Ранг матрицы обратная матрица матричные уравнения

Ранг матрицы обратная матрица матричные уравнения

4.1 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (или неособенной), если det A ≠ 0. В противном случае матрица А – вырожденная (или особенная). Матрица A является обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если A A AA E , где E ‑ единичная матрица порядка n :

.

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная .

Доказательство . Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A AA E . По свойству 10 определителей имеем D ( A A ) = D ( A ) D ( А ) D ( E ) = 1 и, следовательно, D ( А ) 0.

Достаточность . Пусть D ( А ) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка , называемую присоединенной . Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А:

.

Легко показать, что

.

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A A и AA равны единичной матрице E n -го порядка: A A AA E .

Рангом матрицы А (обозначается rang А или r ( A )) является наибольший порядок порожденных ею миноров (определителей), отличных от нуля. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется ее базисным минором. Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также будут базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров, однако все их порядки одинаковы и равны рангу матрицы.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) строки и столбцы матрицы поменять местами;

2) переставить местами два любых ее столбца (строки);

3) удалить из нее столбец (строку), все элементы которого равны нулю;

4) удалить из нее столбец (строку), являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов (строк);

5) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;

6) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.

Преобразования 2) ‑ 6) называются элементарными. Две матрицы являются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается как А

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) r (A + В ) r(A) + r(B),

3) r (A В ) min<r(A); r(B)>,

5) r ( A В ) = r ( A ), если В – квадратная матрица и D ( В ) 0,

6) r ( A В ) r ( A ) + r (В) – n , где n – число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Обратная матрица

Содержание:

Обратная матрица

Миноры первого порядка можно определить для любой (не только квадратной) матрицы. Матрица может иметь много миноров, причём некоторые из них могут равняться нулю, а другие — нет.

Высший порядок минора матрицы, который не равен нулю, называют рангом матрицы.

Пример.

а) Рассмотрим матрицу:

Матрица не имеет миноров третьего порядка, но имеет три минора второго порядка, которые равны нулю

Следовательно, ранг матрицы

б) Рассмотрим матрицу:

Минор 3-го порядка этой матрицы, то есть её определитель, равный нулю:

Рассмотрим миноры 2-го порядка:

Видим, что существует минор 2-го порядка, отличный от нуля. Следовательно,

Очевидно, что ранг матрицы не может превышать её порядок.

Ранги транспонированных матриц совпадают.

Можно доказать, что ранг матрицы равный максимально возможному числу её линейно независимых строк (столбцов). Так, в приведённом нами примере строки 1 -1 3 и 4 -1 5 дают в сумме строку 3 0 2, то есть строки матрицы линейно зависимы.

Матрица, ранг которой меньше её порядка, называется вырожденной матрицей (это матрица, определитель которой равен нулю).

Для невырожденных матриц (а такими могут быть только квадратные) вводят понятие обратной матрицы.

По аналогии с умножением чисел, обратной для матрицы А называют матрицу , если

Для матрицы А обратной будет матрица:

где алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Замечание.

1. Алгебраические дополнения элементов рядов матрицы стоят в соответственных столбцах, то есть проведена операция транспонирования.

2. Если в уравнении выполнять одинаковые элементарные преобразования строк матриц А и Е до тех пор, пока матрица А не преобразуется в единичную, то уравнение примет вид где преобразованная единичная матрица. Потому, что получим , то есть обратная матрица — это преобразованная единичная.

Свойства обратных матриц

Последнее свойство легко доказывается. Действительно, согласно свойствам определителей известно, что

Пример 1. Найти матрицу, обратную к матрице А:

Решение.

а) Установить, не будет ли вырожденной матрица А; для этого вычислим

Определитель отличный от нуля, поэтому для матрицы А существует

б) Вычислить алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

в) Запишем матрицу М, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

г) Запишем обратную матрицу транспонировав матрицу М:

д) Необходимо проверить правильность выполнения операции, то есть проверить, что

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение. Запишем параллельно матрицы А и Е и выполним над ними одинаковые элементарные преобразования, направленные на преобразование матрицы А в единичную:

— умножим первый ряд матриц А и Е на три и отнимем от второго ряда соответствующей матрицы:

— сложим вторые ряды матриц А и Е с первыми:

— умножим вторые ряды на

В результате приведённых выше преобразований из единичной матрицы Е мы получили матрицу, обратную матрице А:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, вычислив её согласно схеме, приведённой в примере 1:

— вычислим определитель матрицы

— вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

— сложим матрицу М, составленную из алгебраических дополнений и транспонируем её:

— запишем обратную матрицу для матрицы А:

Как видим, матрицы совпадают.

Системы n линейных уравнений с n неизвестными

Определение. Линейным уравнением с n неизвестными называют уравнения вида:

где коэффициенты уравнения; неизвестные; свободный член.

В курсе средней школы рассматривали линейные уравнения с одним, двумя и тремя неизвестными. Это уравнения:

Геометрически эти уравнения изображают точку на числовой прямой, прямую на площади, площадь в пространстве.

Решением линейного уравнения считают совокупность значений неизвестных этого уравнения, которые преобразуют его в истинную тождественность.

Системой линейных уравнений называют два или более уравнений, которые решаются совместно. Это означает, что решением системы будут те решения её уравнений, которые удовлетворяют все уравнения системы. (сечение решений уравнений системы).

В общем виде система m линейных уравнений имеет вид:

где неизвестные; коэффициенты систем; свободные члены.

Систему можно представлять как произведение матриц:

Такую запись системы называют матричной формой записи.

Если ввести обозначения

то систему можно записать в виде матричного равенства:

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю (АХ=0).

Системы называется квадратной, если n=m (количество равенств и количество неизвестных равны).

Не каждая система имеет решения, например система состоящая из следующих уравнений:

решений не будет иметь.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определённой.

Однородная система всегда совместная, она имеет так называемое тривиальное решение

Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из её коэффициентов меньше чем число n её столбцов.

Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение, только тогда когда определитель матрицы, составленной из её коэффициентов равен нулю.

Вопрос совместимости системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера — Капелли

Для того, чтобы система была совместимой, необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы А совпадал с рангом расширенной матрицы (матрица А, к которой присоединён столбец свободных чисел).

Доказательство. Рассмотрим матрицы А и :

Минор, который определяет ранг матрицы А входит в матрицу , следовательно ранг матрицы или равен матрице А, или на единицу больше него.

Необходимость. Если система А совместимая, то существуют значения неизвестных которые и являются решениями. Подставив эти значения в систему, получим m тождеств, из которых видно, что последний столбец матрицы является суммой всех последних столбцов, взятых вместе с коэффициентами (линейной комбинацией столбцов матрицы А). Определитель, у которого столбцы линейно зависимы равен нулю. Следовательно, ранг матриц совпадает.

Достаточность. Пусть ранги матриц А и совпадают. Это значит, что количество линейно независимых столбцов у этих матриц одинаковое. Потому, что матрицы отличаются только последним столбцом матрицы , существуют числа , такие, что сумма столбцов матрицы А взятых вместе с этими числами, равна столбцу свободных членов из системы . Следовательно, числа являются решениями системы.

Отметим, что совместная система имеет единое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен числу неизвестных.

Пример 1. Установить совместимость системы:

Решение. Ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы равен 2. Ранг расширенной матрицы равен 3, поскольку

Ответ: система несовместима.

Пример 2. Установить совместимость системы:

Решение. Ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы равен 2, то есть равен числу коэффициентов. Ранг расширенной матрицы 2. Следовательно, система совместима и имеет единое решение.

Ответ: система совместима.

Пример 3. Установить совместимость системы:

Решение. Ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы 2. Ранг расширенной матрицы 2.

Ответ: система совместима.

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными

1. Матричный метод. Одним из способов решения систем линейных уравнений является её умножение на обратную матрицу.

Пусть дана система6

Умножим правую и левую части на А -1 :

А -1 (АХ)=А -1 В или (А -1 А)Х=А -1 В.

Потому что, А -1 А=Е, получим

Нахождение обратной для матриц высоких порядков достаточно сложное, поэтому матричный метод используют довольно редко.

Пример 1. Решить систему:

Решение.

а) Запишем систему в матричной форме:

б) Вычислим определитель матрицы А:

в) Запишем обратную матрицу А -1 :

Обратная матрица найдена правильно, поскольку

г) Вычислим произведение матрицы А -1 В:

Ответ: х=2, у=1, z=3.

2. Метод Крамера. Пусть дана система (запишем в виде матричного уравнения) n линейных уравнений с n неизвестными

где определитель матрицы матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

Как видим, полученные выражения для элементов матрицы Х — это разложения элементов i-ой строки некоторого определителя, а именно:

где определитель матрицы А, а определитель матрицы, в которой столбец коэффициентов, которые стоят при заменён на столбец свободных членов (матрица В).

Если , то система будет иметь единое решение.

Если , то система или неопределённая, или несовместимая. Система будет несовместимой (не будет иметь ни одного решения), если хотя бы один из .

Если же, и , то система будет иметь множество решений (неопределённая)

Пример. Найти решения системы:

Решение.

а) Вычислим определитель матрицы А:

б) Вычислим определитель . Для этого первый столбец матрицы А заменим на столбец свободных членов (матрицей В) и для получения матрицы вычислим определитель:

в) Вычислим определители . Для этого заменим соответствующие столбцы матрицы А на столбец свободных членов и вычислим определители полученных матриц:

г) Найдём значения неизвестных

Ответ:

3. Метод Гаусса. Суть метода Гаусса заключается в последовательном изъятии неизвестных из уравнения системы. Поясним на примере системы трёх уравнений:

Разделим коэффициенты первого уравнения на . Получим систему:

Если теперь последовательно перемножить первое уравнение на коэффициенты и отнять соответственно от второго и третьего уравнения системы, то получим:

Неизвестное х мы изъяли из второго и третьего уравнения системы.

Изымем таким же способом у: разделим второе уравнение на , а потом, умножив на , отнимем от третьего. Получим:

Из третьего уравнения находим z, со второго — у, с третьего — х.

Алгоритм можно применять к системам более высоких порядков.

На практике, при непосредственном вычислении удобно использовать расширенную матрицу системы:

которую с помощью элементарных преобразований приводят к виду:

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Коэффициент системы равен 1, поэтому выпишем расширенную матрицу:

Умножим первую строку на 2 и отнимем от второй:

а потом умножим первую строку на 3 и отнимем от третьей:

Продолжим изымать переменные со второго и третьего уравнений системы (со второй и третьей строки расширенной матрицы). Коэффициент равен 1, поэтому просто умножим вторую строку на 5 и отнимем от третьей:

Система свелась к виду:

Из третьего уравнения системы находим z=1, подставив найденное значение во второе уравнение системы найдём у= -2, а из первого уравнения — х=3.

Ответ: х=3, у= -2, z=1.

Пример2. Решить систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

Разделим первую строку системы на коэффициент . Получим:

Умножим первую строку матрицы последовательно на 4 и 2 и отнимем соответственно от второй и третьей строк:

Разделим третью строку полученной матрицы на . Получим:

Умножим вторую строку матрицы на и отнимем её от третьей строки:

Начальная система свелась к виду:

Из третьего уравнения получим z=1, со второго — у=1, с первого х=1.

Ответ: х=1, у=1, z=1.

Обратная матница и её определение

Квадратная матрица называется обратной квадратной матрице если выполняется условие где единичная матрица. Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, она называется вырожденной или особенной.

Всякая невырожденная квадратная матрица

имеет единственную обратную матрицу

где алгебраическое дополнение элемента матрицы . (Алгебраическое дополнение элементов каждой строки матрицы записаны в столбец с тем же номером).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Чтобы найти матрицу, обратную данной, необходимо:

1) вычислить определитель данной матрицы; 2) найти алгебраические дополнения ее элементов 3) составить матрицу из алгебраических дополнений взятых в том же порядке, что и элементы в матрице 4) в матрице поменять ролями строки и столбцы, записать матрицу каждый элемент матрицы разделить на определитель матрицы Рангом матрицы называется наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначается так: или .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2. А_n) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Решить уравнение АХ = В, если

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы. Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2. n), а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2. m).

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k. Величина последнего определяется экспертным путем.

Затем определяется рейтинговая оценка по каждой из анализируемых систем по следующей формуле:

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R_j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.