Работы в с линейные уравнения

Самостоятельная работа по теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» (7 класс)

Самостоятельная работа представлена в двух вариантах. Каждый вариант содержит 5 заданий.

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа по теме «Решение задач с помощью линейных уравнений» (7 класс)»

Решение задач с помощью уравнений

1. Двум братьям вместе 27 лет. Один брат старше другого на 3 года. Сколько лет младшему брату? Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, приняв за х возраст младшего брата:

2. Мать в два раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько дочери, если вместе им 69 лет?

3. Путь между двумя городами легковой автомобиль проехал за 3 часа, а грузовой автомобиль– за 4,5 часа. Скорость грузового автомобиля на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Найдите скорость грузового автомобиля.

4. В одной тетради 96 листов, во второй – 80. Когда в первой тетради исписали в 2 раза больше листов, чем во второй, в ней осталось на 7 чистых листов больше, чем во второй. Сколько листов исписали в каждой тетради?

5. Число 3 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 25% меньше первого, а третье слагаемое на 1 меньше второго. Найдите каждое слагаемое.

Решение задач с помощью уравнений

1. Двум сестрам вместе 32 года. Одна сестра старше другой на 4 года. Сколько лет младшей сестре? Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, приняв за х возраст младшей сестры:

2. На двух полках 80 книг. Сколько книг на каждой полке, если на нижней в три раза больше, чем на верхней?

3. Путь от поселка до города пешеход прошел за 4 часа, а велосипедист проехал за 1,5 часа. Скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость велосипедиста.

4. В одной тетради 96 листов, во второй – 80. Когда в первой тетради исписали в 2 раза больше листов, чем во второй, в ней осталось на 5 чистых листов меньше, чем во второй. Сколько листов исписали в каждой тетради?

5. Число 6,1 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 20% больше первого, а третье слагаемое на 1 больше второго. Найдите каждое слагаемое.

Решение задач с помощью уравнений

1. Двум братьям вместе 27 лет. Один брат старше другого на 3 года. Сколько лет младшему брату? Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, приняв за х возраст младшего брата:

2. Мать в два раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько дочери, если вместе им 69 лет?

3. Путь между двумя городами легковой автомобиль проехал за 3 часа, а грузовой автомобиль– за 4,5 часа. Скорость грузового автомобиля на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Найдите скорость грузового автомобиля.

4. В одной тетради 96 листов, во второй – 80. Когда в первой тетради исписали в 2 раза больше листов, чем во второй, в ней осталось на 7 чистых листов больше, чем во второй. Сколько листов исписали в каждой тетради?

5. Число 3 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 25% меньше первого, а третье слагаемое на 1 меньше второго. Найдите каждое слагаемое.

Решение задач с помощью уравнений

1. Двум сестрам вместе 32 года. Одна сестра старше другой на 4 года. Сколько лет младшей сестре? Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, приняв за х возраст младшей сестры:

2. На двух полках 80 книг. Сколько книг на каждой полке, если на нижней в три раза больше, чем на верхней?

3. Путь от поселка до города пешеход прошел за 4 часа, а велосипедист проехал за 1,5 часа. Скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость велосипедиста.

4. В одной тетради 96 листов, во второй – 80. Когда в первой тетради исписали в 2 раза больше листов, чем во второй, в ней осталось на 5 чистых листов меньше, чем во второй. Сколько листов исписали в каждой тетради?

5. Число 6,1 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 20% больше первого, а третье слагаемое на 1 больше второго. Найдите каждое слагаемое.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Прэктная работа по теме «Системна линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЕЖИ

Система линейных уравнений

Введение…………………………………………………………………………3
1.Система линейных уравнений с двумя переменными………………………7

Понятие о системах уравнений …………………………………………7

Способ алгебраического сложения………………………………………8

1.5.Геометрическая интерпретация решений системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными………………………11

4. Геометрическая интерпретация решения системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными……………………………………………………………………24

5.Решение систем линейных уравнений с параметрами………………………………..27

6.Решение систем уравнений на EXCEL…………………………………………………………….30

Список используемых источников……………………………………………….33

«Перед вами система линейных уравнений с двумя переменными Что скрывается за этими скупыми значками? Математик даст общий ответ: «Это система из двух линейных уравнений с двумя переменными. Но что она выражает, сказать не могу» Если обратиться за ответом к инженерам разных специальностей, то услышим разные ответы.

Инженер-электрик скажет, что передним уравнения напряжения или токов в электрической цепи с активными напряжениями.

Инженер-механик верен, что это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин.

Инженер-строитель сообщит, что имеет дело с уравнениями, связывающими силы и деформации в какой-то строительной конструкции.

Инженер-плановик авторитетно заявит, что это уравнения для расчета загрузки станков. Так какой же из ответов правильный? Каждый из них верен. Да одна и та же система линейных уравнений может отображать равновесное состояние и электрической цепи, и рычагов, и строительной конструкции. Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами и символами неизвестных — и.» (Пекелис1973,стр190-191)

Различные явления действительности имеют поразительное математическое сходство. Так о системе уравнений и применении её в различных сферах производства говорится в книге изданной почти полвека назад. За это время мир очень изменился.

Только о системах линейных уравнений не забыли. Наоборот с развитием экономики возросла необходимость прогнозировать экономические риски, востребован их анализ , которые делаются на основе решения систем линейных уравнений со многими переменными. Внимание к методам решения систем линейных уравнений только возрастает.

В нашем примере фигурируют только уравнения с двумя переменными, а ведь количество переменных и уравнений в системе может быть неограниченным. При решении теоретических и практических задач в науке, технике, производстве приходится иметь дело с системами уравнений с несколькими неизвестными.

Системы линейных уравнений приходят на помощь, когда приходится иметь дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, что сводит эти уравнения линейным.

Развитие экономики, повлекшее за собой необходимость решать задачи математической экономики, как правило, сводящихся к системе линейных уравнений с большим числом переменных обусловило поиск различных способов решений систем уравнений.

Для решения систем линейных уравнений с переменными с давних времен использовали исключения.

В XVII— XVIII вв. над решением систем линейных уравнений работали такие ученые, как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие.

Решение системы уравнений выраженное формулами , впервые использовал в 1675г. немецкий математик Г.Лейбниц, что способствовало развитию теории определителей.

Интересно, что определители были открыты дважды .Сначала — без теоретического обоснования, но с правилами практического применения —в древнем Китае, еще в начале нашей эры, а может и раньше. А уже в XVIII В. Метод определителей открыл Лейбниц в процессе разработки универсального метода решения систем линейных уравнений, что и привело к введению понятия определителей.

Из изучения определителей, решения систем линейных уравнений с многими переменными начинается очень важный раздел современной математики — линейная алгебра.

Сталкиваясь на уроках математики с системами линейных уравнений, мы их решали способом подстановки, сложения и иллюстрировали их решение с помощью графиков. Появилось желание узнать, а есть ли другие способы решения систем линейных уравнений и так ли сложно их освоить.

При выполнении этой работы была поставлена цель, изучить различные способы решения систем линейных уравнений с последующим оптимальным применением того или иного способа при дальнейшем решении систем.

Актуальность работы вызвана тем, что с помощью линейных уравнений математически модулируют все большее число процессов в технике, экономике, производстве, науке.

В работе ставились следующие задачи:

1.Изучить литературу по методам решения систем линейных алгебраических

2.Рассмотреть способы решения систем линейных алгебраических уравнений

1.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Понятие о системах уравнений

Совокупность нескольких уравнений с несколькими переменными называют системой уравнений (неизвестное обозначенное одной и той же буквой в каждом из уравнений , должно обозначать одну и ту же неизвестную величину)

Система (1.1) где и — неизвестные, а —коэффициенты системы, а — свободные члены, называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если , то система называется однородной, в остальных случаях — неоднородной.

Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной , если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида называется определенной , если она имеет единственное решение; если у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.

Решением системы уравнений с несколькими неизвестными называется совокупность значений этих неизвестных, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

Решить систему уравнений, значит найти множество все её решений или показать, что она решений не имеет.

Не существует общего аналитического способа решения систем, все методы основаны на численных решениях. Основная задача при решении — это правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический способ.

Чтобы решить систему (1.1), из первого уравнения системы найдем при . Подставив найденное значение во второе уравнение системы (1.1), получим , откуда . Если , то . Тогда . Итак, решением системы при (1.1) является пара чисел

Блок-схема решения системы (1.1) способом подстановки представлена на схеме 1.1.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Уравнения могут быть сложными, и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Способ алгебраического сложения

Чтобы решить систему (1.1) способом алгебраического сложения, умножим обе части первого уравнения на второго на . Получаем Полагая что система имеет решение, складываем левые и правые части уравнений системы; получаем откуда находим при . Аналогично поступаем, чтобы найти умножим обе части первого уравнения системы (1.1) на а второго на Получаем складываем левые и

правые части уравнений: откуда при . Таким образом, если .

Поскольку система уравнений решена в предположении, что она имеет решения, то необходимо подстановкой убедиться, что найденная пара чисел — решения этой системы.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять, когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Блок-схема решения системы (1.1) способом сложения представлена на схеме 1.2.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения системы на 3, а второго на -2. имеем: Почленно сложим левые и правые части полученных уравнений: Подставим найденное значение в одно из уравнений системы и решим его:

Чтобы решить систему (1.1) способом сравнения, найдем или из каждого уравнения системы: и . Приравнивая полученные для выражения , найдем , . Таким образом, система если , имеет решение

Блок-схема решения системы (1.1) способом сравнения представлена на схеме 1.3.

Пример 3. Решим систему уравнений:

Выразим переменную из каждого уравнения системы: и . Приравняв полученные выражения имеем Подставим найденное значение в первое уравнение получим

Геометрическая интерпретация решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если предположить, что в каждом уравнений системы, по крайней мере один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, то каждое из уравнений является уравнением прямой линии.

Если определитель системы , то это означает, что если

1)все коэффициенты отличны от нуля, то и так как то обе прямые пересекаются в единственной точке, координаты которой и образуют решение системы. ( рис.1.1)

2) Если хотя бы один из коэффициентов при переменных равен нулю, например , то, по нашему условию, и, следовательно, (иначе ). Поэтому данная система равносильна системе уравнений перпендикулярных прямых (одна из которых параллельна оси ординат, другая — оси абсцисс), пересекающихся в одной точке. (рис.1.2).

Если же определитель системы равен нулю, то коэффициенты при переменных пропорциональны и, следовательно, либо система эквивалентна одному уравнению и обе прямые совпадают и система имеет бесконечное множество решений
(рис.1.3), либо система не имеет решений и обе прямые параллельны и не совпадают (рис.1.4)

Блок-схема геометрической интерпретации решений представлена на схеме 1.4

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом подстановки

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом сложения

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом сравнения

Выразить из каждого уравнения одну туже переменную

Сравнить полученные выражения, найти одну из переменных

Подставить найденное значение в любое уравнение , найти значение второй переменной

Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Пусть задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными и: (3.1) .

Разделим обе части первого уравнения системы (3.1) на . Получим (3.2)

Умножим обе части уравнения (3.2) на и отнимим от второго уравнения системы (3.1). Получим:

Умножим обе части уравнения (3.2) на и отнимим от третьего уравнения системы (3.2). Получим: Имеем систему: Пусть Тогда (3.3)

Разделим обе части первого уравнения системы (3.3) на имеем Умножим обе части этого уравнения на отнимим его отвторого уравнения системы (3.3). Получим: Обозначим После проведенных преобразований получим систему треугольного

вида:

Теперь, начиная с последнего уравнения, легко определить значения всех переменных. Если то средикоэффициентов системы (3.1) при существует хотя бы один, отличный от нуля. Это уравнение и считается первым.

Пример 1. Решите систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на 2 и отнимим его от второго уравнения, потом обе части первого уравнения умножим на 4 и отнимим его от третьего. Имеем систему Эта система имеет бесконечно много решений. Выразим через Подставив в первое уравнение исходной системы, имеем: Таким образом система имеет бесконечно много решений.

Ответ: ,

Пример2. Решите систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на 2 и отнимим его почленно от второго уравнения, потом отнимем первое уравнение от третьего. Получим систему уравнений Теперь прибавим второе и третье уравнения полученной системы. Имеем Поскольку третье уравнение системы не имеет решений , то система несовместна.

Ответ : система несовместна.

Одним из наиболее распространенных методов решения линейных систем является метод Крамера.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и : Числа называют коэффициентами системы, а — свободными членами. При решении системы линейных уравнений методом сложения были найдены следующие решения ; .

Проанализировав полученные результаты, можно установить правило, по которому составлены выражения для нахождения и. Коэффициенты системы образуют таблицу , которую называют квадратной матрицей второго порядка.

Число называют определителем этой матрицы. Его обозначают так: . Это определитель второго порядка, его называют определителем системы

Определитель второго порядка можно вычислить по схеме: =.

Обратим внимание на числители в формулах, полученных для нахождения и . Их тоже можно рассм атривать как определители второго порядка. Обозначаются они ; .

Теперь можно записать: ; .

Полученные формулы называют формулами Крамера. Анализируя их, видим, что при решении системы возможны такие случаи.

1.. Система имеет единственное решение; ; .

2.; ; . Система не имеет решений.

3. ;; . Система имеет бесконечно много решений.

Пример 1. Решите систему уравнений

;

; .

Следовательно, ; .

Ответ:.

Пример 2. Решите систему уравнений

;

; .
Следовательно, данная система имеет бесконечно много решений. Любое из них можно получить, взяв произвольное значение , а потом выразивши из уравнения. Например, если , то То есть пара — одно из решений системы.

Ответ: система имеет множество решений.

Пример 3. . Решите систему уравнений

;

; .

Следовательно, данная система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Формулы Крамера можно обобщить на случай системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему

— коэффициенты системы; — свободные члены системы

Запишем, как и в системе с двумя неизвестными, таблицу коэффициентов системы — квадратную матрицу третьего порядка: .

Число = называют определителем этой матрицы.

Вычисление определителя третьего порядка можно выполнить по такой схеме:

— .

Следовательно, ; ;.

То есть если , то решением системы будет тройка чисел , таких, что ; ; .

Эти формулы так же называют формулами Крамера.

Пример 4. . Решите систему уравнений

;

; =- 4 ; .

Отсюда, ; ; .

Ответ: .

Пример 5. . Решите систему уравнений

Решение ; ; ; .

Ответ:

Пример 6. Решите систему уравнений

;

; ; .

Система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Пример 7 Решите систему уравнений

Решение ; ;

;

Ответ: система имеет множество решений.

4.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Известно, что всякое линейное уравнение, (4.1) у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, изображает в координатном пространстве плоскость. Более точно: в координатном пространстве существует такая плоскость , координаты каждой точки которой удовлетворяют уравнению (4.1), и, наоборот, всякая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.1), лежат в плоскости

Будем предполагать, что в каждом уравнении системы трех линейных уравнений (4.2) хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Тогда каждое из этих уравнений является уравнение плоскости в координатном пространстве, и, следовательно, множество решений этой системы является множеством всех точек координатного пространства, лежащих в каждой из этих плоскостей, и, значит, совпадает, с их пересечением. Пусть первое уравнение системы является уравнением плоскости , второе — плоскости , третье —плоскости.

Решая систему (4.2) методом последовательного исключения переменных, мы получим треугольную систему, либо равносильную систему, в которой число уравнений меньше числа переменных и среди уравнений системы нет противоречивых уравнений, либо систему, в которой одно из уравнений противоречиво.

Рассмотрим геометрический смысл каждого из случаев.

1)Если данная система равносильна треугольной, то она имеет единственное решение. Геометрически это означает, что все три плоскости пересекаются в одной точке (рис.1).

2) а)Если данная система равносильна системе, состоящей из одного уравнения, то она имеет бесконечное множество решений, лежащих в одной плоскости. Геометрически это означает, что все три плоскости совпадают.

Пример1.