Расположение прямых в пространстве по уравнениям

Прямая в пространстве – необходимые сведения

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

• через две точки можно провести единственную прямую;
• если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вы будете перенаправлены на Автор24

Разновидности уравнений прямой

Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_ <0>\left(x_ <0>,y_ <0>,z_ <0>\right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$, которому она параллельна. Уравнения $\frac > =\frac > =\frac >

$ называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac > =t$, $\frac > =t$, $\frac >

=t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_ <0>+m\cdot t$, $y=y_ <0>+n\cdot t$, $z=z_ <0>+p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$ и $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$. Уравнения $\frac > -x_ <1>> =\frac > -y_ <1>> =\frac > -z_ <1>> $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_ <1>\cdot x+B_ <1>\cdot y+C_ <1>\cdot z+D_ <1>=0$ и $A_ <2>\cdot x+B_ <2>\cdot y+C_ <2>\cdot z+D_ <2>=0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.

Переход между различными видами уравнений прямой

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.

От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac > =\frac >

$ и $\frac > =\frac >

$ и выполним преобразования.

Готовые работы на аналогичную тему

Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_ <0>+m\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_ <0>+n\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:

• Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
• Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
• Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.

Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.

Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.

Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$: $\frac > > =\frac > > =\frac > > $ и $\frac > > =\frac > > =\frac > > $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.

Углом между прямыми $L_ <1>$ и $L_ <2>$ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.

Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ и $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac \cdot m_ <2>+n_ <1>\cdot n_ <2>+p_ <1>\cdot p_ <2>><\sqrt^ <2>+n_<1>^ <2>+p_<1>^ <2>> \cdot \sqrt^ <2>+n_<2>^ <2>+p_<2>^ <2>> > $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi$

Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_ <1>\cdot m_ <2>+n_ <1>\cdot n_ <2>+p_ <1>\cdot p_ <2>=0$.

Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac > > =\frac > > =\frac > >$.

Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.

Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_ <1>$ проходит через точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, а прямая $L_ <2>$ — через точку $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$.

Рассмотрим вектор $\overline M_ <2>>=\left(x_ <2>-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y_ <2>-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z_ <2>-z_ <1>\right)\cdot \overline$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ и $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$ прямых $L_ <1>$ и $L_ <2>$.

Если прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline M_ <2>>$. Направляющий вектор $\overline >$ коллинеарен прямой $L_ <1>$, а направляющий вектор $\overline >$ коллинеарен прямой $L_ <2>$. Итак, все три вектора $\overline M_ <2>>$, $\overline >$ и $\overline >$ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $\left|\begin -x_ <1>> & -y_ <1>> & -z_ <1>> \\ > & > & > \\ > & > & > \end\right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.

Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:

$L_2: \begin x-y-z+1 =0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \\ \end$

Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = \<1;3;-2\>$.

Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1 × n_1 = \begin <|ccc|>i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end = — i – 3j + 2k$

В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.

Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.

В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.

Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.

Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $M\left(x,y,z\right)$.

Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin > & > & > \\ -x_ <1>> & -y_ <1>> & -z_ <1>> \\ & &

\end\right|=0$ следующих трех векторов:

1. $\overline M>=\left(x-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежещей прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
2. $\overline M_ <2>>=\left(x_ <2>-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y_ <2>-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z_ <2>-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <1>$, с точкой $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <2>$.
3. $\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.

Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin > & > & > \\ > & > & > \\ > & > & > \end\right|=0$ следующих трех векторов:

1. $\overline M>=\left(x-x_ <1>\right)\cdot \overline+\left(y-y_ <1>\right)\cdot \overline+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежащую прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
2. $\overline >=m_ <1>\cdot \overline+n_ <1>\cdot \overline+p_ <1>\cdot \overline$ — направляющий вектор прямой $L_ <1>$, параллельный плоскости $P$.
3. $\overline >=m_ <2>\cdot \overline+n_ <2>\cdot \overline+p_ <2>\cdot \overline$ — направляющий вектор прямой $L_ <2>$, параллельный плоскости $P$.