Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
(Раздел «Уравнения и неравенства»)
ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Просмотр содержимого документа
«Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений»
(Раздел «Уравнения и неравенства»)
ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения
Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11
Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика
Тема учебного занятия: Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений.
Тип урока: урок «открытия» новых знаний
Вид урока: лекция-беседа
технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;
информационно-коммуникационные: электронная презентация.
методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;
образовательная: создание условий для овладения знаниями о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;
развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;
воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.
сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;
владение умением решать задачи на рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений;
умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;
умение рационально распределять рабочее время;
умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;
владение навыками познавательной рефлексии;
умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;
умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;
умение структурировать полученную информацию;
умение анализировать и обобщать информацию;
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;
умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.
Образовательные технологии: традиционное обучение.
Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.
Методы обучения и контроля:
практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.
методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.
Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.
Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.
Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.
Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru
Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru
Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.
Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.
Основные термины и понятия: рациональные уравнения, иррациональные уравнения, рациональные системы уравнения, иррациональные системы уравнения.
ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Содержание учебного материала:
1) Сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений.
2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.
Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)
Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.
Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)
Преподаватель задает вопросы студентам:
Что такое рациональное уравнение?
Что такое иррациональное уравнение?
Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.
Формулирование темы и целей учебного занятия.
Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)
Алгоритм работы над «открытием» нового знания:
Формулирование преподавателем определений рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.
Рациональным уравнением с двумя переменными 𝑥 и 𝑦 называют
уравнение вида 𝑔(𝑥,𝑦)=0, где 𝑔(𝑥,𝑦) — рациональное выражение.
Примеры рациональных уравнений с двумя переменными 𝑥 и 𝑦.
Решением уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 называют такую пару чисел (𝑥;𝑦),
которая обращает равенство 𝑔(𝑥,𝑦)=0 в верное числовое равенство.
Если поставлена задача найти пары чисел (𝑥;𝑦), которые одновременно удовлетворяют уравнению 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и уравнению 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0, то говорят, что уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0 образуют систему уравнений:
Пару значений (𝑥;𝑦), которая одновременно является решением и первого, и второго
уравнений системы, называют решением системы уравнений.
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что решений нет.
a) Пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, т. к.
обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
б) Пара чисел (2;8) не является решением системы уравнений, т. к.
только первое уравнение системы обращает в верное числовое равенство.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.
Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень 𝑛 обеих частей уравнения.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;
2. если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;
3. при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.
Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)
Среди рациональных уравнений
5(𝑡+6)=4𝑡−7 является целым уравнением,
а , — дробные рациональные уравнения.
Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:
— перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
— привести дроби к общему знаменателю;
— заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
— решить получившееся целое уравнение;
— исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1) решить уравнение .
Решение. Умножим обе части уравнения на знаменатель и
решим линейное уравнение:
Ответ: 𝑢=2.
2) Решить уравнение .
Решение. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю,
а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем
Поскольку при 𝑥=−3,5 знаменатель не обращается в нуль, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥=−3,5.
Пример иррациональных уравнений:
1. решить уравнение .
Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:
2. Решить уравнение .
Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: −5 и 5.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной 𝑥 в исходное уравнение.
Проверка
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: −5 и 5.
3. Решить уравнение .
Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.
Решение: возведём обе части уравнения в куб:
Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)
Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:
Какая была тема сегодняшнего занятия?
Что нового вы узнали?
Какая была цель занятия?
Что получилось у вас сегодня?
Что не получилось?
Достигли ли мы поставленной цели?
Инструктирование о выполнении домашнего задания
Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема урока : « Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем ».
закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;
Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;
формировать приемы логического мышления;
развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;
развивать коммуникативные умения;
развивать интерес к предмету.
воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;
эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.
Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.
Тип урока: урок совершенствования умений и навыков .
Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.
ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.
презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;
Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО . Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.
чертежные принадлежности, тетради студентов.
1.Актуализация ранее усвоенных знаний:
1.1. Проверка домашнего задания ( фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях ) .
1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения» . Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.
Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.
Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.
Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).
3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:
4) В следующих случаях восстановите запись:
5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)
6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).
2. Систематизация и закрепление материала : (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).
2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:
Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.
1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .
Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А 1 (х)А 2 (х)А 3 (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А 1 (х)=0,А 2 (х)=0,А 3 (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).
2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)
где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.
Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).
2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).
Уравнение распадается на два уравнения.
Значит, уравнение исходное имеет корни х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = -2, х 4 =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.
ПРИМЕР 2 . Решим уравнение х 3 -7х+6=0.
Сначала решим уравнение
Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим
х 2 2 — х 2 — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.
Это показывает, что число х 1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х 2 =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.
х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.
Число х 1 не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х 2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.
Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.
Число х 0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению
х 4 + 4х 2 — 10 + + =0
Обозначим t = ,тогда х 4 += t 2 -2 ,
получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х 1 = 2 и х 2 = -6.
Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,
Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.
2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).
http://100urokov.ru/predmety/urok-11-uravneniya-irracionalnye
http://infourok.ru/urok-reshenie-racionalnih-irracionalnih-uravneniy-i-sistem-3818773.html