Расстояние между центрами окружностей заданных уравнениями

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Найти расстояние между центрами окружностей заданных уравнениями

Расстояние между окружностями заданными уравнениями

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Уравнение окружности на координатной плоскости

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Расстояние между двумя точками онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между двумя точками на прямой

Пусть заданы на оси OX точки A с координатой x_a и B с координатой x_b (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.

Расстояние между точками A и В равно:

Поскольку расстояние от O до В равна x_b, а расстояние от O до A равна x_a, получим:

На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:

На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.

B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Координаты точек A и B отрицательны. Тогда , то (5) можно записать так:

Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).

Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:

Пример 1. на оси Ox заданы точки \( \small A(x_a)=A(-4) \) и \( \small B(x_b)=B(7) \) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a), а B имеет координаты (x_b,y_b) (Рис.4).

Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:

ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:

Тогда, учитывая (8), получим:

Пример 2. На плоскости, в декартовой прямоугольной системе координат XOY заданы точки \( \small A(x_a; \ y_a)=A(-6;3) \) и \( \small B(x_b, \ y_b)=B(11,-4). \) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:

,

.

Ответ: .

Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a,z_a), а B имеет координаты (x_b,y_b,z_b) (Рис.5).

AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:

Из предыдующего параграфа следует, что:

Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:

Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки \( \small A(x_a; \ y_a ;\ z_a)=A(5;1;0) \) и \( \small B(x_b, \ y_b, \ z_b)=B(-8,-4;21). \) Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:

,

.

Ответ: .

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, источники: http://b4.cooksy.ru/articles/nayti-rasstoyanie-mezhdu-tsentrami-okruzhnostey-zadannyh-uravneniyami http://www.resolventa.ru/demo/him/demohim.htm Вам также может понравиться Показательные уравнения с модулем примеры решения Уравнения с модулем Что такое уравнение с модулем Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая Напишите уравнения реакций лития с кислородом серой водой Напишите уравнения реакций: а) лития с кислородом Ваш ответ решение вопроса Похожие вопросы Все категории Построение графика в эксель по уравнению Строим график функции, заданный системой уравнений, в EXCEL history 8 января 2018 г. Группы статей Контрольные Назовите основное уравнение молекулярно кинетической теории газов Основное уравнение МКТ идеального газа теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы Идеальный