Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
, | (1) |
, | (2) |
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
, | (3) |
(4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
p1(x−x1)=m1(y−y1) |
l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
, | (7) |
(8) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
p2(x−x2)=m2(y−y2) |
l2(y−y2)=p2(z−z2) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p2x−m2y=p2x2−m2y2, | (9) |
l2y−p2z=l2y2−p2z2. | (10) |
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
(11) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
(12) |
(13) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
(14) |
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
(15) |
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
(16) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
(17) |
(18) |
(19) |
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(20) |
(21) |
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
(22) |
(23) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(26) |
(27) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(30) |
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(31) |
(32) |
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
(33) |
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
(34) |
(35) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
(36) |
. | (37) |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(38) |
(39) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(42) |
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
(43) |
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=<2,6,7>, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=<3,1,1>. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Признак скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми
Взаимное расположение двух прямых в пространстве |
Признак скрещивающихся прямых |
Угол между скрещивающимися прямыми |
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.
Фигура | Рисунок | Определение |
Две пересекающиеся прямые | Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку. | |
Две параллельные прямые | Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек | |
Две скрещивающиеся прямые | Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые. |
Две пересекающиеся прямые |
Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.
С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.
Фигура | Рисунок | Тип утверждения и формулировка |
Две различные точки | Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. | |
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой | Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. | |
Две пересекающиеся прямые | Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. | |
Две параллельные прямые | Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
Две различные точки |
Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Признак скрещивающихся прямых
Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).
Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».
Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.
Угол между скрещивающимися прямыми
На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .
Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1 , проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).
Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».
http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/skreschivayuschiesya-pryamye-provedenie-cherez-odnu-iz-skreschivayuschihsya-pryamyh-ploskosti-parallelnoy-drugoy-pryamoy
http://www.resolventa.ru/metod/presentsch.htm