Прямая, плоскость и их уравнения
Начальные сведения
Введено понятие прямой, показаны принятые обозначения, рассмотрены варианты взаимного расположения прямой и точки, двух прямых, перечислены способы задания прямой на плоскости.
Получите представление о прямой линии в пространстве, рассмотрите варианты взаимного расположения прямых и способы задания прямой в пространстве.
Дано понятие плоскости в трехмерном пространстве, представлены варианты ее взаимного расположения с точкой, прямой и другой плоскостью, показаны способы задания.
Уравнения прямой на плоскости
Что называют уравнением прямой и какие виды уравнения прямой на плоскости существуют? В этой статье Вы найдете ответы на эти вопросы.
Познакомьтесь с направляющим вектором прямой, узнайте как его координаты участвуют в записи уравнения прямой.
Узнайте что такое нормальный вектор прямой и как определяются его координаты по уравнению прямой на плоскости.
Всесторонне разобрано общее уравнение прямой, показаны неполные уравнения, приведены примеры и графические иллюстрации.
Научитесь работать с каноническими уравнениями прямой, разберитесь как в их записи участвуют координаты направляющего вектора прямой, рассмотрите решения характерных задач.
Откройте для себя уравнение прямой в отрезках, узнайте почему оно получило такое название и почему с помощью уравнения этого вида легко построить прямую с прямоугольной системе координат.
Рассмотрено уравнение прямой с угловым коэффициентом, введены определения угла наклона и углового коэффициента, разобраны решения характерных задач на составление уравнений прямой этого вида.
Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой на плоскости, научитесь от уравнений прямой другого вида переходить к параметрическим уравнениями и обратно.
Узнайте как выводится нормальное уравнение прямой и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до прямой.
Уравнения плоскости
Узнайте какими уравнениями описываются плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Запомните определение нормального вектора плоскости, посмотрите как его координаты участвуют в записи уравнений плоскости.
Познакомьтесь с полными и неполными общими уравнениями плоскости, рассмотрите примеры и решения характерных задач.
Показано как из общего уравнения плоскости получить уравнение плоскости в отрезках и как его использовать для построения плоскости.
Разобрано как нормальное (нормированное) уравнение плоскости получается из общего и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до плоскости.
Уравнения прямой в пространстве
Показано с помощью каких уравнений можно задать прямую линию в пространстве в заданной прямоугольной системе координат.
Разобрано как прямая линия в прямоугольной системе координат в пространстве задается уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой в пространстве, рассмотрите примеры их составления и способы перехода к уравнениям другого вида.
Подробно рассмотрены канонические уравнения прямой в пространстве, показана их связь с другими видами уравнений, приведены решения характерных примеров и задач.
Параллельность и перпендикулярность
Даны основные сведения о параллельных прямых, перечислены признаки и условия параллельности прямых в том числе через направляющие и нормальные векторы.
Приведены начальные сведения о перпендикулярных прямых, разобраны признаки и условия перпендикулярности прямых.
Получите основные сведения о параллельных прямой и плоскости, научитесь выяснять параллельны ли прямая и плоскость.
Примите к сведению условия и признаки перпендикулярности прямой и плоскости, ознакомьтесь с решением характерных примеров.
Познакомьтесь с определением параллельных плоскостей и с условиями параллельности, разберите решения характерных примеров и задач.
Приведены признаки и условия перпендикулярности плоскостей, позволяющие устанавливать параллельны ли плоскости, заданные своими уравнениями.
Составление уравнений прямой
Научитесь составлять уравнение прямой, когда известны координаты двух лежащих на ней точек, в этом Вам помогут прведенные решения примеров с пояснениями.
Узнайте как составляются уравнения прямой, когда известны уравнения параллельной ей прямой и координаты точки, через которую она проходит.
Разберитесь с составлением уравнений прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой, рассмотрите решения характерных примеров.
Познакомьтесь с принципом составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости.
Показана суть составления уравнений прямой для данных условий, приведены готовые решения примеров.
Составление уравнений плоскости
Узнайте как составляется уравнение плоскости, когда даны координаты трех ее точек, рассмотрите решения примеров.
На примерах показано как составить уравнение плоскости, когда известно уравнение лежащей на ней прямой и координаты точки.
Научитесь записывать уравнение плоскости, которая проходит через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые.
Показано как составляется уравнение плоскости, если известны координаты одной ее точки и уравнение прямой, которой она перпендикулярна.
Разберитесь с составлением уравнения плоскости, когда известны координаты точки, через которую она проходит, и уравнение плоскости, которой она параллельна.
Показаны примеры составления уравнения плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям и проходит через заданную точку.
Нахождение углов методом координат
Получена формула для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми, показаны решения примеров.
Дано определение угла между скрещивающимися прямыми и разобрано как находить этот угол методом координат.
Узнайте как находить угол между прямой и плоскостью когда известны их уравнения, разберитесь в решениях характерных примеров.
Разберитесь с нахождением угла между пересекающимися плоскостями, запомните формулу и рассмотрите приведенные решения примеров.
Нахождение координат точек пересечения
Узнайте как находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве, разберите решения характерных задач.
На примерах показаны способы нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.
Нахождение расстояний методом координат
Разобраны различные способы нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой, в том числе с использованием нормального уравнения прямой, приведены решения примеров.
Научитесь находить расстояние от точки до плоскости методом координат, для этого удобно использовать нормальное уравнение плоскости.
Познакомьтесь со способами нахождения расстояния между параллельными прямыми в прямоугольной системе координат.
Узнайте как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми, разберите примеры нахождения расстояния методом координат.
Показано как находить расстояние между прямой и плоскостью, которые параллельны, для пояснения приведены решения примеров.
Разберитесь с нахождением расстояния между параллельными плоскостями, когда известны их уравнения.
Связки и пучки
Узнайте что такое пучок прямых, рассмотрите его уравнение и связанные с пучками прямых характерные примеры.
Познакомьтесь с пучком плоскостей и видом уравнения пучка плоскостей.
Дано определение связки плоскостей и ее уравнение, показаны решения примеров.
Проекция точки на прямую и плоскость
Узнайте что называют проекцией точки на прямую и как находятся координаты проекции.
Показано как находить координаты проекции точки на плоскость, разобраны решения примеров.
Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости
В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.
Определение уравнения прямой на плоскости
Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .
Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.
Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.
Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.
Общее уравнение прямой линии
Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .
Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .
Поясним некоторые важные аспекты темы.
Посмотрите на рисунок.
Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.
Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .
Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .
Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .
Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.
Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.
Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.
Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.
Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .
Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .
Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).
Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .
Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .
Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3
Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.
Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.
Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .
Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.
Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .
В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.
Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.
Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.
Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .
Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .
Предположим, что λ = 0 .
Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.
Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.
Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .
Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».
Нормальное уравнение прямой
Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .
Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .
Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.
Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .
Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .
Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.
Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».
Уравнения прямых и плоскостей
Поверхности и линии первого порядка.
Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).
В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref
В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.
В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.
Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.
Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.
Рис. 6.1
Вектор \(\overrightarrow
$$
\boldsymbol
$$
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref
Уравнение \eqref
Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.
Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol
Рис. 6.2
Вектор \(\overrightarrow
\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
+t_<2>\boldsymbol.\label
$$
Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref
Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$
Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.
Прямая линия на плоскости.
Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.
В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref
Уравнение \eqref
Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol
Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol
Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).
Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2
Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol
Рис. 6.4. \(k=\operatorname
Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref
Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref
Векторные уравнения плоскости и прямой.
Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol
, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol
, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Уравнения \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol
Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol
Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol
Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol
$$
(x\boldsymbol
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol
$$
A = (\boldsymbol
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol
Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
$$
Вектор \(\boldsymbol
Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol
$$
x(\boldsymbol
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).
Это сразу вытекает из формул \eqref
Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref
Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.
Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.
Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.
Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.
Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.
Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$
Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах \eqref
Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.
Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol
Условия \eqref
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$
Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.
При условии \eqref
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\label
$$
Разумеется, систему \eqref
Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref
$$
t = \frac
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac
$$
Уравнения \eqref
Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.
Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.
Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref
Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$
Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref
Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
$$
Вектор с компонентами \eqref
Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-vidy-uravnenija-prjamoj-na-plosk/
http://univerlib.com/analytic_geometry/vector_algebra/lines_and_planes_equations/