Расчетное уравнение на прочность при растяжении сжатии

Техническая механика

Сопротивление материалов

Решение задач на растяжение и сжатие

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.

Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s :

где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.

Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым , и обозначают [s] .
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением , и обозначают [σ] :

Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:

σ_max ≤ [σ] , или в другом виде: s ≥ [s] .

Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σ_р] и [σ_с] .

Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:

и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А , не должно превышать допустимое.

На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:

— проектный расчет , при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
— проверочный расчет , при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
— определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.

Растяжение под действием собственного веса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.
Рассмотрим брус постоянного сечения весом G , длиной l , закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1) .
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:

где γ — удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.

Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:

σ_z = N_z / А = γ А z / А = γ z ,

т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения . Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:

Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:

Статически неопределимые задачи

Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.

Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А , длиной l , жестко защемленный по концам (см. рис. 2) .
При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

откуда следует, что реакции R_С и R_В равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией R_В , тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:

т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции R_B , так как связи предполагаются абсолютно жесткими.

Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δl_t = αtl , где α — коэффициент линейного расширения стержня.

Укорочение стержня под действием реакции: Δl_СВ = R_B l / (EА) .

Приравняв правые части равенств, получим:

αtl = R_B l / (EА) , откуда R_B = αtEА .

Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

iSopromat.ru

Условие прочности при растяжении и сжатии: нормальные напряжения σ в сечениях бруса не должны превышать заданных допустимых напряжений [σ].

При продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные напряжения σ . Поэтому для обеспечения прочности стержней и стержневых систем достаточно выполнение условия:

Здесь
σ _max – максимальные расчетные нормальные напряжения в стержне,
N – внутренние продольные силы (принимаются с построенных эпюр),
А – соответствующая площадь поперечного сечения бруса,
[ σ ] – допустимые напряжения (расчетное сопротивление) для материала стержня, определяемое как:

n – коэффициент запаса прочности, устанавливаемый нормативными документами.

Данное условие означает что для того чтобы стержень при растяжении-сжатии оставался прочным, напряжения σ в его сечениях не должны превышать допустимых значений [ σ ].

В случаях, когда для материала стержней допустимые напряжения на растяжение [ σ ]_р и на сжатие [ σ ]_сж отличаются, при сравнении необходимо учитывать знак напряжений σ , который зависит только от знака соответствующих внутренних сил N.

Так, положительные значения напряжений σ сравниваются с [ σ ]_р, отрицательные напряжения по модулю не должны превышать значения [ σ ]_сж.

Три задачи расчета на прочность

Данное условие прочности позволяет решать три основных задачи сопротивления материалов и технической механики:

Проверка на прочность.

В случае, когда известны внешние нагрузки, а также размеры и материал стержня можно выполнить проверку его прочности. Для этого по каждому участку рассчитывается величина нормальных напряжений σ , после чего максимальная из них сравнивается с заданным допустимым значением [ σ ].

Ответ в данной задаче дается в виде заключения:

• если σ _max ≤ [ σ ] стержень прочный,
• если σ _max > [ σ ] стержень непрочный.

Подбор размеров сечения (проектировочный расчет)

Эта задача является основной в технической механике. Здесь, по известным схеме нагружения и материалу стержня определяется минимально необходимая площадь поперечного сечения A обеспечивающая его прочность.

Для этого условие прочности записывается относительно искомой величины.

Полученные размеры в случае необходимости можно только увеличивать. Уменьшение размеров приведет к превышению напряжениями допустимых значений.

Определение грузоподъемности стержня.

Данная формула позволяет по известным размерам и материалу рассчитать величину допустимой внутренней силы, которую может выдержать стержень, оставаясь прочным.

В данном случае условие прочности записано относительно внутренней силы N.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Тема 2.2. Растяжение и сжатие

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.

Рис. 1. Растяжение стержня

Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен – Венана.

Если воспользоваться методом сечений (рис. 2), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N_z, равные силе F (рис. 2, б).

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N_z. При растяжении нормальная сила N_z направлена от сечения (рис. 2, б), а при сжатии – к сечению.

Рис. 2. Нормальная сила N

Растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 3, б).

Рис. 3. Знак продольной силы N

При расчете стержней, испытывающий деформацию растяжения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от N_z), возникающих в стержне, и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки.

Продольные силы (N_z), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.

График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. N_z). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.

Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти N_max при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.

Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.

На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.

Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.

§2. Напряжение в поперечных сечениях стержня

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил ,остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют — гипотезой плоских сечений. На основании указанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив продольную силу N на площадь А: σ=N/A

Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулe следует подставлять алгебраическое значение N т.е со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия

§3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение σ не превосходит допускаемого [σ] : σ=N/A≤ [σ],

где N — абсолютное продольной силы в сечении;

А — площадь поперечного сечения;

[σ] — допускаемое напряжение пр растяжении или сжатии для материала стержня.

Данное выражение определяет условие прочности при растяжении или сжатии.

С помощью этой формулы решается три вида зада (выполняется три вида расчета):

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силы N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым [σ].

Превышение рабочего (расчетного) напряжения не должно быть больше 5% , иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочее напряжения значительно ниже допускаемых σ