Рассчитать цепь методом узловых и контурных уравнений

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом узловых и контурных уравнений.

Этот принцип основан на первом и втором законе Кирхгофа. Он не требует преобразования схемы.

Порядок расчёта:

1. Произвольно задаёмся направлением токов в ветвях.

Важно! При выборе направления токов в ветвях, необходимо выполнения двух условий:
1. Ток должен вытекать из узла через одну или несколько других ветвей;
2. Хотя бы один ток должен входить в узел.

Красным выделены изменения после первого действия

Синим выделены изменения после третьего пункта

2. Используя первый закон Кирхгофа составим уравнения для (n-1) узлов схемы. Где n – число узлов. То есть для схемы с четырьмя узлами, составляем три уравнения. Для этого:

1. Обозначаем узлы буквами.
2. Берём один конкретный узел (Например узел А) и смотрим как направлены токи в ветвях образующих узел. Если ток направлен в узел, то записываем его со знаком плюс, если из него то со знаком минус.
   0=I1-I4-I6 (Полученное уравнение)
3. Повторяем пункт B ещё для двух узлов.
   0=-I3+I4+I5(Узел В)
   0=I3-I1-I2(Узел D)

3. Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для каждого контура схемы. Для этого произвольно зададимся направлением обхода контура (по часовой или против часовой). Для контура ABDA направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

3.1 Смотрим, как направлена ЭДС относительно обхода контура. Если направление обхода контура совпадает, то значение ЭДС записываем со знаком плюс (в левой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в левой части уравнения)

3.2 Смотрим, как направлено падение напряжения на сопротивлении контура.(То есть смотрим как направлены токи, только записываем в уравнение произведение тока на сопротивление через которое ток протекает в данном контуре). Если направление обхода контура совпадает, то падение напряжения записываем со знаком плюс (в правой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в правой части уравнения)

3.3 Произвести действия 3.1 и 3.2 для остальных контуров. У вас должна получится система из n уравнений, где n — количество контуров в цепи.

Контур ABDA E1=I1*(R1+R01)+I4*R4+I3*R3

Контур BCDB E2=I2*(R2+R02)+I3*R3+I5*R5

Контур ABCA 0=I6*R6-I4*R4+I5*R5

4. Решаем полученную систему уравнений и находим величины токов во всех ветвях.

Уберём лишние токи из системы используя уравнения полученные во втором пункте поскольку у нас три уравнения поэтому мы оставляем только три любых тока. Для данного примера я рекомендую оставить токи I1 I2 I4.

Выражаем из трёх уравнений токи I3 I5 I6 через токи I1 I2 I4.

I3=I1+I2(Узел D)

I5=I3-I4(Узел В)

I5=I3-I4(Узел В) В этом уравнении сразу не получилось выразить I5 через токи I1 I2 I4, поэтому вместо тока I3 подставим уравнение для узла D и получим:

Заменим токи I3 I5 I6 и получим уравнения с тремя токами :

Раскрываем скобки подставляем значения сопротивлений из условия и получаем например вот такие три уравнения:

40 = 71*I1 + 24*I2 + 14*I4

20 = 55*I1 + 93*I2 — 61*I4

0 = 60*I1 + 16*I2 — 81*I4

Если при решении системы ток получается отрицательным (со знаком —), значит его действительное направление противоположно тому направлению которое мы задали в первом действии.

Правильность решения можно проверить с помощью баланса мощностей.

Метод узловых и контурных уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных и узловых уравнений

Метод узловых и контурных уравнений — самый простой метод расчета электрической цепи, который основан на составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа звучит следующим образом: алгебраическая сумма токов в ветвях цепи, которые сходятся в каждом узле, равна нулю. При этом ток, направленный к узлу считается положительным, а направленный от него отрицательным. Сумма токов, которые направлены к узлу цепи равняется сумме токов, направленных от него. Таким образом получается, что в узел втекает столько же тока, сколько и вытекает из него (правило фундаментального закона сохранения заряда.

Второй закон Кирхгофа гласит — алгебраическая сумма напряжений на резистивных составляющих замкнутого контура цепи равняется сумме электродвижущих сил в составе данного контура. В том случае, когда источник электродвижущей силы отсутствует в контуре, суммарное падение напряжений равно нулю.

Порядок расчета электрической цепи методом узловых и контурных уравнений выглядит следующим образом:

1. Определяют количество неизвестных токов (количество ветвей цепи равняется число токов в ней).
2. Произвольно выбираются направление определенных токов и обозначаются на рассматриваемой схеме.
3. Составляется система уравнений согласно первому закону Кирхгофа, количество которых на единицу меньше количества узлов в рассматриваемой схеме.
4. Составляются недостающие, до общего количества, уравнения по второму закону Кирхгофа. Направления обхода тока, как правило, выбираются одинаковыми.
5. Определяются неизвестные токи, после чего решается получившаяся система уравнений. В том случае, когда рассчитанный (определенный) ток имеет отрицательную величину, это значит, что его направление противоположно направлению, которое было выбрано в пункте 2.
6. Осуществляется проверка посредством составления баланса мощностей или расчет рассматриваемой цепи производится другим методом.

Готовые работы на аналогичную тему

Баланс мощностей электрической цепи — это суммарная генерируемая источниками электроэнергии мощность, равная сумме мощностей, которые потребляются в цепи.

Примеры расчета методом узловых и контурных уравнений

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже

Рисунок 1. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Допустим, что E1 = 50 В; Е2 = 30 В; Е3=3 В; R1 = 100 Ом; R2 = 50 Ом; R3 = 8 Ом; r03 = 0,5 Ом; r01 = r02 = 0 Ом. Нам необходимо рассчитать все токи цепи.

Решение задачи следует начинать с определения количества неизвестных токов и выбора их направления. В каждом неразветвленном участке цепи (ветвь) электрический ток одно и тоже значение от его начала и до конца. К узловым точкам (А и Б) присоединены три ветви:

1. БВГА с током I1
2. БА с током I2
3. БДЖА с током I3

Таким образом количество разных токов равняется количеству ветвей рассматриваемой цепи. Направление токов выбирается произвольно и при них составляются уравнения. После чего они решаются и определяются их истинные направления (по алгебраическим знакам). В рассматриваемой задаче три неизвестны — I1, I2, I3, для них и составляется система уравнения по законам Кирхгофа. Уравнения на основе первого закона более простые, поэтому следует начинать с них. Известно, что для электрической цепи с n узлами можно составить n-1 независимых уравнений. Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А будет выглядеть следующим образом:

Уравнения, которых не хватает составляются по второму закону Кирхгофа. Для этого выбираем контуры БАЖДБ и ВГЖДВ. Принимаем, что обход контуров цепи осуществляется по часовой стрелке и учитывая правила знаков получаем следующие уравнения:

Подставив численные значения в третьем уравнение получаем:

$I1*(100+0) – I3*(8+0,5) = 50-30$

Таким образом вычисление токов сводится к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Рассчитаем I2 из уравнения и подставим значение в уравнение:

$-50*(I1+I3) – 8,5*I3 = 27$

Приводя подобные числа получим:

В результате у нас получилось два уравнения с двумя неизвестными (I1, I3). Уравнение (-50I1-58,5I3 = 27) умножается на два, в результате чего получается:

$-100*I1- 117*I3 = 54$ Получившееся уравнение складывается с уравнение (100I1-8,5I3 = 20):

$I3 = — (64/125,5) =- 0,5 A$

Теперь подставляем получившееся значение I3 в уравнение, где неизвестно I1:

$I1 = -24,5/-100 = 0,245A$

Теперь получившиеся значения подставляются в первое уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:

$I2 = 0,245+0,5 = 0,745A$

Проверка результата осуществляет при помощи составления баланса мощностей или решения задачи другим способом.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 08 2021

Эксперт по предмету «Электроника, электротехника, радиотехника» , преподавательский стаж — 5 лет

Метод узловых и контурных уравнений

Метод узловых и контурных уравнений:

Метод узловых и контурных уравнений для расчета сложных электрических цепей подразумевает составление системы уравнений по законам Кирхгофа. При составлении системы уравнение должно учитываться следующее.

1. Число уравнений равно числу токов в цепи (число токов par но числу ветвей в рассчитываемой цепи). Направление токов ветвях выбирается произвольно.
2. По первому закону Кирхгофа составляется (
3. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

В результате решения системы уравнений определяются искомые величины для сложной электрической цепи (например, все-таки при заданных значениях ЭДС источников Е и сопротивлений резисторов). Если в результате расчета какие-либо токи полу чаются отрицательными, это указывает на то, что их направление противоположно выбранному.

Пример 4.9

Составить необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа для определения всех токов в цеп (рис. 4.12) методом узловых и контурный уравнений.

Решение

В рассматриваемой сложной цепи имеется 5 ветвей, следовательно, 5 различных токов, поэтому для расчета необходимо составить 5 уравнений, причем 2 уравнения — по первому закон Кирхгофа (в цепи n = 3 узловых точки А, В и Q и 3 уравнения -по второму закону Кирхгофа (внутренним сопротивлением источников пренебрегаем, т.е.

Обход по часовой стрелке.

Пример 4.10

Определить токи в примере 4.7 методом узловых и контурных нений (схема рис. 4.10) при тех же заданных условиях.

Решение

При выбранном в схеме рис. 4.10 направлении токов составим необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа:

В уравнение (2) подставляются значения тока из уравнения и числовые значения заданных величин. Тогда уравнения (2) и будут выглядеть так:

Для сокращения тока при суммировании уравнений (2) и (3) числовые значения уравнения (3) умножаются на 2 (два).

Откуда

Из уравнения (3):

И из уравнения (1):

Очевидно, что полученный результат совпадает с результатом, полученным методом узлового напряжения.

• Метод эквивалентного генератора
• Теоремы теории цепей
• Теорема обратимости (или взаимности)
• Теорема компенсации
• Метод контурных токов
• Метод свертывания электрической цепи
• Метод преобразования схем электрических цепей
• Параллельное соединение генераторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.