Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Вычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Следовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол (Рис. 47):

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны а координаты этой точки в старой системе координат равны Таким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид В матричном виде эти равенства можно записать в виде где матрица перехода

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу обратную к матрице А:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Запишем обратную матрицу

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Следовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол

Решение:

Воспользуемся полученными формулами т.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы к каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат получим Выберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства тогда уравнение принимает вид Выполним поворот системы координат на угол тогда Подставим найденные соотношения в уравнение параболы где параметр параболы

Пример:

Преобразовать уравнение параболы к каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса т.е. точка — начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Проведем поворот системы отсчета на угол тогда

следовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция

Проведем следующее преобразование Производя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

и новые координаты получим уравнение которое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом между радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки).

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла являются значения, лежащие в интервале Из рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда где число (Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу и на каждом луче отложим ему соответствующее значение р.

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение описывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение описывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает вид

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды:

Рис. 52. Кардиоида

Рис. 53. Кардиоида

Аналогично выглядят кардиоиды но они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Величина равна нулю при

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид

• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Замечательные пределы
• Непрерывность функций и точки разрыва
• Точки разрыва и их классификация
• Экстремум функции
• Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Дипломная работа MBA

Вывести уравнение окружности.

Вывести каноническое уравнение эллипса.

Исследовать форму эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса, эксцентриситет окружности.

Вывести каноническое уравнение гиперболы. Сопряженная гипербола.

Асимптоты гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Вывести каноническое уравнение параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению.

Преобразование координат на плоскости : параллельный перенос и поворот осей координат.

Две канонические формы равносторонней гиперболы. График дробно-линейной функции.

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат.

Исследование общего уравнения второй степени

а) Преобразование общего уравнения линии второго порядка к новому началу координат.

б) Центральные кривые. Необходимое и достаточное условие расположения центра кривой в начале координат.

в) Упрощение уравнения кривой с помощью поворота осей координат.

г) Инвариант уравнения второго порядка. Признаки принадлежности кривых к эллиптическому, параболическому и гиперболическому типам.

д) План приведения к каноническому виду центральной кривой.

е) План приведения к каноническому виду нецентральной кривой.

Краткая теория, приведенная в задании, носит справочный характер и должна лишь помочь студенту в самостоятельной работе над литературой.

В общем случае кривую второго порядка определяет уравнение

Коэффициенты при старших членах здесь одновременно не равны нулю. Так как уравнение отражает не только форму, но и положение линии на плоскости относительно системы координат, то в общем виде оно сложнее, чем известные нам канонические уравнения эллипса

Простота канонических уравнений объясняется тем, что при выводе их используется специально выбранная система координат, а именно: в случае эллипса и гиперболы начало координат выбирается в центре кривой, а координатные оси совпадают с осями симметрии; в случае параболы начало координат выбирается в вершине кривой, а одна из осей совпадает с осью симметрии.

Изменяя положение системы координат на плоскости, можно добиться такого упрощения уравнения (1), что оно станет каноническим. Т.о., наша задача состоит в том, чтобы найти новую систему координат, в которой уравнение (1) примет канонический вид.

При нахождении этой системы координат будем использовать два вида преобразований координат.

Параллельный перенос осей координат.

Даны две системы координат с разными началами и и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через и координаты произвольной точки соответственно в старой и новой системах координат. Если координаты нового начала в системе , то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат

Поворот осей координат.

Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть (рис.2) – угол между и (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат

где координаты произвольной точки в , координаты этой точки в новой системе координат .

Дано уравнение гиперболы в виде . Путем параллельного переноса системы координат привести ее уравнение к виду , указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению .

Даны уравнения кривых второго порядка :

Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

Дано уравнение кривой второго порядка

Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.

а) Дано уравнение кривой в полярных координатах

Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.

б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах

Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.