Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем
- Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ
Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем
На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.
Уравнения могут быть следующих видов:
В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.
При решении уравнений нужно помнить основные термины:
— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;
— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;
— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;
— ОДЗ – область допустимых значений;
— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;
— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.
Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.
- Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.
Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.
Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.
Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.
Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:
— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;
— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);
— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.
При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.
Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:
На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.
Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.
Способы решения таких уравнений:
— Возвести в степень обе части уравнения;
— Ввести новые переменные;
Пример решения уравнения по первому способу:
Пример решения по второму способу:
- Показательные уравнения
Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.
В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.
Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).
— Уравнение с одним основанием;
— Уравнение с равными основаниями.
Существует следующие способы решения таких уравнений:
— Использовать метод логарифмов;
— Привести уравнение к квадратному виду;
— Вынести за скобку общий множитель;
— Ввести новую переменную.
Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.
Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:
Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.
Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.
Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.
Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.
Способы решения таких уравнений:
— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;
— Ввод других переменных;
— Разложить уравнение по множителям.
Пример решения тригонометрического уравнения:
Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.
Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.
Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.
2sinxcosx – sinx = 0.
sinx (2cosx – 1) = 0.
Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.
Далее, sinx=0, x=пk.
- Логарифмические уравнения
Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.
Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.
Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:
Способы решения уравнений данного вида:
— Применять способ уравнивания к единице;
— Применять способ умножать на единицу;
— Применять доступные правила логарифмов;
— Введение другого основания;
— Возвести в степень.
Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.
Пример решения уравнения:
Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.
Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.
Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.
Оставить Комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Выбери тему
Самые популярные записи
Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 293)- ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 238)
- Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 196)
- Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 189)
StudyWay
Помощь
© 2021 StudyWay. Все права защищены.
Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».
Записаться можно через Instagram
Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«
Что за курс и что тебя там будет ждать?
12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.
Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.
Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.
На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.
К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки
Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)
Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).
Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.
Доступ к уникальной «Академии косатиков».
Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.
Игровая система на нашей платформе StudyWay👇
За выполнение заданий получаешь баллы (XP).
При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.
Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов
Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».
Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.
Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным
Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.
Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.
Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.
Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.
Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема урока : « Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем ».
закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;
Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;
формировать приемы логического мышления;
развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;
развивать коммуникативные умения;
развивать интерес к предмету.
воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;
эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.
Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.
Тип урока: урок совершенствования умений и навыков .
Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.
ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.
презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;
Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО . Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.
чертежные принадлежности, тетради студентов.
1.Актуализация ранее усвоенных знаний:
1.1. Проверка домашнего задания ( фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях ) .
1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения» . Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.
Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.
Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.
Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).
3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:
4) В следующих случаях восстановите запись:
5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)
6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).
2. Систематизация и закрепление материала : (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).
2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:
Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.
1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .
Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А 1 (х)А 2 (х)А 3 (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А 1 (х)=0,А 2 (х)=0,А 3 (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).
2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)
где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.
Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).
2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).
Уравнение распадается на два уравнения.
Значит, уравнение исходное имеет корни х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = -2, х 4 =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.
ПРИМЕР 2 . Решим уравнение х 3 -7х+6=0.
Сначала решим уравнение
Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим
х 2 2 — х 2 — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.
Это показывает, что число х 1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х 2 =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.
х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.
Число х 1 не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х 2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.
Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.
Число х 0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению
х 4 + 4х 2 — 10 + + =0
Обозначим t = ,тогда х 4 += t 2 -2 ,
получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х 1 = 2 и х 2 = -6.
Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,
Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.
2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).
http://100urokov.ru/predmety/urok-11-uravneniya-irracionalnye
http://infourok.ru/urok-reshenie-racionalnih-irracionalnih-uravneniy-i-sistem-3818773.html