Прямые перпендикулярны когда их уравнения

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых.

В этой статье подробно рассмотрим перпендикулярные прямые на плоскости и в трехмерном пространстве. Начнем с определения перпендикулярных прямых, покажем обозначения и приведем примеры. После этого приведем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых и детально разберем решения характерных задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямые – основные сведения.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными. Если угол между скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен , то скрещивающиеся прямые также называют перпендикулярными. Таким образом, перпендикулярные прямые на плоскости являются пересекающимися, перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.

Учитывая все сказанное, дадим общее определение перпендикулярных прямых.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Для обозначения перпендикулярных прямых используют знак перпендикулярности вида «». То есть, если прямые a и b перпендикулярны, то кратко записывают . На чертежах угол между перпендикулярными прямыми отмечают значком прямого угла вида «».

В качестве примера перпендикулярных прямых на плоскости можно привести прямые, на которых лежат стороны квадрата с общей вершиной. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве координатные прямые Ox и Oz , Ox и Oy , Oy и Oz перпендикулярны.

Перпендикулярность прямых — условия перпендикулярности.

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.

Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b .

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы уравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b . Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и — направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС ?

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС . Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС . Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

да, прямые перпендикулярны.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

— направляющий вектор прямой , а — направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и — направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и — направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b .

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

Перпендикулярны ли прямые и ?

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Очевидно, — нормальный вектор прямой , а — направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов (не существует такого действительного числа t , при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Условие перпендикулярности прямых

Условием перпендикулярности (ортогональности) двух прямых на плоскости, заданных уравнениями:

y₁=k₁x+b₁

y₂=k₂x+b₂

или

т.е. угловые коэффициенты k₁ , k₂ обратны по величине и противоположны по знаку и это значит, что прямые перпендикулярны, а если произведение угловых коэффициентов не равно -1, то прямые не перпендикулярны.

Если две прямые представлены следующими уравнениями

то условием их перпендикулярности (уравнение перпендикулярной прямой) есть

Пример 1
Прямые y=4x (прямая синего цвета) и y= -1/4x (прямая красного цвета) перпендикулярны, так как k₁·k₂=4·(-1/4)=-1

Пример 2
Прямые 2x+3y=7 и 3x-2y=4 перпендикулярны, так как A₁=2, A₂=3, B₁=3, B₂=-2, следовательно

Пример 3
Прямые 1/4x-1/6y=0 и 4x-6y=0 не перпендикулярны, так как здесь

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y — это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( — 2 , — 3 ) , A C → = ( — 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = ( — 2 ) · ( — 6 ) + ( — 3 ) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x — 1 2 = y — 7 3 и x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x — 1 2 = y — 7 3 ,

b → = ( 1 , — 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 — 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · — 2 = 2 — 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y — 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , — 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x — y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , — 1 ) — это нормальный вектор для прямой 3 x — y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y — 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = ( 3 , — 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( — 1 ) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b — y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( — 1 ) · ( — 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = — 1 .

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = — 3 7 x и y = 7 3 x — 1 2 .

Прямая y = — 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный — 3 7 , а прямая y = 7 3 x — 1 2 — 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение — 1 , — 3 7 · 7 3 = — 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x — y — 1 = 0 и x 0 = y — 4 2 перпендикулярными.

Получаем, что нормальный вектор прямой x — y — 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , — 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) — направляющий вектор прямой x 0 = y — 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , — 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.