Пустым множеством является множество всех корней уравнения

Пустым множеством является множество всех корней уравнения

2.2. Классификация множеств. Подмножества

Для дальнейшего изучения множеств попытаемся дать некоторую их классификацию. Прежде всего, множества можно разделить на конечные и бесконечные.

Конечным множеством называется такое множество, состоящее из конечного числа элементов. Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n — й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало.

В математике приходится сталкиваться и с другими – не конечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости и т.д.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ . Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101 группе может не быть отличников и тогда А = < а | а – отличник 101 группы > = Æ .

Пустым множеством является и множество корней системы уравнений:

Без введения пустого множества мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение имеет хотя бы один корень. Существование этого понятия сокращает и упрощает формулировки многих теорем, облегчает введение новых понятий.

Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А, то говорят, что множество В называется подмножеством множества А.

Обозначатся это следующим образом: В Í А ( В включено в А).

Например, < 2, 4 >Í < 2, 3, 4, 5 >. Множество пешек в шахматах является подмножеством шахматных фигур, множество квадратов – подмножеством прямоугольников, множество отличников 101 группы – подмножеством студентов этой группы.

Подмножество В может и совпадать с множеством А, т.е. множества А и В будут состоять из одних и тех же элементов. В этом случае множества А и В называются равными: А= В ( интуитивный принцип объемности). Например, множества X = < 2, 3 >и Y = < y | > состоят из чисел 2 и 3. Значит X = Y .

Если в множествах А и В отличаются хотя бы одним элементом, то А ¹ В.

Можно заметить, что само множество А является подмножеством самого себя:

Действительно, по определению подмножества каждый элемент множества А является элементом множества А. Это свойство множества называют рефлективностью.

Кроме того, пустое множество, по определению, считают подмножеством любого множества:

В самом деле, если Æ не является подмножеством А , то в нем находится хотя бы один элемент, не содержащийся в множестве А. Но в Æ такого элемента нет, т.к. Æ не содержит ни одного элемента.

Все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого множества I , т.е. для любого множества А

В этом случае множество I называют универсальным множеством. Например, для алгебры универсальным множеством является множество действительных чисел. Если мы рассматриваем множества точек на плоскости, то универсальным будет множество всех точек на плоскости.

Таким образом, у любого множества обязательно существуют хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P ( A ). Например, для А = < 2, 3 >множество-степень P ( A )= < А, <2>, <3>, Æ >, для А= <1,2,3>множество-степень таково: P ( A )= < А, <1>, <2>, <3>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, Æ >. Название «множество-степень» исходит из того, что число всех подмножеств n -элементного множества равно . Продемонстрируем данный результат. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества: Æ и < a >. Множество, состоящее из двух элементов а и b , имеет уже 4 подмножества: те же Æ и < a > и еще < b >, < a , b >. Добавим третий элемент с. Множество < a , b , c > кроме рассмотренных выше 4 подмножеств Æ , < a >, < b >, < a , b > имеет еще 4 подмножества < c >, < a , c >, < a , b >, < a , b , c >.Таким образом, ясно, что каждый раз прибавление еще одного элемента ведет к удвоению числа подмножеств. И множество, состоящее из n -элементов, имеет подмножеств.

Кроме свойств (2.1) и (2.2) выделяют следующие свойства отношения включения:

если А Í В и В Í С , то А Í С (транзитивность);

если А Í В и В Í А , то А= В. (2.3)

Для выражения (2.3) верно и обратное ему: если А = В, то А Í В и В Í А . Эти выражения непосредственно вытекают из определений подмножества и равенства множеств.

Множество А называется истинным подмножеством множества В, если А В и А≠ В. В этом случае записывают:

Так, < 2, 4 >Ì < 2, 3, 4, 5 >. Множество пешек в шахматах также будет истинным подмножеством шахматных фигур, а вот множество отличников 101 группы может, чисто теоретически, совпадать с множеством студентов 101 группы.

Для истинных подмножеств также выполняется свойство транзитивности: если А В и В С, то А С.

Назовите пустые множества: а) множество корней уравнения 0 • х = 1; б) множество корней уравнения x : 1 = 0; в) множество натуральных чисел, меньших

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,300
• гуманитарные 33,630
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,261
• разное 16,836

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Презентация «Множества и операции над ними».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Знаменитый итальянский физик, механик, астроном и математик Галилео Галилей (1564-1642) писал, что «Великая книга Природы написана языком математики»

При изучении параграфа «Множества и операции над ними» вы познакомитесь с начальными понятиями общепринятого в математике языка теории множеств: элемент множества; подмножество данного множества; объединение множеств; пересечение множеств.

Понятие теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так: Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Среди множеств выделяют особое множество — пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является частью любого множества. №3. Примеры пустых множеств. Решение: 1) Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных корней; 2) множество простых делителей числа 1; 3) множество точек пересечения двух параллельных прямых; 4) множество прямых углов равностороннего треугольника; 5) множество людей на Солнце; 6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9.

Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в каком-нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок < , >. Словесное описание множестваПоэлементное описание множестваЗадание множества перечислением его элементов Цифры десятичной системы счисленияМножество состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>Гласные буквы русского алфавитаМножество букв состоит из букв А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я <А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я>Корни уравнения Х2 + 10х = 39Множество состоит из чисел 3 и -13 <3 ; -13>Президенты Российской ФедерацииМножество состоит из трех людей: Ельцин, Путин, Медведев

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множество А состоит из всех корней уравнения х3 + х2 – 6х = 0 Решить это уравнение. Задать множество А перечислением его элементов. Записать все возможные способы перечисления элементов множества А. Сколько всего имеется способов перечисления элементов множества А? Решение: х3 + х2 – 6х = 0 х(х2 + х – 6) = 0 х(х + 3)(х – 2) = 0 х=0; х=-3; х=2 2)А= <-3; 0; 2>3) <-3; 0; 2>, <-3; 2; 0>, <0; 2; -3>, <0; -3; 2>, <2; -3; 0>, <2; 0; -3>4) 6 Пример 1

Способы задания множеств Задание множестваСловесное описание множества 1.<10, 15, 20, …, 90, 95>Множество всех двузначных чисел, кратных пяти 2.<1, 4, 9, 16, 25, 49, …>Множество всех квадратов натуральных чисел 3.NМножество натуральных чисел 4.QМножество рациональных чисел 5.<х | 2 0>; б) <х | х2 + 1 0>; г) <х | 35х2