Расположение корней характеристического уравнения устойчивость

Оценка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения

При оценке устойчивости необходимо рассмотреть три возможных случая.

1. Корни вещественны.

2. Пары комплексно-сопряженных корней.

3. Корни чисто мнимые.

Если все корни вещественные и отрицательные, то есть

хсв(t) . (3.6)

Если все корни вещественные и отрицательные, то каждое слагаемое хсв в формуле (3.6) стремится к нулю при t®¥ и, следовательно, хсв(t) ® 0, то есть необходимое и достаточное условие устойчивости (3.2) выполнено и САУ устойчива.

Если все корни вещественные, но среди них имеется хотя бы один положительный корень р _к = a _к > 0 , то соответствующее ему слагаемое в (3.6) будет иметь вид с_к exp(a_кt) и будет стремиться к ¥ при t®¥.

При этом, хотя все слагаемые в хсв(t) , кроме одного, будут затухать, переходный процесс САУ в целом будет расходящимся, а САУ — неустойчивой.

Если все корни вещественные, отрицательные и есть пара комплексно- сопряженных корней р _k =-a+jb . р _k+1=-a-jb. Тогда комплексным корням в Хсв(t) соответствуют слагаемые А= с_к exp[-(a-jb)t] и B= с_к exp[-(a+jb)t]. C учётом формул Эйлера можно записать

А+В= De -a t sin(bt+j). (3.7)

Сумма слагаемых, соответствующих комплексно-сопряжённым корням, представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой b и амплитудой De -a t .

Параметр a — это параметр затухания огибающей k – кривой переходного процесса.

при a 0

Таким образом, если действительная часть комплексного корня a

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица детально рассмотрен в [1] на с. 47-48. Назначение, описание и особенности применения частотных критериев устойчивости линейных САУ приведены на с. 48-54 [1].

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит задача линеаризации уравнения системы автоматического регулирования (САР)?

2. Дайте понятия “устойчивой” и “неустойчивой” САР.

3. Что такое “принцип аргумента”?

4. Сформулируйте и поясните критерий устойчивости Найквиста-Михайлова для замкнутых систем.

5. Какие точки на годографе САР считаются “характерными”? Как они определяются?

6. Как влияет на устойчивость САР звено задержки?

7.Как влияет на устойчивость САР форсирующее звено?

8. Как влияет на устойчивость САР интегрирующее звено?

9. Для чего может использоваться в САР дополнительное интегрирующее звено?

Алгебраические критерии устойчивости САР

Алгебраические критерии устойчивости САР

Вопросом определения устойчивости систем автоматического регулирования, не решая исходных дифференциальных или характеристических уравнений, занимались многие ученые. В результате были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости, каждый из которых применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагаем. Существуют различные формы критериев устойчивости, но математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.

Расположение корней для устойчивой и неустойчивой автоматических систем

Если известны исходные дифференциальные уравнения автоматической системы, то чаще всего применяюталгебраические критерии устойчивости.

Было установлено, что необходимым, но недостаточным условием устойчивости автоматической системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

Это значит, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения автоматическая система может быть устойчивой, но не исключена возможность того, что данная автоматическая система будет неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то автоматическая система является неустойчивой и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Заметим, что возможны случаи, когда вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Тогда умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, формально можно сделать их положительными и, казалось бы указанное выше условие выполняется, хотя на самом деле автоматическая система неустойчива.

Критерий Вышнеградского. Расположение корней характеристического уравнения системы третьего порядка на комплексной плоскости положено в основу метода . Исследуя систему третьего порядка

ввел новую переменную

и получил новое уравнение

Постоянные А и В выражены через коэффициенты характеристического уравнения следующим образом:

Исходя из этого определил условия устойчивости для систем третьего порядка:

1. Автоматическая система будет устойчивой еслиА·В > 1;
2. Автоматическая система будет неустойчивой еслиА·В а0 а3;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1а2 а3 2а0;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1( а3 а2 —а4 а1)

Корневые критерии устойчивости

1) отрицательная вещественная часть

Устойчивая система.

2) положительные вещественные корни

Неустойчивая система

3) корни комплексно-сопряженные с

отрицательной вещественной частью

затухающие гармонические колебания

Система устойчива.

4) комплексно-сопряженные с положительной

Неустойчивая система

5) комплексные корни (чисто мнимые)

монотонный колебательный процесс

с постоянной частотой и амплитудой.

Система на границе устойчивости.

Вывод:Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива.

Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным.

Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения

Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости,а правую – областью неустойчивого движения.

Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости.

Вывод:Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить.

Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 3 типа границ устойчивости линейных систем:

1. Апериодическая граница устойчивости, которая соответствует р=0. Когда корень – нуль, то в характеристическом уравнении и система будет устойчива относительно скорости изменения управляемой величины, а сама управляющая величина может принимать произвольное значение. Система является нейтрально устойчивой.

2. Колебательная граница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни

В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем.

Алгебраические критерии.

Критерий устойчивости Гурвица.

При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.

Необходимое условие является справедливым для всех систем:

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

Необходимое условие является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

Матрица коэффициентов

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁ до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс n, то на его место пишется 0.

а1 а3 а5 ………0 1=а1>0

а0 а2 а4 ………0 а1 а3

0 а1 а3 а5…. 0 2= а0 а2

………………. а1 а3 а5

…………………

Если аn=0 , то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Если n₁=0, то это колебательная граница устойчивости.

Критерий Раусса.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

Частотные критерии

Критерий Михайлова.

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до + .

Возьмём характеристический полином следующего вида:

(1)

Подставим в него и выделим вещественную и мнимую части.

— вещественная часть,

— мнимая часть.

Изобразим годограф Михайловавыражения на комплексной плоскости.

Берём значения и строим годограф. Для различных годограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называются кривыми Михайлова.Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается и для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Формулировка критерия Михайлова.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D(jω)=0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила в в том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая Неустойчивая Апериодическая Колебательная

граница устойчивости граница устойчивости

Другая формулировка критерия Михайлова:

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов и .

Идя по кривой Михайлова от т. в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси , затем пересекаем ось , потом снова и т. д.

Это значит, что корни уравнений и должны следовать поочерёдно друг за другом.

Кривые и имеют приблизительно такой вид:

Перемежаться должны корни , , ,… Между ними должно быть следующее соотношение:

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: