Рациональные и иррациональные уравнения конспект

Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока : « Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем ».

закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;

Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;

формировать приемы логического мышления;

развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

развивать коммуникативные умения;

развивать интерес к предмету.

воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков .

Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.

презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО . Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

чертежные принадлежности, тетради студентов.

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания ( фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях ) .

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения» . Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:

4) В следующих случаях восстановите запись:

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление материала : (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А ₁ (х)А ₂ (х)А ₃ (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А ₁ (х)=0,А ₂ (х)=0,А ₃ (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).

Уравнение распадается на два уравнения.

Значит, уравнение исходное имеет корни х ₁ = 2, х ₂ = 3, х ₃ = -2, х ₄ =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2 . Решим уравнение х 3 -7х+6=0.

Сначала решим уравнение

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х ₂ 2 — х ₂ — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х ₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х ₂ =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.

х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

Число х ₁ не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х ₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.

Число х ₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х 4 + 4х 2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х 4 += t 2 -2 ,

получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х ₁ = 2 и х ₂ = -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).

Конспект урока по теме «Рациональные и иррациональные уравнения»

В данном материале размещен конспект урока по закреплению темы «Ирациональные и рациональные уравнения», а также практическая работа по данной теме

Андреева Анна Викторовна , 14.11.2018

Содержимое разработки

Тема урока : Решение рациональных и иррациональных уравнений.

Цель: повторить и обобщить умения учащихся решать рациональные и иррациональные уравнения и проверить эти умения с помощью практической работы.

Формирование умения и навыков решения рациональных и иррациональных уравнений.

Применение ЗУН упрощения рациональных и иррациональных выражений.

Контроль уровня усвоения знаний и умений решения рациональных и иррациональных уравнений, приведения подобных слагаемых, приведения к общему знаменателю, вычислительных навыков.

Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале.

Формирование умений сравнивать, классифицировать, обобщать факты и понятия.

Формировать умение пользоваться алгоритмом.

Развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и в учебной деятельности.

Развитие у учащихся познавательного интереса, внимания, математической зоркости.

Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Воспитывать чувство коллективизма, сопереживания за группу, товарища.

Приветствие. Выявление отсутствующих.

2. Постановка темы и целей урока

Посмотрите на доску (на доске уравнения )

— Что здесь записано?

— Какие виды уравнений вы умеете решать?

Среди перечисленных уравнений уберите квадратные уравнения.

Рассмотрите оставшиеся уравнения. Что представляет собой левая и правая части уравнений? + выражения

— уравнения, в которых левая и правая часть является рациональным выражением называются рациональными уравнениями.

-Рациональные выражения. Какими бывают они?

+ Целыми и дробными

— Как вы думаете, как будут называться уравнения, где левая и правая части являются целыми выражениями?

— Чем будем заниматься сегодня?

— Назовите тему сегодняшнего урока и поставьте цели на урок

— Как говорил один ученый «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

3. Изучение нового материала

Так как умеем решать целые уравнения, рассмотрим способ его решения.

Решить уравнение. (Один у доски)

— Всегда ли оно имеет смысл? + да, т.к. нет деления на переменную

3х-3+4х-5х=0 2х-3=0 2х=3 х=1,5

— Как его решали? Составим алгоритм решения. (Около каждого момента – карточка с пунктом алгоритма)

Умножить обе части уравнения на ОЗ

Решить получившееся уравнение

— Как можно решить дробное рациональное уравнение?

+ по тому же плану

Решить уравнение

— Всегда ли оно имеет смысл?

+ Когда знаменатель равен нулю.

— Какой знаменатель общий или отдельно для каждой дроби?

Решаем уравнение у доски

Когда нашли общий знаменатель, определить, при каких значениях переменной уравнение не имеет смысла

Подробный алгоритм решения рационального уравнения.

1. Разложить знаменатель каждой дроби, входящей в уравнение, на множители. Найти общий знаменатель дробей.

2. Найти значения переменной, при которой дроби, входящие в уравнение имеют смысл

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель

4. Решить получившееся целое уравнение

5. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Совместная работа учителя, с учащимися.

1) Работа в парах, затем одна пара решает у доски

Ответы: 1) x=4; 2) нет решения; 3) x=4; 4) x=86.

2) Докажите, что уравнения не имеют корней1) 2)

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, уравнение называют иррациональным.

Учитель. Такие уравнения встречаются в ЕГЭ, посмотрите у вас на столе лежат ксерокопии тестов и найдите там иррациональное уравнение.

Уметь решать иррациональные уравнения- значит, уметь избавиться от входящих в них радикалов, т.е. сводить их к уравнениям, радикалов не содержащих.

Ведем обе части в квадрат.

4x 2 -9x+2=x 2 -4x+4

x₁=2, x₂=

проверка: x=2- корень уравнения, x=— посторонний корень.

Учитель: Итак, иррациональные решают методом возведения обеих частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Решить уравнение:

Уравнения вида и называют простейшими иррациональными уравнениями.

Решить уравнение по вариантам. С каждого варианта у доски.

1)

2)

4. Закрепление изученного материала.

1. Решить уравнения. Самостоятельно

Найти значения переменной х, при которых дробь равна дроби

Проверить на доске по готовому решению. В случае ошибки подробный разбор.

Работа с уравнениями по уровням. решение у доски.

1) 2) 3)

5. Практическая работа: а теперь по данной теме выполните практическую работу.

Практическая работа №74 «Решение иррациональных уравнений»

Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «иррациональные уравнения». Закрепить умения использовать полученные знания для решения уравнений

Теоретические сведения к практической работе:

Для решения рационального уравнения используем последовательно знания следующих свойств:

Стандартные приемы: раскрытие скобок.

Методы решения уравнений: введение новой переменной.

Правила преобразования уравнений.

Решение квадратного уравнения.

Уравнение, которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0, называется дробно рациональным уравнением. Если уравнение имеет несколько слагаемых, то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1) «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Задания для самостоятельного решения:

A )

B)

C)

D)

E)

1. В какой последовательности решают рациональные уравнения?

2. Какие уравнения называются иррациональными?

3. Какие приемы используют для решения иррациональных уравнений?

F )

Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Просмотр содержимого документа
«Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений»

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

информационно-коммуникационные: электронная презентация.

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

владение умением решать задачи на рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений;

умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

умение рационально распределять рабочее время;

умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

владение навыками познавательной рефлексии;

умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

умение структурировать полученную информацию;

умение анализировать и обобщать информацию;

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: рациональные уравнения, иррациональные уравнения, рациональные системы уравнения, иррациональные системы уравнения.

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

Что такое рациональное уравнение?

Что такое иррациональное уравнение?

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.

Рациональным уравнением с двумя переменными 𝑥 и 𝑦 называют

уравнение вида 𝑔(𝑥,𝑦)=0, где 𝑔(𝑥,𝑦) — рациональное выражение.

Примеры рациональных уравнений с двумя переменными 𝑥 и 𝑦.

Решением уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 называют такую пару чисел (𝑥;𝑦),

которая обращает равенство 𝑔(𝑥,𝑦)=0 в верное числовое равенство.

Если поставлена задача найти пары чисел (𝑥;𝑦), которые одновременно удовлетворяют уравнению 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и уравнению 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0, то говорят, что уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0 образуют систему уравнений:

Пару значений (𝑥;𝑦), которая одновременно является решением и первого, и второго

уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что решений нет.

a) Пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, т. к.

обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

б) Пара чисел (2;8) не является решением системы уравнений, т. к.

только первое уравнение системы обращает в верное числовое равенство.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень 𝑛 обеих частей уравнения.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;

2. если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;

3. при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.

Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Среди рациональных уравнений

5(𝑡+6)=4𝑡−7 является целым уравнением,

а , — дробные рациональные уравнения.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:

— перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
— привести дроби к общему знаменателю;
— заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

— решить получившееся целое уравнение;

— исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1) решить уравнение .
Решение. Умножим обе части уравнения на знаменатель и

решим линейное уравнение:

Ответ: 𝑢=2.

2) Решить уравнение .
Решение. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю,

а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем

Поскольку при 𝑥=−3,5 знаменатель не обращается в нуль, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥=−3,5.

Пример иррациональных уравнений:

1. решить уравнение .

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

2. Решить уравнение .

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: −5 и 5.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной 𝑥 в исходное уравнение.

Проверка
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: −5 и 5.

3. Решить уравнение .

Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.

Решение: возведём обе части уравнения в куб:

Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

Какая была тема сегодняшнего занятия?

Что нового вы узнали?

Какая была цель занятия?

Что получилось у вас сегодня?

Что не получилось?

Достигли ли мы поставленной цели?

Инструктирование о выполнении домашнего задания