Системы уравнений с двумя переменными
п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения
п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными
Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.
п.3. Примеры
Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm
Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.
б) \( \left\< \begin
\( \mathrm
y – x = 4 – прямая y = x + 4
Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.
в) \( \left\< \begin
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7
Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.
г) \( \left\< \begin
xy = 1 – гипербола \( \mathrm
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)
Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.
Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm
Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.
б) \( \left\< \begin
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2
Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.
в) \( \left\< \begin
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x
Графический метод решения системы уравнений
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.
Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;
- вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
- уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
- учить находить решения системы уравнений графическим способом;
- повторить построение графиков элементарных функций;
- создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:
- воспитание ответственного отношения к труду,
- аккуратности ведения записей.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Повторение. Подготовка к изучению нового материала. (Приложение 1)
- Что такое функция? (слайд 3-11)
- Что называется графиком функции?
- Какие виды функций вы знаете?
- Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
- Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
- Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
- Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
- Каким уравнением задается уравнение окружности?
- Что называют уравнением с двумя переменными; (слайд 12)
- Выразите переменную у через переменную х:
а) у – х² = 0
б) х + у +2 = 0
в) 2х – у + 3 = 0
г) ху = -12 - Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху +3 = х;
в) у(х +2) = 0. - Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
- Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; — 6)
в) (2; — 1)
г) (3; 0)
а) 2х – у = 3
б) 3х – 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2
III. Изучение нового материала. (слайд 16, 17)
Сегодня мы разберем один из способов решения систем уравнений. Изучение нового материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.
Вопросы по данному слайду:
- Что является графиком уравнения x² +y²=25?
- Что является графиком уравнения y = —x² +2x +5?
Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.
- Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
- Сколько точек пересечения у данных графиков?
- Сколько решений имеет данная система?
- Назвать эти решения?
- Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?
Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.
Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.
IV. Первичное осмысление и применение изученного способа решения систем уравнений.
1. Решить графически систему уравнений (слайд 18)
Постановка наводящих вопросов:
- Что является графиком уравнения ху = 3?
- Что является графиком уравнения 3х – у =0?
- Сколько точек пересечения имеют данные графики?
- Сколько решений имеет данная система уравнений?
- Назвать решения данной системы уравнений?
2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 19)
Постановка наводящих вопросов:
- Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
- Сколько точек пересечения имеют данные графики?
- Сколько решений имеет данная система уравнений?
- Назвать решения данной системы уравнений?
3. Выполнение задание из ГИА (слайд 20).
4. Решить графически систему уравнений (слайд 21)
а) б)
Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.
5. Тест. (Приложение 2)
http://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/graficheskiy-metod-resheniya-sistemy-uravneniy
http://urok.1sept.ru/articles/595191