Работа логарифмические уравнения 10 класс

Разноуровневая самостоятельная работа «Логарифмические уравнения» 2 варианта с ответами
учебно-методический материал по алгебре (10, 11 класс) на тему

Разноуровневая самостоятельная работа по логарифмическим уравнениям на 2 варианта три уровня

Скачать:

Предварительный просмотр:

Проверочная работа «Логарифмические уравнения».

5. lg 2 х = 4 — 3lgх

1. log 5 2 х — 3 + 2=0

3. lg (x + ) + lg (x — ) =0

5. 2lg 2 x + 3 = 7lgx

1.log 3 2 х + — 2 =0

5. log 2 2 х – 5 + 2 = 0

1.lg (x 2 — 9) – lg (x — 3)= 0

4. log 0,2 2 х + — 6 =0

4. log 0,5 2 х — — 2 =0

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разноуровневая самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства».

Самостоятельная работа составлена в трех уровнях сложности, работа первого и третьего уровней сложности имеют три варианта, второй уровень сложности содержит четыре варианта.

Разноуровневая самостоятельная работа по алгебре и началам анализа для 10-11 классов

Публикация содержит задания для самостоятельной работы по темам «Тригонометрические уравнения», «Логарифмические уравнения». Рассчитана на 3 уровня усвоения материала.

Разноуровневые самостоятельные работы по алгебре 10 класс

Разноуровневая самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства» (11 класс)

Самостоятельная работа состоит из трех уровней сложности. Каждый уровень содержит по 3 и 4 варианта.

Разноуровневые самостоятельные работы по математике и информатике.

Разноуровневая самостоятельная работа по теме «Сложение и вычитание дробей»

Разноуровневая самостоятельная работа.

Разноуровневая самостоятельная работа 10 класс

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические функции числового аргумента&quot.

Решение логарифмических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Класс: 10.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Цели:

• обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме. Создать условия контроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;
• способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора;
• содействовать воспитанию интереса, математической активности, умению общаться, общей культуры.

Тип занятия: систематизация и обобщение знаний.

Оборудование: учебники, медиапроектор, пособия по математике, листы учета знаний.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа. Учебник под редакцией А.Б. Жижченко 10 класс
2. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа, 10-11. — М., 2005.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. — М., 1982.
4. Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов. — М., 1998.
5. Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2009. Легион, 2009.
6. Клово А.Г. Математика ЕГЭ-2010 М., 2010.

Ход урока

Потому-то, словно пена
Опадают наши рифмы
И величие степенно
Отступает в логарифмы
Борис Слуцкий

I. Подготовка учащихся к работе. (Ознакомление с темой урока)

Вступительное слово учителя. Поистине безграничны приложения логарифмов и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям». Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах. » И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях -взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем, каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

II. Математический диктант по основным понятиям необходимым для решения уравнений.

(Проверка на слайде)

1. Равенство двух алгебраических выражений называется (уравнением)
2. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство называется (корнем уравнения)
3. Показатель степени, в которую надо возвести положительное и отличное от единицы число а, чтобы получить число в называется (логарифмом)
4. Десятичным логарифмом называют логарифм с основанием равным (10)
5. Натуральный логарифм, это логарифм с основанием (е)
6. Логарифм единицы по основанию а равен (0)
7. Логарифм а по основанию а равен (1)

III. Систематизация теоретического материала.

1) На доске записаны уравнения, решите их и сопоставьте им правильный ответ.

А) π Б) 36 В) 5 Г) 125 Д) -3 Е)

2) Данные уравнения расположить согласно способам и приемам решения.

3) Найти ошибку в записи и прокомментировать ее (устные комментарии)

-2х=26
Х=-13

4) Тестовое задание на нахождение идеи решения уравнения. Необходимо сопоставить уравнение, прием и формулу необходимую для решения уравнения.

Уравнение	Прием	Формула
3) 4)	а) Применение свойств логарифма б) Разложение левой части на множители в) По определению логарифма г) Введение подстановки	•) Δ) ас+вс=с(а+в) *) , а>0, a≠1 **)

Ответ:

IV. Практическая работа.

1) Работа по вариантам, с программированными заданиями. Необходимо решить уравнение и выбрать правильный ответ. У доски работаю четверо учащихся, в итоге появляется определенный набор цифр.

1 вариант			2 вариант			3 вариант			4 вариант
-2	2,5	4	-4;1	1	-4	1;3	3	1;3;-3	16		8
10	09	12	15	05	10	19	20	18	40	45	28

Ответ: 09. 05. 1945 года.

2) Решить систему уравнений у доски с комментариями.

V. Самостоятельная работа по уровням.

Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).