Пусть х0 положительный корень уравнения х корень х

Пусть Xо — положительный корень уравнения x√x + 1 / x√x = — x ^ 2 + 2x + 1, l — расстояние на числовой оси от Xо до числа — 5?

Математика | 10 — 11 классы

Пусть Xо — положительный корень уравнения x√x + 1 / x√x = — x ^ 2 + 2x + 1, l — расстояние на числовой оси от Xо до числа — 5.

Тогда разность 2Хо — l равна.

Функция у = — х² + 2х + 1 определена на ( — ∞ ; + ∞).

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина параболы в точке (1 ; 2).

Множество значений функции ( — ∞ ; 2).

Точка х = 1 — точка максимума

Функция у = x√x + (1 / x√x) определена на (0 ; + ∞) и принимает на этом интервале только положительные значения.

Графики имеют общую точку х = 1

Эта точка единственная.

Поэтому х = 1 — единственный корень уравнения

l = 6 — расстояние на оси ох от точки х₀ = 1 до точки х = — 5.

2х₀ — l = 2 — 6 = — 4

Каким натуральным числам может быть равно «а», чтобы значения разностей были положительными числами?

Каким натуральным числам может быть равно «а», чтобы значения разностей были положительными числами?

94 — а 86 — а 90 — а 98 — а 78 — а 82 — а.

Расскажите, между какими двумя соседними натуральными числами на числовой оси находится число : 19 / 8?

Расскажите, между какими двумя соседними натуральными числами на числовой оси находится число : 19 / 8.

Назовите три целых числа, расположенных на числовой оси : Между числами — 3 и 5, между числа — 1 и 8?

Назовите три целых числа, расположенных на числовой оси : Между числами — 3 и 5, между числа — 1 и 8.

Разность двух чисел 342?

Разность двух чисел 342.

Одно из них в 7 раз меньше другого.

Найде эти числа.

Только с уравнением и с пусть х!

Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20?

Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.

Составь уравнения и реши их?

Составь уравнения и реши их.

А) Разность числа и числа 7 равна разности чисел 20 и 7.

Б) разность числа и неизвестного числа равна разности чисел 16 и 9.

Изобразить на числовой оси числа √2и 1, 4?

Изобразить на числовой оси числа √2и 1, 4.

Отметьте на числовой оси действительное число а и число, противоположное ему, если число а равно : а)2, 5 ; б)√9 ; в)√11 ; г) — √26 ; д)5, (6) «?

Отметьте на числовой оси действительное число а и число, противоположное ему, если число а равно : а)2, 5 ; б)√9 ; в)√11 ; г) — √26 ; д)5, (6) «.

А)Пусть а и b — положительные числа и а Б) пусть а и b — отрицательные числа и а?

А)Пусть а и b — положительные числа и а Б) пусть а и b — отрицательные числа и а.

Множество натуральных чичел расположеных на числовой оси между числами 48 и 55?

Множество натуральных чичел расположеных на числовой оси между числами 48 и 55.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Пусть Xо — положительный корень уравнения x√x + 1 / x√x = — x ^ 2 + 2x + 1, l — расстояние на числовой оси от Xо до числа — 5?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

40 — 4 = 36 билетов(за 2 час) 36 : 4 = 9 билетов(за 3 час).

Радиус описанной окружности равен 32. 5 Радиус вписанной окружности равен 13.

40 — 4 = 36 лотерейных билетов продано во второй час 36 : 4 = 9 лотерейных билетов было продано в третий час Ответ : 9 лотерейных билетов было продано в третий час.

1)40 / 5 * 8 = 64 — страницы в книге 2)64 — 40 = 24(стр) — осталось 3)24 * 1 / 4 — прочитал 4)40 + 6 = 46 — прочитал всего.

Решение дано на фото.

Легко. Просто найди какой расстояние прошёл поезд.

Получим подобные треугольники BFC и AFD. Подобные стороны в треугольниках AFи BF ; ADи BC AF = 3 + 7 = 10 (частей, можно обозначить длину одной части за у, но они потом сократятся) BF = 7 (частей) Пусть меньшее основание трапеции ВС = х (см), тогда ..

8 / 9 × 5, 6 — 7 / 36 ÷ 35 / 144 = 8 / 9 × 56 / 10 — 7 / 36 × 144 / 35 = 8 / 9 × 28 / 5 — 4 / 5 = 224 / 45 — 36 / 45 = 188 / 45 = 4 целых 8 / 45 ;..

Р треугольника = a + b + c 7 + 2 = 9см — средняя 9 + 2 = 11см — наибольшая 7 + 9 + 11 = 27см.

11. Пусть х0 – положительный корень уравнения. Найдите 2х0 + 7 12

Главная > Документ

Т е с т № 1 (выражения , уравнения и неравенства из частей А и В)

1. Вычислить: 1

2. Вычислить: 1

3. Найдите значение выражения 15

4. Найдите значение выражения при 3

5. Найдите значение выражения при -8

6. Найдите значение при 0

7. Упростить выражение 3

8. Найдите значение выражения

при 1

9. Решите уравнение 2

10. Решите уравнение 1

11. Пусть х 0 – положительный корень уравнения .

Найдите 2 х 0 + 1 . 7

12. Сколько корней имеет уравнение 0

13. Сколько решений имеет уравнение 2

14. Найти сумму квадратов корней уравнения 10

15. Найдите сумму всех целых корней уравнения

4

16. Решите уравнение 7.5

17. Найдите , если 5

18. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств

3

19. Найти произведение всех целых решений неравенства -6

20. Укажите длину промежутка, который является множеством всех

решений неравенства 9

21. Укажите количество целых чисел, входящих во множество решений

неравенства 6

22. Укажите количество всех целых решений неравенства

. 4

Тест № 2 (тригонометрические выражения и уравнения)

1. Упростить выражение

1) 1 , 2) – 1 , 3) , 4)

2. Вычислить:

1) 2 , 2) 1 , 3) , 4) – 1

3. Вычислить:

1) 1 , 2) , 3) , 4)

4. Вычислить: 1

5. Найдите значение выражения

при

1) 2 , 2) , 3) , 4) 0

6. Найдите значение выражения , если и 1

7. Найдите значение выражения 4

8. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней

уравнения

1) , 2) , 3) , 4)

9. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

10. Найдите сумму корней уравнения ,

принадлежащиx промежутку

1) , 2) 0 , 3) , 4)

11. Упростить выражение

1) 0 , 2) , 3) , 4)

12. Упростить выражение

1) 1 , 2) , 3) , 4)

13. Вычислить:

1) , 2) , 3) , 4)

14. Вычислить:

1) 5 , 2) 0.5 , 3) 0.2 , 4) 2

15. Найдите ctg x , если и угол х принадлежит Ш четверти

1) , 2) , 3) , 4) 1.2

16. Вычислить: , если -2

17. Найдите значение выражения -8

18. Найдите корень уравнения ,

принадлежащий промежутку

1) , 2) , 3) , 4)

19. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

20. Найти , если и -3

21. Найти значение выражения 6

22. Найти значение выражения 0.25

Тест № 3 (показательные и логарифмические выражения,

уравнения и неравенства)

1. Расположить в порядке возрастания числа

1) 4; 1; 3; 2. 2) 4; 3; 2; 1. 3) 3; 4; 2; 1. 4) 4; 3; 1; 2.

2. Найдите значение выражения при

1) 2) 3) 3 4)

3. Найти значение выражения если

1) 1 2) 3 3) 4) 9

4. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения

1) 2) 3) 4)

5. Найдите множество значений функции

1) 2) 3) 4)

6. Решите уравнение -2

7. Решите уравнение -1

8. Найти сумму всех корней уравнения -1.5

9. Найдите значение выражения , если – решение системы

0

10. Решите неравенство

1) 2) 3) 4)

11. Найдите значение выражения

1) 2) 3) 3 4)

12. Вычислить: 3.6

13. Найдите значение выражения -4.5

14. Найдите значение выражения , если

1) –6.4 2) –10.2 3) –3400 4) –0.4

15. Найдите значение выражения , если .

1) 2) 3) 4)

16. Найдите значение выражения , если 4.5

17. Найдите значение выражения , если – решение системы

, причём x > -2 -65

18. Решите уравнение 7.5

19. Решите уравнение -12

20. Найдите сумму корней уравнения . 25.2

21. Найдите число целых решений неравенства ? 4

22. Найдите область определения функции

1) 2) 3) 4)

23. Найти область определения функции

1) 2) 3) 4)

Т е с т № 5 (В9: текстовые задачи)

1. Клиент внёс 3000 р. на два вклада, первый из которых даёт годовой доход, равный 8% ,

а второй – 10% . Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент

внёс на второй вклад? 1000

2. После двух повышений на одно и то же число процентов цена товара возросла с 3000

рублей до 4320 рублей. На сколько процентов увеличивалась цена товара при каждом

3. Влажность свежескошенной травы 60% , а сена – 20% . Сколько кг сена получится

из 1 тонны свежескошенной травы? 500

4. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара,

чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20% ? 45

5. Найдите двузначное число (или сумму таких двузначных чисел), которое при

перестановке цифр местами уменьшается на 28.125 % . 192

6. После проведения санитарной обработки на базе отдыха количество мух

уменьшилось на 40 % , а количество комаров – на 20 % . В целом количество

насекомых уменьшилось на 25 % . Найдите, сколько процентов от общего числа

насекомых составляли до санитарной обработки комары. 75

7. Катер прошёл по течению реки расстояние в 45 км от пункта А до пункта В за 3

часа, а от В до А – за 5 часов. За сколько часов проплывёт от А до В плот? 15

8. Женя ехал на велосипеде на восток со скоростью 8 км/час и проехал

пересечение дорог в 11 00 . Через некоторое время этот же перекрёсток в

направлении на север проехал на мопеде Вася. Определите, через сколько

минут после Жени проехал перекрёсток Вася, если в 15 30 расстояние между

ними составило 39 километров, а в 16 30 – 55 километров. 220

9. Водитель проехал первые 36% пути со скоростью, на 20% меньше

запланированной. Определите количество процентов, на которые он должен

увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в

итоге весь путь был пройден на 5% быстрее, чем планировалось. 60

10. Объёмы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как

13 : 14 : 8 . Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 2% ,

а вторая – на 1% . На сколько процентов должна увеличить годовую добычу третья

шахта, чтобы суммарный объём добываемого за год угля не изменился? 5

11. Двое рабочих, работая совместно, выполняют некоторое задание за 8 дней. Если бы

половину всей работы выполнил только первый рабочий, а второй её закончил, то вся

работа была бы выполнена за 25 дней. За сколько дней выполнил бы данное задание

тот рабочий, производительность которого меньше? 40

12. Первый рабочий должен изготовить 360 деталей, а второй рабочий – 310 деталей.

Первый рабочий делает в день на 2 детали больше, чем второй рабочий, и он поэтому

затратил на изготовление своего заказа на 1 день меньше, чем второй рабочий.

Сколько деталей в день делал второй рабочий? 10

Т е с т № 4 (В8: чётность и нечётность , периодичность)

1. Укажите в порядке возрастания номеров (например, 235) какие из нижеперечисленных

функций являются чётными: 1) , 2) ,

3) , 4) , 5) 1234

2. Найдите значение функции в точке ,

если известно, что функция – нечётная, функция – чётная, ,

. 1.2

3. Чётная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого

неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со

значением функции . Сколько корней имеет

уравнение ? 3

4. Даны чётная функция и нечётная функция . Решите уравнение

, если для всех действительных значениях х выполняется

равенство . 3

5. Чётная функция обращается в нуль ровно в 12 точках

числовой прямой. Найдите сумму корней уравнения . 32

6. Функция определена на всей числовой прямой и является

периодической с периодом 7 . Найдите значение выражения

, если и . –4

7. Найдите значение , если известно, что функция – нечётная,

имеет период 12 и на отрезке [-6 , 0] она имеет вид . 6

8. Нечётная функция , определённая на всей числовой прямой, при

задана формулой . Найдите количество целых чисел,

принадлежащих множеству значений функции . 9

Т е с т № 6 (*В10: стереометрия )

1. Боковое ребро правильной треугольной призмы на 20% больше её стороны

основания. Расстояние между серединами двух непараллельных рёбер,

принадлежащих разным основаниям, равно 13 . Найдите площадь боковой

поверхности призмы. 360

2. Боковое ребро прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно 72 . Точка D

является серединой высоты CC 1 , AB = 18 , BD = 39 , AC = BC . Найдите

тангенс угла наклона плоскости ABD к плоскости основания. 3

3. Основание прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелограмм ABCD ,

в котором CD , BCD . Высота призмы равна 9 .

Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы

и плоскостью B 1 AD . 1.5

4. Дан цилиндр, радиус основания которого равен 10 , а полная площадь его

поверхности равна . На окружностях разных оснований цилиндра

отмечены точки А и В таким образом, что площадь сечения цилиндра,

параллельного оси цилиндра и проходящего через эти точки, равна 276 .

Найдите расстояние между плоскостью сечения и осью цилиндра. 8

5. Дан цилиндр, радиус основания которого равен 13 , а полная площадь его

поверхности равна . На окружностях разных оснований цилиндра

отмечены точки А и В таким образом, что площадь сечения цилиндра,

параллельного оси цилиндра и проходящего через эти точки, равна 100 .

Найдите расстояние между плоскосью сечения и осью цилиндра. 12

6. Высота прямоугольного параллелепипеда в полтора раза больше ширины

основания и в 1,2 раза больше его длины. Расстояние между серединами

двух непараллельных рёбер, принадлежащих разным основаниям, равно

. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 432

7. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами

5 , 5 , 6 . Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под

углом 45 0 . Найдите объём пирамиды. 12,5

8. Вершины треугольника лежат на сфере радиуса 23 . Найдите расстояние

от центра сферы до плоскости треугольника, если площадь треугольника

равна , а произведение всех его сторон равно 600 . 22

9. Полная поверхность конуса равна . Образующая составляет

с плоскостью основания угол 30 0 . Найдите площадь осевого сечения

10. В конусе угол между образующей и плоскостью основания равен 60 0 .

Площадь боковой поверхности конуса равна . Найдите площадь

сечения, проведённого через две образующие конуса, угол между которыми

Параметр в квадратном уравнении

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение квадратных уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение — параметрическим.

Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.

Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0 , а ≠ 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, назы­вается квадратным.

Выражение b 2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня ).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня .

а ≠ 0, то сумма корней равна , а их произведение равно .

Обратное утверждение: Если числа х ₁ , х ₂ таковы, что

, , то эти числа – корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 .

Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь нахо­дить их.

При решении квадратного уравнения с параметрами кон­трольными будут те значения параметра, при которых коэффи­циент при х 2 обращается в нуль.

Если этот коэффи­циент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;

если же этот коэффи­циент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax ²+ bx + c , где a ≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.

При a a >0 ветви направлены вверх.

Выражение x ²+ px + q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D = b ²- 4 ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D >0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D =0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,

«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».

. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

а оба корня будут отрицательны, если x 1+ x 2= — b / a

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x 1• x 2= c / a

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c / a c • a D = b ²-4 ac >0.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах 2 + bx + с имеет действительные корни х₁, х₂ (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действи­тельные числа, причем М

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси ле­вее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение сле­дующих условий:

или

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или

Эти две системы можно заменить формулой .

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D >0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1) 2 — 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

Решив последнюю систему, получим , что -∞ a a

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х + (4-а 2 )=0

имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а 2 2 > 4 │а│> 2 => а 2. Ответ: а 2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2ах + а 2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D >0 , а+6>0,

f (0)>0 ; a 2 — a -6>0.

Решив последнюю систему, получим -6 a a

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х 2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена, причем х₁

D= 16a 2 +48 a +13 >0,

F (2)= 2 2 + (4 a +5)∙2 +3- 2 a

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения

4х 2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,

Следствием 1 и составим систему :

-1 0 ,

Решив систему, получим -2

Теорема Виета и задачи с параметрами.

Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна ?

Решение. Найдем дискриминант . Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем

+ =(+)²-2=(3 a )²-2 a ²

Поскольку , то , a =0,5; -0,5. Ответ: a =0,5; -0,5.

Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

Задача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x 2 -6 x +12+ a 2 -4 a =0 принимает наибольшее значение.

, — корни уравнения, тогда | — |

-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.

Уравнение запишем в виде: -6 x +12=- a ²+4 a

и решим его графически.

= 3, y _в =3

-прямая, параллельная оси ОХ.

Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у= y ( a )= a ²+4 a

принимает наибольшее значение .

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Функция достигает наибольшего значения при =2.

.

Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.

Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.

Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Задача 9. Найдите число решений уравнения

.

Решение: Построим график функции — 2 x – 3 | .

Выделим полный квадрат:

(1; -4) -координаты вершины параболы

Уравнение = a имеет столько решений, сколько

раз прямая у = а пересекает график функции

если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;

если , то графики имеют четыре общие точки — четыре решения;

если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

у

y = a (

4 y = a (

y = a (

х

y = a (

y = a (

Задача 10 . Для каждого значения параметра а определите число решений

уравнения .

Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:

.

Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена всегда положителен: .

Проводим горизонтальные прямые – графики функции у = а + 3

При различных значениях параметра а.

Если , т.е. , то графики и

не пересекаются, и значит, нет решений.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках

-уравнение имеет два решения.

Если , то графики имеют четыре общие точки ,

а уравнение – четыре решения.

Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство

, или

Значит, при и уравнение имеет четыре решения. Если = -1 и а = 2, то графики имеют три

Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.

Если же то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.

y = a +3

y = a +3 (

y = a + 3 (

х

Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации

рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.