Пусть функция возрастает на r решите уравнение

Пусть функция возрастает на r решите уравнение

Вопрос по алгебре:

Ответы и объяснения 1

A) 3x+2=4x²+x в) 3x-48 = -x²+x
3x+2-4x²+x=0 3x-48+ x²-x=0
4x²- 2x-2=0 x²+2x-48=0
2x²-x-1=0 x₁ + x₂=-2
D=1+8=9 x₁ — x₂= -48
x₁ =(1+√9)/4 x₂=(1-√9)/4 x₁= -8 x₂= 6
x₁ =1 x₂= -0.5 Ответ: -8; 6
Ответ: 1; -0,5

б) 3x+2 thumb_up 38

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Решите пожалуйста :)Пусть функция y=f(x) возрастает на R.Решите:а)уравнение

Решите пожалуйста 🙂
Пусть функция y=f(x) вырастает на R.Решите:
а)уравнение f(3x+2)=f(4x+x)
б)неравенство f(3x+2)lt;f(4x+x)
в)уравнение f(3x-48)=f(-x+x)
г)неравенство f(3x-48)f(-x+x)

• Аня Байтимерова
• Алгебра 2019-01-08 01:17:37 0 1

A) 3x+2=4x+x в) 3x-48 = -x+x
3x+2-4x+x=0 3x-48+ x-x=0
4x- 2x-2=0 x+2x-48=0
2x-x-1=0 x + x=-2
D=1+8=9 x — x= -48
x =(1+9)/4 x=(1-9)/4 x= -8 x= 6
x =1 x= -0.5 Ответ: -8; 6
Ответ: 1; -0,5

б) 3x+2lt; 4x+x г) 3x-48 -x+x
3x+2- 4x- x lt;0 3x-48+ x-x 0
4x- 2x-2 lt; 0 x+2x-48 0
2x-x-1lt;0 x + x=-2
D=1+8=9 x — x= -48
x=(1+9)/4 x=(1-9)/4 x= -8 x= 6
x =1 x= -0.5 x 0
x lt; 0 Ответ: -8
Ответ: -0,5

Функциональный метод решения уравнений

В стандартном курсе школьной математике свойства функций применяются в основном для построения их графиков. Функциональный метод решения уравнений применяют тогда и только тогда, когда уравнение F(x) = G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.

В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

В работе рассмотрены следующие свойства функции: область определения функции; область значений функции; свойства монотонности функции; свойства выпуклости функции; свойства четности и нечетности функции.

Цель работы: провести некоторую классификацию нестандартных уравнений по использованию общих свойств функций, описать суть каждого свойства, дать рекомендации по его использованию, указания к применению.

Вся работа сопровождается решением конкретных задач, предлагавшихся на ЕГЭ различных лет.

Глава 1. Использование понятия области определения функции.

Введем несколько ключевых определений.

Областью определения функции y = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1∩ D2. Ясно, что когда множество D пустое (D= ∅), то уравнение решений не имеет. (Приложение № 1).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ОДЗ:-1 =0⇔-3 =0,х>0,8х-2х2-6>=0⇔х∈(-infinity;1∪ 3;infinity),х>01 =0, x>=9.

При x>=9 x+2>0, 7-x 0, таким образом, произведение трех сомножителей, стоящих в левой части уравнения отрицательно, а правая часть уравнения положительна, значит, уравнение решений не имеет.

⇔ -3 =М (соответственно fx 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство f(x) =0 и g(x) f(x2).

Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 =f(x2)).

Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.

Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:

1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.

2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.

3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция — f убывает на этом множестве.

4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.

5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n — натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.

8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) — убывающая функция.

Сформулируем теоремы об уравнениях.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.

1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению

Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.

Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:

1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;

2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;

3. Правый луч касается, а левый — пересекает параболу, что имеет место при a=32.

Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен

2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.

Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.

Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).

Глава 4. Использование свойств выпуклости.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0 λf(u) + (1 — λ)f(v)).

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).

Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.

Справедливы следующие утверждения.

Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u =0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.

а) На промежутке (0;2 имеем:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) На промежутке 2;infinity имеем:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.

Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.