ГДЗ дидактические материалы по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Рабинович Вентана-Граф Задание: Вариант 2
1. Решите уравнение:
2. Запишите в стандартном виде число:
3. Представьте в виде степени с основанием a выражение:
4. Упростите выражение 0,2a^8b^(-10)*1,7a^(-6)b^12.
5. Найдите значение выражения:
6. Преобразуйте выражение (-2/3a^(-4)b^(-8))^(-2)*(3a^2b^12)^(-3) так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
7. Вычислите:
8. Решите графически уравнение 6/x=5-x.
9. Порядок числа x равен -3, а порядок числа y равен 2. Каким может быть порядок значения выражения:
Рациональные уравнения с примерами решения
Содержание:
Рациональные уравнения. Равносильные уравнения
два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.
Так, например, равносильными будут уравнения
Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.
Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.
1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.
Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.
В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.
Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.
Применение условия равенства дроби нулю
Напомним, что когда
Пример №202
Решите уравнение
Решение:
С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:
Окончательно получим уравнение:
Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.
Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.
Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:
Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:
1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду
2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;
3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.
Использование основного свойства пропорции
Если то где
Пример №203
Решите уравнение
Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.
Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:
По основному свойству пропорции имеем:
Решим это уравнение:
откуда
Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.
Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:
Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:
1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;
2) привести уравнение к виду
3) записать целое уравнение и решить его;
4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.
Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей
Пример №204
Решите уравнение
Решение:
Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:
Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение
Умножим обе части уравнения на это выражение:
Получим: а после упрощения: то есть откуда или
Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.
Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.
Решая дробное рациональное уравнение, можно:
3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;
4) решить полученное целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.
Пример №205
Являются ли равносильными уравнения
Решение:
Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.
Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Степень с целым показателем
Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:
где — натуральное число,
В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи
Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно
В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:
Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что
Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при
Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.
Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:
если натуральное число, то
Контрольная работа № 3 по теме «Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y=k/x и её график» (8 класс, Мерзляк А.Г. и др.)
Даны четыре варианта контрольной работы, удобно вносить изменения и печатать.
Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа № 3 по теме «Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y=k/x и её график» (8 класс, Мерзляк А.Г. и др.)»
Контрольная работа № 3 по теме «Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция и ее график»»
1. Решите уравнение:
1)
2. Запишите в стандартном виде число:
1) 324000; 2) 0,0042.
3. Представьте в виде степени с основанием а выражение:
1)
4. Упростите выражение
5. Найдите значение выражения:
1)
6. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
1)
8. Решите графически уравнение
9. Порядок числа а равен –4, а порядок числа b равен 5. Каким может быть порядок значения выражения:
1. Решите уравнение:
1)
2. Запишите в стандартном виде число:
1) 275000; 2) 0,0028.
3. Представьте в виде степени с основанием b выражение:
1)
4. Упростите выражение
5. Найдите значение выражения:
1)
6. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
1)
8. Решите графически уравнение
9. Порядок числа m равен –2, а порядок числа n равен 3. Каким может быть порядок значения выражения:
1. Решите уравнение:
1)
2. Запишите в стандартном виде число:
1) 419000; 2) 0,0051.
3. Представьте в виде степени с основанием c выражение:
1)
4. Упростите выражение
5. Найдите значение выражения:
1)
6. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
1)
8. Решите графически уравнение
9. Порядок числа b равен 6, а порядок числа c равен 5. Каким может быть порядок значения выражения:
1. Решите уравнение:
1)
2. Запишите в стандартном виде число:
1) 563000; 2) 0,0074.
3. Представьте в виде степени с основанием m выражение:
1)
4. Упростите выражение
5. Найдите значение выражения:
6. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
8. Решите графически уравнение
9. Порядок числа а равен 4, а порядок числа b равен –3. Каким может быть порядок значения выражения:
http://www.evkova.org/ratsionalnyie-uravneniya
http://multiurok.ru/files/kontrolnaia-rabota-po-teme-ratsionalnye-uravneniia.html