Пусть х и х корни квадратного уравнения
Вопрос по алгебре:
4.Пусть x1 и x2 — корни квадратного уравнения x^2 — 3x — 7 = 0
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/x1 и 1/x2.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Пусть х и х корни квадратного уравнения
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).
Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2. Тогда по теореме Виета:
b c
х1 + х2 = – ——, х1 · х2 = ——
a a
Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.
Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.
Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.
Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.
Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.
Применяем теорему Виета и записываем два тождества:
Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:
Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.
Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.
Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.
Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:
В соответствии с теоремой Виета
Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.
Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х1 = 3/3, то:
Решаем простое уравнение:
Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.
Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.
В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):
Подставляем значение х1 в любое из этих двух выражений и находим х2:
Дискриминант приведенного квадратного уравнения.
Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:
D = p 2 – 4q
где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член.
При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:
Теорема Виета и её применение
Разделы: Математика
Цель:
- Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
- Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
- Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.
Оборудование:
- Кодоскоп
- Карточки тесты
- Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
- Сигнальные карточки.
Ход урока
I Повторение пройденного материала
1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.
| А) 5х 2 – 7х + 2 = 0 | [т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =  ] |
| Б) х 2 – 12х + 35 = 0 | [по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5] |
| В) 313х 2 + 326х + 13 = 0 | [а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = – ] |
| Г) 4х 2 + 12х + 5 = 0 | [метод переброски х1 = – , х2 = – ] |
| Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: | |
| х1 = 5, х2 = –6 | [ х 2 + х –30 = 0] |
х1 = 2, х2 =  | [ х 2 – (2 – ) х + 2 = 0] |
Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.
Теорема Виета.
Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х 2 .
х1 + х2 = – 
х1
х2 = 
.
Т.к. квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет корни х1 и х2, то справедливо тождество ах 2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).
Раскроем скобки в правой части этого тождества:
х 2 + 
х – х2х + х1х2,
отсюда следует, что х1 + х2 = – и х1* х2 = . Что и требовалось доказать.
Обратная теорема Виета.
Если выполняются равенства х1 + х2 = – и х1х2 = , то числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Свойства коэффициентов 1.
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а
0. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = .
ах 2 + вх + с = 0, а0
Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х 2 + 
.
| Согласно теореме Виета |  | х1 + х2 = – |
х1 |
| По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит | | х1 + х2 = –  = 1 +  |
| х1* х2 = 1 * |
Получим х1 = 1, х2 = 
.
Свойство коэффициентов 2.
Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 а – в + с = 0, то х1 = – 1, х2 = – .
В итоге на доске открывается таблица:
Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
| Уравнение | Условие | Заключение | Пример |
| ах 2 + вх + с = 0 | х1 и х2 | х1 + х2 = – , х1 * х2 = | х1 = 7 +  ; х2 = 2 – |
х1 + х2 = 9; х1х2 = 11 – 5
, х1 * х2 = х1 = – 2, х2 = – 3
х1 = 1, х2 = 
х1 = – 1, х1 = – 
у1, у2
х2 = 
у 2 + 12у + 20 = 0
х1 = – 
, х2 = – 
;
у1 = – 2, у2 = – 10.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.
1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х 2 – 3e х? + 1 = 0.
 | х 2 + 3х + 1 = 0; | х1 + х2 = – 3; | х1 * х2 = 1; |
| х 2 – 3х + 1 = 0; | х3 + х4 = 3; | х1 * х2 = 1; |
х
+ х
+ х 
+ х 
+ х 
= (х1 + х2) 2 – 2х1х2 + (х3х4) 2 – 2х3х4 = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х 2 – 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 
и 
.
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:
= 
= 
= 150,5 – = 
= 
= 2.
Искомое уравнение имеет вид
х 2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х 2 – 301х + 4 = 0.
3. Корни уравнения х 2 – вх – в = 0 таковы, что х 
+ х 
+ хх = 7,5.
х
+ 
х
= (х
)(( х
– 3х
) + х
+ 3b) – b 3 = b 3 + 3b 2 – b 3 = 3b 2 = 75.4. Пусть х1и х2 корни уравнения 3х 2 + 14х – 4 = 0.
Установите, больше или меньше единицы значение дроби
.х1 + х2 = –
;х1 * х2 = – 
;
5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?
х1 + х2 = 
= > 1 + х1 + х2 = 
х1 * х2 = 
= > 2х2 + 1 = = > х2 = 
.
х1 = 1 + 
х1 = 
= ;
(а + 3)(а – 1) = 8а + 24
а 2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0
III. Тест – самостоятельная по карточкам.
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
х 2 + (
А) 2; 
;
Б) —
—
;
В)
; 
;
Г) нет правильных ответов.
Не решая квадратного уравнения 3х 2 -х-11 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 
и 
.
А) х 2 —
Б) х 2 —
В) х 2 + 
Г) х 2 + 
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
1) Решите уравнение:
х 2 -(
А) 5; ;
Б) —
—
;
В) —
; 
;
Г) ; .
Не решая квадратного уравнения 2х 2 -5х-4 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .
А) х 2 —
Б) х 2 —
В) х 2 + 
Г) х 2 + 
Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.
IV. Домашнее задание
Поменяться карточками с творческими заданиями.
http://raal100.narod.ru/index/0-256
http://urok.1sept.ru/articles/556279