Квадратные уравнения с параметром
Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Исследование квадратного многочлена
Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
- Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
- \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).
В итоге получаем:
если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).
Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0
При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?
1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.
2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):
Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).
1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).
2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:
Подставляем полученные выражения в систему:
Квадратные уравнения с параметрами
Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
Индекс 628681 Российская Федерация, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ – Югра, г. Мегион, /1
Cайт: http//www. megionschool4.ru
Департамент финансов администрации города Мегиона
( МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №4»
р/с в РКЦ г. Нижневартовска,
Квадратные уравнения с параметрами
(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов)
учитель математики высшей квалификационной категории,
заместитель директора по УВР
1.Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
§2.Применение теоремы Виета
3.Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Список рекомендованной литературы
В методической разработке систематизированы теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек); особое внимание уделено использованию свойств квадратичной функции; приведено применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами; все идеи проиллюстрированы примерами, рассмотрены основные методы решения квадратных уравнений с параметрами, подробные методические указания по решению квадратных уравнений с параметрами.
Методическая разработка предназначена для учащихся 9-11 классов, студентов педагогических вузов, а также для учителей. Пособие поможет в подготовке к вступительному экзамену в вуз, сдаче ЕГЭ по математике и к ГИА в новой форме.
Разработка посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В последние годы в тестах ЕГЭ и ГИА по математике, и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения широкое распространение получили задачи, содержащие параметры. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Задачи с параметрами представляют собой как бы небольшую модель будущей научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.
Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.
Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:
1. вербальная модель – словесное описание задачи;
2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями. Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.
1. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена не входят непосредственно ни в школьную программу по математике, ни в программу для поступающих в вузы, поэтому выпускник или абитуриент, пользуясь ими, вообще говоря, должен уметь их доказывать. В то же время, обоснование теорем о расположении корней квадратного трехчлена строится на элементарных фактах школьной математики. В данном пособии приведены доказательства нескольких теорем.
Введем следующие обозначения: х1, х2 – корни квадратного трехчлена f(x), х1 ≤ х2, D – дискриминант f(x), xb – абсцисса вершины параболы, являющейся графиком f(x). Решение большинства задач с параметром, в которых необходимо провести исследование квадратного трехчлена, сводится к определению необходимых и достаточных условий реализации одного или нескольких из следующих случаев:
Теорема 1.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) были больше некоторого числа n,необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы парабола (см. рис. 1, 2) – график функции f(x) = ax2 + bx + c – пересекала ось ОХ в точках (х1; 0) и (х2; 0), лежащих правее точки (n; 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1. вершина параболы – либо лежит в нижней полуплоскости, либо в верхней полуплоскости, либо на оси ОХ ( условие D≥0);
2. ось симметрии параболы – прямая хb = — — лежит правее прямой х = n ( условие xb>n );
3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а 0).
Рис. 1
Доказательство теоремы 1.
Достаточность. Так как D ≥ 0,то по теореме о дискриминанте, получим, что квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2; пусть х1≤х2. Так как вершина параболы расположена между корнями трехчлена, т. е.х1≤хв≤х2, и, по условию, n 0 и уже доказанное неравенство х2 > n:
f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2).
Сравнение знаков левой и правой частей этого неравенства приводит нас к выводу, что выполнено неравенство n – х1 n.
Необходимость. Так как трехчлен имеет два корня, то по теореме о дискриминанте, D≥0. Так как х1> n и х2> n, то х1+х2 > 2n, поэтому
хв = > = n.
По теореме о разложении на линейные множители, с учетом известных по условию знаков, получим запись f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2), из которой следует, что f(n) > 0. Тем самым теорема доказана полностью.
Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(х) были меньше некоторого числа m, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 3
Рис. 4
Теорема 3.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) принадлежали заданному промежутку (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 5
Рис. 6
Теорема 4. Только меньший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
Рис. 7
Теорема 5. Только больший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
Рис. 8
Теорема 6. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) лежат вне заданного промежутка (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Рис. 9
Теорема 7.Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена f(x) был больше заданного числа n, а другой меньше, необходимо и достаточно выполнение условия (или для того чтобы некоторое число n лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия):
Рис. 10
Теорема 8. Квадратный трехчлен f(x) имеет один корень внутри интервала (n;m), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда выполняется условие f(n)∙f(m) 6 дискриминант оказывается отрицательным, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: при уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при уравнение имеет два корня ; при а = 2 уравнение имеет единственный корень ; при а = 6 уравнение имеет единственный корень .
Пример 2.При каком значении параметра а уравнение (а — 2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное∙х + 3 = 0; которое не имеет корней.
Если а ≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D.
.
D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
4.При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а — 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1∙х2 > 0, т. е. .Решением последнего неравенства является .С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим .
Ответ: .
Пример 3.Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; + ∞).
Пример 4.При каких значениях параметра а уравнение (а — 2)х2 — 2(а + 3)х + 4а = 0
имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. По теореме 6, для того чтобы оба корня данного квадратного трехчлена лежали вне заданного промежутка, необходимо и достаточно выполнение условий Получим систему неравенств:
Ответ: .
Пример 5.При каких значениях а уравнение (а — 1)∙х2 = (а + 1)∙х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 х1. Искомые значения параметра а удобнее найти, решив систему неравенств:
у
Рис.18 0 х1 2 3 х2 5 х
Ответ: (1;3)
Пример 8.При каких значениях параметра а один корень уравнения ах4 – (а — 3)х2 + 3а = 0 меньше –2, три остальных больше –1?
Решение. Пусть х2 = t. Исходя из требований, предъявляемых к корням исходного уравнения, достаточно решить следующую задачу: при каких значениях а один корень уравнения at2 – (a — 3)t + 3a = 0 больше 4, другой меньше 1, но не меньше 0? Очевидно а ¹ 0, D > 0. Представим уравнение в виде:
.
Его корни будут удовлетворять указанным выше условиям, если f(1) 0. Поскольку f(0) = 3, то достаточно решить систему
Решением уравнения является . Ответ: .
Пример 9.Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения
(2 — а)х2 – 3ах + 2а = 0 больше .
Решение. Введем обозначения f(x) = (2 — a)x2 – 3ax + 2a, ;
Если а = 2, то . для случая а ≠ 2, чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена f(x), оба корня которого больше .
(к рис.19) (к рис.20)
(к рис.21) (к рис.22)
Объединяя эти условия, получим систему:
Ответ: .
Пример 10. Найти все значения а, при которых уравнение cos8x + sin8x = a имеет корни, и решить это уравнение.
Решение. Используя равенства cos8x + sin8x = (cos4x – sin4x)2 + 2cos4x×sin4x = cos22x + и полагая cos 4x = t, преобразуем исходное уравнение к виду t2 + 14t + 17 – 32a = 0. Задача сводится к нахождению тех значений а при которых последнее уравнение имеет действительные корни такие, что хотя один из них удовлетворяет условию . Имеем дискриминант уравнения:
и неравенство D1 ³ 0 выполняется при а ³ -1. находим корни t1 и t2 уравнения :
; .
Заметим, что t1 1.
Первый случай реализуется неравенством D = -4a + 5
Задачи с параметром. Взаимное расположение корней квадратного уравнения
Разделы: Математика
I. Рассмотрим задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
№ | Условия на корни |
1 | x1 A, x2 > A
|
4 | A B A B
|
Во многих случаях нахождение корней уравнения и решение иррациональных неравенств приводит к громоздким преобразованиям.
В то же время использование свойств квадратичной функции позволяет существенно упростить решение, свести его к решению рациональных неравенств.
В математике, пожалуй, самое интересное – это задачи. Вместе с тем это и самое трудное. «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано. Научиться ему можно, подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» (Д. Пойа)
II. Основное внимание – наглядности – график квадратного трехчлена
Обоснование утверждений существенно опирается на чертеж. Логичен и оправдан переход:
1) Вербальная модель (словесное описание задачи)
2) Геометрическая модель, соответствующая условиям задачи (график квадратного трехчлена)
3) Аналитическая модель (описание геометрической модели системой неравенств)
III. Решение задач
№ 1. При каких m уравнение x 2 – (2m + 1)x + 3m – 4 = 0 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2?
1) Рассмотрим функцию f(x) = x 2 – (2m + 1)x + 3m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.о. получаем неравенство:
Ответ: при m > – 2 уравнение имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2.
№ 2. При каких m уравнение mx 2 + (3m – 2)x + m – 3 = 0 имеет корни разных знаков?
1) m = 0 – контрольное значение параметра.
При m = 0 данное уравнение примет вид: – 2х – 3 = 0
х = – 1,5, что не удовлетворяет условиям задачи.
2) При m =/= 0 рассмотрим уравнение в виде .
3) Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
1) Рассмотрим функцию f(x) = x 2 – 3(m + 1)x + 12m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Расшифруем эти условия:
7) Т.о. получаем смешанную систему: U
8) Объединяя полученные значения параметра, получим ответ.
Ответ: при квадратный трехчлен имеет только один корень больше 3.
№ 4 Определить все значения действительного параметра а, при которых корни квадратного трехчлена ax 2 + ax + 1 различны и лежат на [0; 2].
1) Рассмотрим функцию f(x) = ax 2 + ax + 1. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2) Т.к. 0 0; 2) f(0) > 0; 3) f(2) > 0; 4) 0 2 2 + ax + 1 различны и лежат на [0; 2].
№ 5 При каких m уравнение (m + 1) x 2 – 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных корня одного знака?
Решение (1 способ)
1) m = – 1 – контрольное значение параметра.
При m = – 1 данное уравнение примет вид: 2х – 4 = 0
х = 2, что не удовлетворяет условиям задачи.
2) При m =/= – 1 рассмотрим уравнение в виде .
3) Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.к. x1 0; x2 > 0, то придется построить две геометрические модели, соответствующие условиям задачи.
Практически придется решить две задачи и объединить полученные значения параметра. Очень большой объем работы.
Решение (2 способ)
1) – 2) – аналогично (см. 1 способ)
3) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D > 0.
4) Расшифруем эти условия:
Согласно теореме Виета, x1 · x2 = .
5) Т.о. получаем систему неравенств:
Ответ: при уравнение (m + 1) x 2 – 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных корня одного знака.
О расположении корней квадратного трехчлена, коэффициенты которого зависят от параметра.
При решении таких задач удобнее всего использовать геометрическую модель, соответствующую условию задачи, и выполнить аналитическое описание этой модели.
x1 и x2 – корни многочлена f(x) = ax 2 + bx + c (a 0), D = b 2 – 4ac,
http://pandia.ru/text/80/021/8612.php
http://urok.1sept.ru/articles/642395