = 0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.
Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , где A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 .
Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.
A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = — D
Так как D ≠ 0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на – D : A — D x + B — D y + C — D z = 1 .
Так как A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x , y и z . Последнее уравнение эквивалентно равенству x — D A + y — D B + z — D C = 1 . При этом мы использовали очевидное равенство p q = 1 q p , p , q ∈ R , p ≠ 0 , q ≠ 0 .
В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить — D A = a , — D B = b , — D C = c .
Разберем решение примера.
Плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в пространстве задана уравнением вида 3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.
Решение
Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем — 6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6 :
3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 ⇔ 3 x + 9 y + 6 z = 6 3 x + 9 y — 6 z = 6 ⇔ 1 2 x + 3 2 y — z = 1
Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 1 2 x + 3 2 y — z = 1 ⇔ x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.
Ответ: x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah.php
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah/