Расчетные задачи с системами уравнений

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Решение задач через систему уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по химии (10 класс) по теме

Материал можно использовать на старшей ступени обучения, в классах с углубленным изучением химии, в профильных классах ( если химия профильный предмет) или при изучении элективных курсов по решению химических задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение химических задач алгебраическим способом.

Метод решения химических задач алгебраическим способом очень удобен и используется при решении задач на взаимодействие смесей веществ или сплавов.

Данный материал может быть использован учителями химии, работающими в профильных классах естественнонаучной направленности, а также при изучении элективных курсов по решению химических задач на старшей ступени обучения.

Тексты задач взяты из следующих источников:

1. О.С. Габриелян, Ф.Н. Маскаев, С.Ю. Пономарев, В.И. Теренин.

Химия 10 класс, учебник профильного уровня « Дрофа» 2010 г.

1. О.С. Габриелян, Г.Г. Лысова. Химия 11 класс, учебник профильного уровня « Дрофа» 2010 г.
2. И. Г. Хомченко. Общая химия ( сборник задач и упражнений) Москва « Новая Волна» 2003 г.

Шаломанова Наталья Владимировна, учитель химии I квалификационной категории

МОУ – СОШ с. Рекорд Краснокутского района Саратовской области.

При пропускании смеси метана, оксида углерода (II) и ( IV) объемом 33,6 л через раствор гидроксида натрия, взятого в избытке объем исходной смеси уменьшился на 13,44 л. Для полного сгорания такого же количества потребовался кислород объемом 20,16 л. Определите объемы газов в исходной смеси.

Решение: Составим уравнения взаимодействия компонентов смеси с гидроксидом натрия.

Из всех компонентов смеси с гидроксидом натрия реагирует только оксид углерода ( IV).

1. CO 2 + 2 NaOH = Na 2 CO 3 + H 2 O

По условию задачи объем исходной смеси уменьшился за счет оксида углерода (IV), который полностью израсходовался в реакции 1).

Найдем количество смеси и количество оксида углерода ( IV).

а) n смеси = = =1,5 моль б) n( CO 2 ) = = = 0,6 моль.

Просчитаем количество вещества, оставшихся в смеси газов:

n ( CH4)(CO) = n смеси — n( CO 2 )= 1,5 – 0,6 = 0,9 моль

1. Запишем уравнения взаимодействия неизрасходованных газов из смеси с кислородом.

а) 2 CO + O 2 = 2 CO 2 б) CH 4 + 2O 2 = CO 2 + 2 Н 2 О

2 моль 1 моль 1 моль 2 моль

Предположим, что n( СО) в реакции 2а) равно у моль, а n( СН 4 ) по реакции 2б ) равно х моль,

Из уравнения 2а) n( О 2 ) = n (CO)= у или 0,5 у; из уравнения 2б) n( О 2 ) =2 n( СН 4 ) = 2х.

Составим систему уравнений:

х + у = 0,9 ͢ х = 0,9 -у ͢ х = 0,9-у ͢ х =0,9 — у ͢ 2х + 0,5 у =0,9 2*(0,9-у) +0,5у=0,9 1,8 – 2у + 0,5у=0,9 — 1,5у=-0,9

х =0,9 — у ͢ х =0,9 — у ͢ х = 0,3 моль у = — 0,9 : ( — 1,5) у = 0,6 у = 0,6 моль

1. Находим объем каждого газа в смеси по формуле: V = V m * n

V смеси = 33, 6 л n( СО 2 ) = 0,6 моль; V = 22,4 *0,6 = 13,44 л.

n ( СН 4 ) = 0,3 моль; V = 22,4 *0,3 = 6,72 л.

n ( СО) = 0,6 моль; V = 22,4*0,6 = 13,44 л.

Ответ: V( СО 2 ) = 13,44 л

Имеется смесь метанола и этиленгликоля массой 6,3 г. При обработке смеси избытком натрия выделяется водород в количестве, необходимым и достаточным для гидрирования 2.24 л пропена. Определить массовые доли спиртов в исходной смеси.

Решение: Составим уравнения реакций, описанных в данной задаче.

2СН 3 ОН + 2 Na = 2 СН 3 ОNa + Н 2 ↑

n(Н 2 ) = n ( СН 3 ОН)

С 2 Н 6 О 2 + 2 Na = C 2 H 4 (ONa) 2 + H 2 ↑

n(Н 2 ) = n ( С 2 Н 6 О 2 )

С 3 Н 6 + Н 2 = С 3 Н 8

n(Н 2 )= n( С 3 Н 6 )

По реакции № 3 количество водорода равно количеству пропена, следовательно:

V ( H 2 ) =V ( C 3 H 6 ), объем водорода равен 2.24л ( это и есть объем водорода, выделившийся в результате химических реакций № 1 и № 2.

Сопоставим данные для спиртов, содержащихся в исходной смеси и водорода.

M ( CH 3 OH) = 32 г / моль

M ( С 2 Н 6 О 2 ) = 62 г / моль

по уравнению № 1

по уравнению № 2

n ( общ) = =0,1 моль

n ( CH 3 OH)= х моль

n ( С 2 Н 6 О 2 )= у моль

m ( С 2 Н 6 О 2 )= 62у

II. Составим систему уравнений: Для первого уравнения используем данные, израсходованного в уравнениях № 1, № 2 водорода. Для второго уравнения используем данные спиртов из смеси, вступивших в реакции № 1, № 2.

у = 0,1-0,5 х у = 0,1-0,5 х у = 0,1-0,5 х

32х + 6͢2у = 6,3 32х + 62(0,1 – 0,5х) = 6,3 32х + 6,2 – 31х = 6,3

у = 0,1 – 0,5 х у = 0,1 – 0,5 *0,1 у = 0,05 моль

х = 6,3 -6,2 х = 0,1 х = 0,1 моль

III. Найдем массовые доли компонентов смеси:

ᴡ (CH 3 OH) = = 100 % = 50,78 %

ᴡ (С 2 Н 6 О 2 ) = = 100 % = 49,22 %

Ответ: ᴡ (CH 3 OH)= 50,78 %, ᴡ (С 2 Н 6 О 2 )= 49,22%

При взаимодействии 8 г смеси железа и магния с соляной кислотой выделилось 4,48 л водорода ( при н.у). Сколько граммов железа и магния содержалось в смеси.

Решение: Запишем уравнения химических реакций, описанных в задаче.

1. m( смеси) = 8 г 1) Fe + 2HCl = FeCl 2 + H 2 ↑

1 моль 1 моль V выделившихся газов = 4,48 л

2) Mg + 2HCl = MgCl 2 + H 2 ↑

Предположим, что в реакции № 1 прореагировало х моль железа,

в реакции № 2 у моль магния, тогда : n ( Н 2 ) = х моль (по реакции № 1),

n ( Н 2 ) = у моль (по реакции № 2).

Сопоставим данные металлов смеси и выделившегося в реакциях водорода.

M( Fe) = 56 г / моль

M( Mg) = 24 г / моль

n( Н 2 ) = х моль( по уравнению №1)

n( Н 2 ) = у моль( по уравнению №2)

n общ = = = о,2 моль

1. Составим систему уравнений:

х + у = 0,2 у = 0,2-х у = 0,2 — х

56х + 24 у = 8 56х + 24 ( 0,2 –х) = 8 56х +4,8 -24х =8

у= 0,2 — х у = 0,2 — х у = 0,2-0,1 у = 0,1

32х=3,2 х = = 0,1 х = 0,1 х = 0,1

а) m( Fe) = M*n = 56*0,1 = 5,6 г. б) m( Mg) = M*n = 24*0,1 = 2,4г.

Ответ: m( Fe) = 5,6 г, m( Mg) =2,4г.

Задача № 4 При гидрировании смеси этилена с пропиленом массой 9,8 г получена смесь этана с пропаном массой 10,4 г. Рассчитайте объемную долю этилена в исходной смеси.

Решение: Составим уравнения химических реакций по условию задачи.

1. m смеси = 9,8 г 1) С 2 Н 4 + Н 2 = С 2 Н 6

1 моль 1 моль 1 моль m смеси продуктов реакций = 10,4 г.

2) С 3 Н 6 + Н 2 = С 3 Н 8

1 моль 1 моль 1 моль

Масса веществ продуктов реакции больше массы исходной смеси за счет присоединения водорода. Найдем массу водорода, вступившего в реакцию № 1 и № 2. m( H 2 ) = m смеси продуктов реакций — m исходной смеси = 10,4 – 9,8 = 0,6 г.

II.Допустим, что в реакцию № 1 вступило х моль этилена, следовательно: n( H 2 ) = х моль

В реакцию № 2 вступило у моль пропилена и у моль водорода ( по реакции № 2)

Сопоставим данные исходных веществ и продуктов реакции и составим систему уравнений.

M(С 2 Н 4 )= 28 г / моль

M(С 3 Н 6 )= 42 г / моль

M(С 2 Н 6 )= 30 г / моль

M(С 3 Н 8 )= 44 г / моль

M( Н 2 )= 2 г / моль

n(С 2 Н 4 )=х моль

n(С 3 Н 6 )=у моль

n(С 2 Н 6 )=х моль

n(С 3 Н 8 )=у моль

n( Н 2 )=х моль по уравнению № 1

n( Н 2 )=у моль по уравнению № 2 n( смеси Н2 )= = = 0,3моль

28 х + 42 у = 9,8 г

30 х + 44 у = 10,4 г

Получим систему уравнений:

х + у = 0,3 у = 0,3 — х

28 х + 42 у = 9,8 28 х + 42 у = 9,8 ( массы исходных веществ)

30 х + 44у = 10,4 30 х + 44у = 10,4 ( массы продуктов реакций)

При решении системы уравнений можно использовать одно из двух уравнений ( подсчет по массе исходных веществ или по массе продуктов реакции) результат будет одинаковым.

у = 0,3- х у = 0,3- х у = 0,3- х у = 0,3-0,2= 0,1

28х + 42( 0,3 – х) = 9,8 28х + 12,6 – 42х = 9,8 -14х = — 2,8 х = 0,2

III.Находим объемную долю этилена в исходной смеси:

ȹ( С 2 Н 4 ) = * 100% = * 100%= * 100%=66,6%

Ответ: ȹ( С 2 Н 4 )= 66,6%

Задача № 5 Смесь метанола с этанолом массой 14,2 г сожгли. Образовавшийся оксид углерода ( IV) пропустили через раствор гидроксида кальция, получили осадок массой 50 г. Рассчитайте массовую долю метанола в исходной смеси. Решение: Запишем уравнения всех химических реакций, описанных в задаче.

1. ① 2 СН 3 ОН + 3О 2 = 2 CO 2 ↑ + 4 H 2 O

② С 2 Н 5 ОН + 3О 2 = 2 CO 2 ↑ + 3 H 2 O

③ СО 2 + Са(ОН) 2 = СаСО 3 ↓ + Н 2 О

По уравнению ③ найдем n(СО 2 ), согласно уравнению n(СО 2 ) = n (СаСО 3 ), так как известна масса осадка СаСО 3 можно определить n (СаСО 3 )

n (СаСО 3 ) = = = 0,5 моль, значит n(СО 2 )= 0,5 моль ( именно столько оксида углерода ( IV) выделилось в реакциях ①, ②.

II.Предположим, что n( CH 3 OH) в реакции ① взяли х моль, тогда n(СО 2 )=х моль, так как количества вещества их равны по уравнению ①. n( C 2 H 5 OH) в реакции ② взяли у моль, тогда n(СО 2 )=2у моль, так как, n( C 2 H 5 OH) = 2n(СО 2 ) ( по уравнению②) Сопоставим данные исходных веществ и продуктов реакций ①②, а именно СО 2

Расчетные задачи с системами уравнений

Решите систему уравнений В ответ запишите х + у.

Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему методом подстановки:

Искомая сумма равна 3,5.

Систему можно было бы решить методом алгебраического сложения: