Алгебра 8 класс Задачник Мордкович часть 2
q + р’ 2.3. Сократите дробь: 15аЬ а) 12Ьс» 144ху. бЗуг ’ г) 13Ьр\^ 2bq^p 11 2.4. Сократите дробь: 4(а — Ь) 5(а — bf’ 13 + 4)^ . в) 26х(х + 4)’ 60n(2m — п)» ’ Найдите значение выражения: S
2^ _ 4д^2 переменные а и 6 заменить соответственно на ра и рЬ, то получим дробь, тождественно равную данной. Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при: ч 5,4 “ “ 113’ ^
113’ б) а = 65, Ь = 52. •2.48. Постройте график функции + 2х — 8 а) 1/ = х^ + 2 ,, х^ — 4х^ + 2х -8 о б) ы = ———————- — 2. ‘ ^ де — 4 18 § 3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Выполните сложение или вычитание алгебраических дробей: а Ь в) X У 5 5’ 12 12 6 Я. г) т , 3 9 — + Р Р п п 7а^ 9а\ в) 48р« 4х 4х* Ьп б) 3.3. а) б) б) 3.5. а) б) 3.6. а) б) б) X — У X . г) с d — с 14 14’ 25 25 ’ а Ь 6а а — 26. 6а ’ в) 2а — Ь а + 6. 126 126 ’ 19 — 10х Sx — 19. ’ г) 7т + 2л 7т — Зл л« л» 7р — 13 10/7 2р-3. Юр ’ в) Зх + 7у Зх — 4у, 24у 24у ’ Ь -7а 2аЬ Ь — а, 2аЬ ’ г) 2jc — Зс 1 2х + 5с 4сд: 4сд: а2 — 1 2а — 1 а» ’ в) 2-35» 5» — 2. Ь* 6^ ’ х^ -1- 2х — 3 . 3 — JC 2-Зу^ + у 2 + (/■ 2х^ 2х^ ’ г) Зр» Зр» а 1 . в) 6 + I/ . а — 2 а — 2’ 1/ + 7 1/ + 7’ с , 2 . г) m 8 с -1- 2 с + 2’ m — 8 m — 8’ 6 . 2р . в) 3g 12 . 3 + р 3 + р’ g — 4 g — 4’ а — 1 1 . 6 1 «/ + 1 а — 2 а — 2’ г) у + 7 у + 7’ 1» Выполните сложение или вычитание алгебраических дробей: 3.8. а) б) 3.9. а) б) оЗ.Ю. а) б) o3.ll. а) б) 7 2 . в) t 3 2-7 2-7’ 3 — t 3 — ‘ 1 2 • г) 6 + 2 t -2 2 — Г 5-2 ‘ 2-5’ У 5 . в) X 1 у + Ь -у — 5′ \ + X -д: — 1’ 2у у — 3 , г) Sx + 5 . 2jc у + 3 -у -3′ -jc — 5 X + 6’ 2т 1 2п . в) Sc 3d . т — п ‘ п — с + d -d — c’ б) 03.13. а) б) б) xy . r) pg 1 ЛГ2 + 1 Aft/ — y^ . + l . y^ — xy’ r) p2 — 2 — pg g2 — 2 pq — p^’ 2^ 64 . b) 100 (2 + 8f (2 + 8)2 ’ (t + 10)2 (t + loy 81jc2 r) 49c2 (9x — a) 2 (a — 9x)2 ’ (5 — 7c)2 (7c — 6)- 20 o3.15. Докажите тождество: . 2b^ +1 2(2b^ + 1) b^ +1 b^ +1
b^ +1 fi4 3c» + 4 _ 2(c» + 2) c» + 3 ^ , 2c» +3 2c» + 3 2c» + 3 3.16. a) Упростите выражение: лг» + 12л: . 36 . л:» — 36 л:» — 36’ л:» + I/» 2ху в) ^2 _ у2 — — у^’ б) л:» — I/» х» — I/» ’ J/» _ 4 1/2 _ 4 3.17. а) а» 6а — 9 а — 3 а — 3 ’ с» + 100 . 20с б) + с — 10 10 — с’ , 6″ . 106 + 25 -ьТ5-’ . d» + 49 , 14d г) ^ + 7 — d d -7′ 3.18. а) б) + п , п + 4 л» — 8 л» — 8’ х» + 2 1 + х» 1 + х» ’ в) Зтл ?л» + 9_________________. Л1* + 27 т» + 27’ Зу» — 1 у^ 8у» — 1 8у» — 1′ 3.19. Упростите выражение и найдите его значение: а» — 58 6 а) б) в) г) а — 8 а — 8 — 8с с — 4 с — 4 — 108 8 6 + 10 6 + 10 х^+2х 1 1 + л: 1 + л: при а = 12; + 37—7 при с = -3,5; при Ь = 3,5; при X — 4,1. 21 3.20. Упростите выражение и найдите его значение: а) -х^ + Ьх . 41a:=“ — 2х 1 1-6^ бд: — 1 — при X “ 28’ б) 8-771 при 771 = -3,5; +21 + 27 в) 4с^ — 8с 2с + 5с2 2. Зс — 2 2 — Зс при С = 9’ г) + 71 + 1 -4. п* — 8 8 — при 71 = Упростите выражение f\^2 1 3.21. а) б) б) б) 9^:=* — 4 (3JC — 2)(3д: + 2) ‘ 9х=“ — 4’ 25а» 10а 1 25а=’ — 1 (5а — 1)(5а + 1) 1 — 25а^’ lOOd^ 160d . 9 — lOOd . lOOd» — 9 (3 — lOdXlOd + 3) lOOd» — 9’ 49 56а + 33 49а^ 490=* — 16 (7а — 4)(-7а — 4) 16 — 49а» ■ лг2 — 3 5jc — 1 д: + 6 (X — 2У (X — 2)» (X — 2У Sm^ + Зттг — 2 5771 — 7 4771 — 9 4t71^ + 4т71 + 1 -4t71^ — 4t71 — 1 (1 + 2mf’ 2аЬ 6″ (а — bf — 2аЬ + (а — Ъ)(Ь — аУ 2ху <-X - УУ + 2ху + у'‘ (д: + у)(-х - у) 6 + 1 3.25. а) (3 - а)(2 - а) ^ (а - ЗХа - 2)’ (6 - 4)(5 - 6) (4 - 6)(5 - 6)’ 2 а - 4 22 3.26. Вместо символа * запишите такое выражение, чтобы получилось верное равенство: а) б) * 3fl
= -1; 2 — За 2 — За “ 2у + 6 2у + 6 5л: — 4 * _ о. г) 46-7 * = -3. д:-2 д:-2““’ 86 + 9 86 + 9 3.27. Докажите, что выражение — г 6х -1 д: -I- 6 (X — 2У (X — 2У (X — 2У при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения. ОООТТ 2 — 7 — Ьу 4: — у 3.28. Докажите, что выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицательные значения. 3.29. Докажите тождество: х^ + у^ Зху^ — у^ V о • у V О Sxy^ (Х — yf (у — Х)^ 2ху — х^ — у^ <х - yf * § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Выполните сложение или вычитание алгебраических дробей: 1 2 4 5 5. 6’ б)|- 7 . 32’ ч 4 6. 49 - 7’ г) У. 5’ б)|- 6. 6’ . т п г) 2х, 3 ’ 6 4’ V 6т т ^ - П’ г) 13 17 100 ^ 20’ ^___d 10 4’ т 6т 42 ^ 6 ’ 4.4. а) б) X - 1 . д: + 1 в) с + 5 2с + 9 3 — + 4 ’ 3 ^ 8 = а + 8 . а - 2 г) 3-2 32-5 9 — + 12 ’ 12 8 * 23 Вьшолните сложение или вычитание алгебраических дробей: а) Ь - 2 , 2/>+ 1 в) Ы — S 3s — / 4.5. 5 15 ’ 14 7 ’ б) Ь — 4q 6 2д + 6. 10 ’ г) 20 Р — 1 12 • 4.6. а) а 2. Ь а в) 3 _ «/ л: ’ б) п _ . 2т 3/1 ’ г) 2р . в) 32-8 52^ 2-1. г2 ’ б) 7р + 1 2р — 3, Зр 9р ’ г) 8 — 9^ 22t t + 4 lit ’ 4.10. а) 6х 2 . Зд:’ в) 3 б + 2а. 5а 13а ’ б) /1 + 4 /71-2 г) р + 4 ^ + 8 8/1 8/71 ’ 12р \2q ’ 04.11. а) Зс + bd 35cd с — 3d. 2 led ’ в) 4d + 7 14с/2 2d + 5. lOd^ ’ б) 9 — 2а 2а + 1 г) 2/71 + 3/1 /71 + 6/1 35а^ 15а^ ’ 21/71/1 15/71/1 24 Вьшолните сложение или вычитание алгебраических дробей: 4 . 4.12. а) — + а аЬ ху yt’ в) у yt г) ^ ^ PQ QS 4.13. а) а — Ъ _ а — с, аЬ ас -V 2т — п . Ьп — 2k б) в) ^ ^ ЛГ1/ 1/2 г) 32 + 2^ t + Ss zt St .2 ^ „2 д: (Ь + s)\ 4.14. a) — :c; ‘ X 6) 2s — b) З2 + l-9z\ З2 ’ 4.15. a) (2a + 1) — 8а== + 3. 4a ’ B) + (2 — 36); 6)^ +36 + 4; r)a-l+ 4.17. a) 6) 04.18. a) 6) 1 ^ д: — 2 b) m + 1 3/71 — 1. 2 ’ 2 ’ д:^ X m 5 10a -1. a 5a® ’ r) 1 + 81/ + i. у У — X у — ‘ 0 > xy b) a — 3b ab b + a, ^ ’ d + 9 d — 3. r) c + 4 c + 4 3d ’ 4c m + 2 n — 3, B) 1/ — 1 _ 2 + X. m^n mn^ ’ xy^ X^y 2^ + 3t 2-2. 32^ — У т — п т + а — 3 а + 2. а + 3 а — 2’ г) р + 2 /7 + 6 /7 + 1 /7 + 3’ с — d c + d . в) х+у х-у . 2d
2—-ГТТГ — а-Ь; аг — аЪ + в) ———- — гп^ — т — п — тп — п^; г) у2 +Х- у. А AQ ч — аЬ + + аЬ + 4.4о. а) ——-;—-+ а — Ъ а + Ь -V — 2тп + 4л^ . + 2тп + 4л^ о) —————н—————: т — 2п т + 2п 9х^ — Зху + 9х^ + Зху + в) Зх — у Зх + у , 4Р + Ш + 9k^ , 4/2 — 6lk + 9fe2 г) ———————+ 21 + Зк 21 — Зк 4.49. а) 1 — б) а® + 1 а + 1 ’ с 1 ^ 27 с2 + Зс + 9 с — 3 — 27 в) 1- г) 2d — 1 2d 4rf2 — 2d + 1 2d + 1’ 1 6 12 4.50. а) б) 6 + 2 62-26 + 4 6^+8 362+26 + 4 1-26 62-1 62+6 + 1 6-1’ а — 2 6а ^ 1 а2 + 2а + 4 а^ — 8 а — 2* 30 Упростите выражение: . V 2тп , 2т 4.51. а) ———г + т — п 2ху _ 2х ^ 1 х^ — х^ — у^ X + у’ б) 4.52. а) б) 2 + 1 <Ь - bf - 25 (Ь + 5f ’ 1 2 + 1 (2т - 5/1 25/1^ - 4/71^ (6п + 2т)^ Докажите тождество: ^ За(16 - За) 3(1 + 2а) 2 - 9а 1 4.5о. ——-----:— + 9а^ - 4 2 - За За + 2 За + 2 X + 2у X - 2у 2у^ 2у 4.54. ^2 ^ 2ху + у^ х^ - у^ ' (д: + у) (х^ - у^) х^ - у^ 4.55. 2^2 +52 25 - 102 422 _ 25 5^ Ы.56. ^ + ^ + ^ + ^ + 32 1 - а 1 + а 1 + а2 1 + а'^ 1 + а® 1 + а^® 1 - а^ §5. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. ВОЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ Выполните умножение и деление алгебраических дробей: . 13 . 65 64 ’ 128* .7т 3 т ■ й- 52 27’ 77 17. б) 12 . 18. в) 20 9 . 34 ■ 33’ 25 ’ 35’ 9 40’ бд: У. б) . 7 . в) 11с 5d. 19 5’ 4а 96’ 12 ‘ 13’ 5д: 6 : х; б) 25 12у • Уу в) 19^ 20 : t; 31 Упростите выражение: б) 4р q_, Я 2р’ 5.5. \ а .а. б) г) м г>2 ■ 36’ 5с 2d ISc^l d У . п»». 28 ■ 56’ 10 5.6. а) б) 5.7. а) б) 5.8. а) б) 5.9. а) бтх б) 151/3 _аЬ_ 2тх^ 25у\ 4х ’ 5.10. а) : 6:tV; 5.11. б) а) б) т 17a‘d‘ X — у 4 ■ Z4a4^\ 4а X — у’ а + Ь а + Ь 12л:® блг» в) 16 . 12. 55 • 5 ’ 5d» ■ d* ’ 4 У\ г) Збс’з 7 Зуз 18’ 49 6с‘3 *J/ аЧ» в) а^Ь с с» . а*Ь^’ /П^ . cd т^п. cd ’ г) Р^Я^ 2 . Р^Я^ * 2^ Зт^п . /71^/1. в) а® . а” с * Зс ’ 85» ■ 105’“ бу^о Зуо ■ х» ’ г) 5с»х а 15а с^д: ’ в) ■ бс^т^; Зет» г) 9ху Зх^у аЬ 8 8л: ’ в) i£V ; 36×3^4. а г) 8рЗп5 в) г) бр^п^ 2т — 3/1 7s 7 2/71 — 3/1 15р +12д 15р +\2q 13р 13 32 Упростите выражение 5.12. а) б) 5.13. а) б) 5.14. а) б) 5.15. а) б) 5.16. а) б) 5.17. а) б) 05.18. а) б)
Моолкович 8 кл. ч. 2. х + у Х-У (JC -1/); 2лг + 1/ Х-У : (2х + у)^; а . а» . — Злг ’ Зд: — 9’ а + . п 3 + За’ гх + . X + г. • ) X тх + ту а^Ь аЪ^ 4х + 4i/’ 4р-р2 8р — 2р2 У — X • :c-j/ ’ а — Ь 6q — ^ 3q-q^ b-a ’ 1. ч. 2. За + 46 . 46 + За. в) 44с» 52с . 8х^ ’ 16д:2 ’ 15т + 4л 4л + 15т’ 7с + 9d 39р‘2 г) 12а6 8 + 19 Р 4 16m 45т — п с . г) 64г — 15s 18с 23с п — 45т’ 9с» 15s — 64г’ с + d c-d , в) m(m — л) рЧр + q). с — d с(с + d)* р(р + q) т — п а — Ь . 3(а-6). г) а Ь а + 6 с + d а(с + d)’ 26(а — 6) * 26»(а -г>)» в) (о + 6) г) (о — bf : m3 — m2 в) г) 2а + Ь, а + 6 ’ а — 2Ь в) г) в) г) У* — т Юс» . 5 ь» — г>» ■ ь-ь^’ ху р + р\ р2 + рЗ Лс2у2 6а Зал — п ‘ 2п — 2* с® — с^ 1 + d». +d ‘ с-с» ’ X + х^ . лг» + 1 п — 33 Упростите выражение: 05.19. а) б) 05.20. а) 31/ Sxy X — у’ 5а^ 5а . — 16 а + 4’ ^ + у^); в) г) — 49 . 2с + 14. lOcd ’ 6d ’ b-d Sbd d — d^’ X + у 6) (a^ + b^) : (a^ — ab + b^); 1 ®) 3 3 (n^ + nm + m>)\ 05.21. r) (p® — g^) : (p — q). a) 6) (8a^ + 1) : 4a^ — 2a + 1 b) r) 12n X» — 27 ‘ — 64 + 3x + 9. 6n : (m^ + 4m + 16). 05.22. a) 6) B) r) — lOx + 25 2x — 10 Sx + 12 ■ х2 — 16’ 1 — а + 4аЬ + 452 4а + 85 3 — За — 25 Зс + 18. с=“ + 12с + 36 2с + 10’ 6т — Юл . 4л^ — 4лгл + m — 5 15 — 3m Выполните возведение алгебраической дроби в степень; 5.23. 5.24. 5.25. 5.26. ( 2х^у^ б) Чг «(f )’^ •>(|)^ ‘) («й) ■ б) — 3n^Y 10р^ J в) Ъа*с^ 2к^ ^>йГ-^>Ш‘ (-!? J бх^у^ г) — 34 5.27. Укажите допустимые значения переменных, при которых справедливо тождество: •> (!)» = в) «‘(«*2) =“• г) Упростите выражение: 05.28. а, = 1; а ) 16 — а» = 1. .) (^1 б) Пх’^у , f ЗАху’^Х Ъа ‘ I 25а^ Г Збах’^ Sab 126=“I/ ’ 21 лгу’ Ч ( 27сМ . ( 45с» «1 46=“ j Л 326 У о5.: б) ( 2p г) 21х^у^ 35 Упростите выражение 5.33. а) б) 5.34. а) б) б) 5.36. а) б) 5.37. а) б) 5.38. а) б) 5.39. а) б) — 1 9а — 96. (X + 4)2 х2 — 9 . а — Ь с + а ’ Зд: — 9 Зд: + 12’ (у-^Г . 2у-10. г) 52 + 45с . 52 — 16с2 31/ + 18 ’ У^ -36’ 6 + 6 ‘ 26 + 12 * — 16 . д: + 4. Зт^ 8х^ 4д: ’ В) 9т т — п* (У — 5Г 7у2 г) (с + 2)2 с^ — 4 У у2 — 25’ 2с2 4с х^у 151/ + 6, в) т^п . 5/71/1 . 25у2 — 4 Sxy^ ’ 64п2 — 9 *8/1 + 3’ 7 -2х , 4×2 _ 49 г) 24c2d 5-3/7 22а^Ь^ ‘ 11а6® 9р2 — 25 12cc?2 ■ — 25 2 + 5 в) Ы — 6с С^ + С/7 ^ 2^ — 32 ■ 9-2^’ с + /7 5р2 — — 2pq . г) 3×2 _ 3j^2 . (у — л:)’ 5/7 — lOq (9 — рГ ‘ ху + Зу2 9i/ + Зд: * — бд: + 9 . х2 -9. в) 25-р2 10у2 9х^ ’ 9д: ’ 25у р2 -Юу+ 25’ 4с^ + 4с + 1 2d-2с, 3 6а . 2а^ — а c^d — cd^ 4с^ — 1 ’ Г; 1 — 6а + 9а2 ■ 1 — 9а2 ■ а — Ь, 2×2 + 4^ , X + 2, а^Ь — аЬ^ а + 6’ Bj д:^ — 8 * д: — 2’ д:^ + Зд: + X + 3 — : (х» — 27); г) (х® + у^) X + у х^ — ху + х2 _ 1 х^ — 2х + 1. 2^ + 62 + 9 . 32 + 9 х^ + 1 ■ х2 — X + 1 ’ Bj 2^ + 27 ■ 22 — 32 + 9 (* + 8 4 — 8d^ 4d^ — . 2с + 4d ’ (2d — с)2 ’ 5.40. а) б) 5.41. а) б) в) г) 5.42. а) б) в) г) fb^ (Ь — с)2 5-43. а) в) г) Ь^ -6Ь +9 27 + 86® 46® — 66 + 9 6 — 26 ’ (т — 1)® . 1 — т® 4 + 4тп® ■ (2тп + 2)® ■ 1 — 16а® 4а — 1 . 4а® + 10а + 25 ■ 8а® — 125’ 64а® — 276® 96® — 16а® (4а — 36)® 16а® + 12а6 + 96® ’ 4 — 9с^ . 2 — Зс . 9с® — 12с + 16 ■ 27с® + 64’ 125р® + 8д® 25р® — 10pq + Aq^ (5р + 2д)® 4д® -25р® х-3 X® -4 X® + Зх + 9. 2х + А х^ — 27 X® — 2х ’ а® — 16 аЬ — 2Ь . а — 4. 2а — + 8а + 16 ’ 46 ’ 6® — 106 + 25 . 6® — 25 6 + 5. 56 — 10 * 26 — 6® 56 ’ а® + 8 . а® + 4а + 4 . — 2а + 4 За — 6 а® — 2а а® — 4 6®(6 — с) ‘ а®(а — с) 6 — I а® + аЬ 1 а6® — 6® (а — Ь) и^(а — л:)® г) f — Аху + 4i/^ х^ + ху + 2аЪ х^(х — af аНЬ — а)2 2 X + у 2ху — х^ 37 5.44. Докажите тождество: — 64аЬ^ а) +4а2Ь + 16аб2 а+ 6. — 2аЬ + а^Ь — 16Ь^ аЪ + 462 а-Ь х^г + 125г . х — 2ьх jc + 4г . д: — 4г _ £ д:2 — 1622 ’ jf2 — 8jc2 + 1622 — Ьх + 2Ь ‘ X — Ь х’ 5.45. Найдите значение выражения: 4д:2 12jc2 2д:2 а) б) 2х — у ‘ 4д:2 — 6jf2 + 2ху + а + а , + ба^ + За2 2а — 8 2а + 8 а2 — 16 при X = 2,7845, у = -13,8471; приа= 1234567890. 5.46. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение принимает одно и то же значение: (2х^у^ I л: + у х^у^ Sx — Sy Х^ — у2 2ху + 1/2 ЙЧ f д — зУ . f9-g» . аЧ + i Ua=“&J ■ ll8a^6 ■ 2а — Sab 6 §6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Упростите выражение: 06.1. а) (f +1) • б) А. у 2х 06.2. а) 5ху . 6)|jr + T^4- t + Z . d‘ (d , 2 ‘• Т 41*55-1. в) a + b ^ a) ’ 3a6 2c Г) 1 — ^ ^ J c — d 38 06.3. a)l^-nj:[f+ 11; и uv vj 2u + 6y 3^2 + 3^ 6) [3 + o6.4. a) f2 + —, I. ‘ У t + 1) 12 — 2y B) I—-^ + xy 2^ ^ — 1 . r) cd — + 1J a2 + 2a’ + d^ -cV b) (2d + 1 J 1-c^ \2d + 2 ГЬ + 3 b-S\ r) x^ — 9 ) U-3 6 + 3j’ 2x^ + 1 ll. ■ x) x-y» f—+—1- Ус + d c — dj o6.7, „7. a) (- 6) m n mn — mnj n + m mn r) H — 25 1 г + 5 . r + 3 + 5r ( St t Л r** -3r’ s + t. 2t-2sJ 2t ’ 3a + b b-a . a^b — ab^ ab ’ 3a — b’ o6.8. Найдите значение выражения: ^2m + 1 2m — 1^ . 4/n a) 2m — 1 2m + \) 10m — 5 + 2ab + a2 6) (————— \b — a b + a 2a2 при m = —; при a = 23 и 6 = 33. 39 Докажите тождество: 1 + 1 о6.9. а) б) X + у X — у X. f у X + у X — у 2 х-2 Х^ — X 3 X S 1 4’ в) г) x-y X + у 1 . 1 X + у x-y 1 4- X x-1 X^ — X X + 2 У. > X = 2. X х^ — X х-1 об.Ю. а) —- +—- : -—— +—— = а — 1; V5a -1 а + 1у 1-5а а + 1 f Ail1_ _ 76-4 ^ 14 Н?6 — 4 6 — 4j ‘ 96 — 362 4 . = -6 — 4. Упростите выражение: ®На + г» + 2а6 + г-2 б) а + 6 / + 4 2 42^ + 1б2 + 16 122 — 4 22^-8 2^+22 Ют^ ЗОт^ -15т . 8-2т. 6.12. а) 1^3 ^ 2;„ 5J . g^3+27 ‘^2m-l’ йч Го- 9тг^ ^ 27п» +1 .9/1-3 Зп + ij 6л — 9л^ Зп — 2’ ft,о , 9л + 27 ГЗл + 9Y г 1 , 2 1 Зл2 — л» I л — 3 j Un — 9 9 — л^ л^ + Зл б) 6q 2р — q q^ — 4р^ 2р + q 1 + 4р2 + 4р2 — k-A( 80Л •6.14. а) — 2k fe — 161 6Л + 4 8 + 2fe + 4 2-k ) <4-kf' f m - n \(m + n)2
+2′ д:^ _ д: . в) х^ _ 2д: . X 3 X 3 3 — д: “ 3 — д:’ 5у2 — 1 + 3 У ^ У ‘ г) 3 • (-1)» • 10-1 + (4)0 fiY . ( 4 б) -I2J • (2)-‘ — riv‘ «)Ы • (4)-‘ — I-3J г) (-0,5)-2 • (2)-1 — (-2,7)» — (-2)2 • 1,2 — (§] • Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней, там, где это необходимо: 8.14. а) • а
^; г) • т Ч 8.15. а) : k
^. I • (if™ ’ !■ г)8г — 8.16. а) 2а-2: [ |а ]; б) 1,2х-2: (4л:-®); 08.17. a)37ra-2/i2; (^|т-2п2^; t-^s- б) 0,5а2& 2 . (4а з^з^. pj 40^ 1^3 . ^1р-зд2 j 49 Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней, там, где это необходимо: в) <Ъ - г) - т^) • г) тп
^ + а%) • 8.18. а) (а^ — 1) а -1. > б) а*- — Р) ■ 1-‘ г, > 8.19. а) аЬ ^ + а
^Ь\ б) c-‘d^ — сЧ- 1. f 08.20. а) (Ь-1 + а ^) • (л + bV; б) (х
^) • б) ((«- ‘ + ) -А 8.22. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной: . ЬЧЬ-^f ^ 0-1 а) ■ при Ь = 3 б) при п = 4. Упростите выражение: «•2S- »- ‘* * «■’) ■ (^)’ * 10 8.24. а) 2 — а — 5(а + 2)»* _ 5(4 — а^)-! — 1 ’ б) (д:2 — 1) ^ — 3 3(х -1)-(х + 1) 8.25. Найдите значение выражения: Зх-^ Зх^ а) б) 2 — х
^______9х^ 2- х^ 2 при X = 0,5 —-г при X = 0,2 Ч + х
^ 50 Найдите значение выражения: 8.26. 8.27. . 2д:(2 — л:)»* 3 а) —^ при х= 2-х’ ^ 2х 2л:-‘ — у-‘ „ 2х-^^у-^ 3 ’ — Злг(2 — лг)-> 5 б) -iпри X = ^. — Зy-^ б) -1 . о Т* если — = 4 К лг > + 31/ ‘ у 8.28. X ^ — Sy ^ X а) ^-2 _ 9^-2 • X \ если — = 2 б) х
^ х-^ — 41/-2 У X ^ если — = 5 Ч X 8.29. Решите уравнение: а) = -1; б) + 16 = 8x-2; в) 9x-2 + бд:»‘ = -1; г) х
^ а» ( д-” + Ь-” _ д-” — ^ _ д
” g-2″ — + 6″2″ J Vg»2″ + a ‘^b ‘^ + J — g^» ’ ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Вариант 1 1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь g — 8 (g + 7)(g — 12) 2. Сократите дробь равна нулю, а при каких не существует? д2 — ас + 2аЬ + Ь^ — Ьс аЬ — + ас + Ь^ 51 3. Найдите значение выражения а2 — 4^2 — 5а + 10Ь (а + 26)2 _ 25 при а = 1,9, Ь = 0,55. 4. Упростите выражение 2 4 4р 9/7 — 12д 9/7 + 12д 16^2 — 9р2 5. Упростите выражение + fe2 + 16 . 16 — fe2 15Aj2 + ЗЛ 6. Упростите выражение 1 25^2 — 1 а ^ Ь + с 1 Ь + с 1 + 62 -Ь g2 — q2 26с 7. Найдите значение выражения д: + 1 д: — 1 д:2 + 1 д:2 — 1 «Р«^ = -34 8. Упростите выражение 9. Докажите, что значение выражения 2а . 2а6 ^ а — 6 — 62 2а + 26у а + 6 6-а не зависит от значений входящих в него переменных. 10. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Катер проходит 21 км по течению реки на 15 мин быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Вариант 2 1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю, а при каких не существует? 6 + 5 (6 — 13) (6 + 7) 52 2. Сократите дробь + ZX — zy — 2ху ху — у^ + ZX + z^ 3. Найдите значение выражения (X — 2yf — 49 — 4i/^ + 7л: + 14i/ 4. Упростите выражение 1 1 при X = 3,5, у = 0,75. + ■ 2л 6а — 46 6а + 46 9а^ — 46^ 5. Упростите выражение 2Ьу + б1/ — 56 — 10 6^-4 7уЬ — Ыу 9у^ — 25 6. Упростите выражение X + у X — у х^у^ X — у X -h у ^ __________________________________________ X + у ^ X — у ’ (х + уУ + (д: — уУ X — у х + у 7. Найдите значение выражения а^ — 2а + 1 ( <а + 2У - 3 а - 3 V 4а^ - 4 - а 8. Упростите выражение при а - -0,01. 9. Докажите, что значение выражения 6 6-6^26- 6 _ 6-6 ^. 62 + 66J ’ ,62 - 36 62 + Qb) 62 + 66 6 -6 не зависит от значения переменной 6. 10. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Моторная лодка проходит 16 км по течению реки на 12 мин быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 53 ГЛАВА 2 ФУНКЦИЯ СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ 9.1. §9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Используя обозначения ЛГ, Z, Q и знаки запишите следующее утверждение: а) -8 — целое число; б) -12 — рациональное число; в) 79 — натуральное число; г) 15 — целое число. 9.2. а) -10 не является натуральным числом; б) -5,7 не является целым числом; в) о не является натуральным числом; ч 2 г) — не является целым числом. 1о Установите, является ли следующее высказывание истинным: 9.3. а) 12 € N; б) -3 € Q; в) -Ц € Z; г) о 6 ЛГ. 9.4. а) 37 ^ Z; 9.5. а) 5 € [3; 7]; б) 8 € [2; 6]; б) -5 i N; в) 12 € [12; -1-00); г) 45 € (-оо; 45). r)|^Q. 9.6. а) 14,9 € [13; 15]; б) О € (-1; 1); в) -17 € (-17; 8]; г) 25,001 € [О; 25]. 9.7. а) 23 i (22; 23); б) 45 i [0; 45]; в) -19 i (0; 19); г) 84 i [0; 100]. 54 9.8. 9.9. а) (2; 4) с [1; 5]; б) [1;6]с(0; 4); в) [7; 9] с (6; 10); г) [0; 8] с (0; +оо). а) [1; 3] (Z [2; 4]; в) (-3; +оо) ^ [О; +оо); б) [12; 42] (Z [10; 50]; г) [3; 4] ^ [5; 7]. 9.10. Даны два числа: -1,2 и -1,1. Укажите: а) отрицательное число, превосходящее каждое из них; б) число, меньшее каждого из них; в) число, заключенное между ними; г) положительное число, превосходящее каждое из них более чем на 2. Сделайте графические иллюстрации. Укажите число, обратное данному, и число, противоположное данному: 9.11. а)3; б) -12; в) 8; г) -7. 9.12. а) б) ч 5. =>6* г) 9.13. Назовите несколько элементов множества: а) натуральных чисел; б) отрицательных чисел; в) целых чисел; г) рациональных чисел. 9.14. Назовите несколько общих элементов: а) множества натуральных чисел и множества целых чисел; б) множества рациональных чисел и множества натуральных чисел; в) множества целых чисел и множества рациональных чисел; г) множества положительных чисел и множества целых чисел. Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби: 09.15. И’ 33’ г) 2 15’ 09.16. . 29 а) -J-, 6)f; . 53 12’ г) 78 11’ 55 Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби: 9.17. а) 6,335; б) 0,48; в) 7,31; г) 91,856. 9.18. а) 1; б) 35; в) 108; г) 572. Представьте в виде обыкновенной дроби: 9.19. а) 0,(3); б) 0,(15); в) 0,(6); г) 0,(108). 09.20. а) 15,(3); б) 2,(14); в) 7,(2); г) 23,(25). 09.21. а) 0,0(24); б) 0,00(3); в) 0,0(6); г) 0,00(18). 09.22. а) 1,6(1); б) 2,03(5); в) 3,9(12); г) 0,7(72). 9.23. Дан отрезок [1 ; 5]. Укажите: а) целое число, принадлежащее этому отрезку; б) рациональное число, принадлежащее этому отрезку; в) целое число, не принадлежащее этому отрезку; г) рациональное число, не принадлежащее этому отрезку. 9.24. Дан интервал (-2,5; 1,7). Укажите: а) целое число, принадлежащее этому интервалу; б) положительное число, принадлежащее этому интервалу; в) целое отрицательное число, не принадлежащее этому интервалу; г) положительное рациональное число, не принадлежащее этому интервалу. 9.25. Дан интервал (-4; 12). Укажите: а) какое-нибудь числовое множество, содержащееся в этом интервале; б) какое-нибудь числовое множество, не содержащееся в этом интервале; в) целое число, принадлежащее данному интервалу и отстоящее на одинаковое расстояние от его концов; г) рациональное число, не принадлежащее данному интервалу и отстоящее от ближайшего его конца не более чем на 2 единицы. 9.26. Укажите числа, обратные данным и противоположные данным: а) 0,35; б)-1,12; в) 3,7; г)-5,32. 56 9.27. Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби: ч 17. ^ 13 в) \ 2. а) у; йч 12. 21 Представьте в виде обыкновенной дроби; 9.28. а) 0,15(3); 6)0,7(27); в) 0,15(63); 9.29. а) 1,52(3); б) 2,1(61); в) 6,12(8); ‘ 14 г) 0,3(306). г) 0,3(36). §10. ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 10.1. Докажите, что верно равенство: а) = 6; в) = 5; б) Vi^ = 11; г) Vl^ = 14. 10.2. Проверьте равенство: а) V49 = 7; в) 7!^ = Ю; б) =1.5; 10.3. Объясните, почему неверно равенство: а) 7^ = -5; в) 7l^ = 10,1; б) 7^ = 6,5; г) 7-81 = -9. Вычислите: 10.4. а) 74; в) 749; б) 7^; г) y/i. 10.5. а) 7144; в) 7^; б) 7169; г) 7^. 10.6. а) 7о,36; б) 70,04; в) 7о,64: 10.7. а) /|; /5’ ^)/Ж- г) 70,81. 57 10.8. Вычислите: «) » |б1; »Я-’ ^/l 10.9. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, вычислите: а) л/1156; б) V1521; в) V1024; г) VT849. Имеет ли смысл выражение: а) б) в) >/(-3)^; Dim При каких значениях а имеет смысл выражение: а) у/а; б) в) *’> & Вычислите: а) i/sf; «) (И)‘^ в) (лД;5)’; ЯШ- а) б) ; в) -(-V2)’; г) -V(-3)^. а) (2y/3f; б) (Syfff; в) (iVTlf; г) (бу[2Г. (w) ’ ». ‘■* (‘^] ■ а) (Vsf; б) (Зу/гУ; в) (-^/^T)^ г) (Vsf. а) 3 + 36 ^ в) Vt + V81; б) VUTVH; 10.18. а) 7Тб + б) ^/49 + ^/0; г) л/7-V9. в) >/т — V64; г) ^/8T + л/Т. 58 Вычислите: 10.19. а) ^/64 ^/4; б) yfl2i . V9; 10.20. а) I • 4^; б) 0,2 • лДбОО; в) V49 • VIOO; г) в) -7 • -70,04; г) i • О 10.21. 10.22. 10.23. 10.24. Решите уравнение: а) = 4; б) = 16; в) = 9; а) = 5; б) х^ = 11; в) х^ = 13; г) х^ = 25. г) х^ = 17. а) |х^ = 75; в) |х2 = 24; б) 4×2 — 28 = 0; г) Зх^ — 78 = 0. Укажите хотя бы одно целое число х, удовлетворяющее неравенству: а) X > 42; б) 2х >/б; г) Зх VS; в) Зх VlO. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 64 см2; g) см2; g) 2,25 см2; j,) 17 ,^2 При каком значении переменной верно равенство: а) 7х = 11; в) 4х = 1,1; 10.26 10.27 б> 7^ = |; Г) 71 = 1? оЮ.28. Найдите значение выражения: а) — 2а, если а = 1; б) 755′ + 106 + 9, если Ь = 2; в) 7^ — 2с, если с = 1,5; г) 7^’ — rf’, если d = 5. 59 оЮ.29. Найдите значение выражения: а) -J2a — Ь, если а = 4, Ь = 7; б) Vp + 11 “ \/1 2 j ’ Р = в) ■Jrn-
4n, если т = 33, п = 2; г) ^ если S = 225, t — 25. Вычислите: 10.30. а) 7^ + ЗТЩ б) в) -0,03 • 710000 + 7l6; 9,5 7зб1 + \[1’ г) 4 7^ 1б4’ 5-1 в) 2 • J1 ^-1; 7 V 169 V 16 З-Лб -^ + 3; г) 4-1 •М V 16 4 V 49 10.32. а) I yJT^ + 1,5 • 70,36; в) 3,6 ■ 70,25 + — • 7^; 2 32 б) 0,5 • yfoM + — ■ л[Ш; г) 2,5 • 7^ — I • 7^-6 2 Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число: 10.33. а) 7l4; б) 748; в) 70,8; г) -7^. 10.34. а) -л/д^; б) 7^5; в) у/Т05; г) -7^. 10.35. Найдите наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству: а) X /ПТ /12 и -4; б) и -5; в) л/б И 2; г) >/1о и 3,16. в) ->/19 и -4,5; г) и -6,1. 011.7. Докажите, что: а) сумма иррациональных чисел 6 + >/2 и 6 — 72 является рациональным числом; б) произведение иррациональных чисел 2 + >/з и 2 — 7з является рациональным числом; в) сумма иррациональных чисел 3 + 275 И 3 -275 является рациональным числом; г) произведение иррациональных чисел 7^ — 7^ и 7т + 7^ является рациональным числом. 011.8. а) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — рациональное число. б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — иррациональное число. 011.9. а) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — рациональное число. б) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — иррациональное число. 62 011.10. Верно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа — иррациональное число? 011.11. Приведите примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен: а) целым числом; б) конечной десятичной дробью; в) бесконечной десятичной непериодической дробью; г) бесконечной десятичной периодической дробью. 011.12. Поясните, почему является иррациональным заданное число: а) 5 + ^/3; б) 7 — V2; в) 1 + ^8; г) 3 — ,/б. 11.13. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное. 11.14. Докажите, что произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное. 11.15. Пусть г — рациональное число, а — иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число: а) г -h а; б) а^; в) 2а; г) — а^? •11.16. Докажите, что на графике функции у = у]
2 • х имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции. •11.17. Докажите, что на графике функции у = у/з • х -I- >/з имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции. §12. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 12.1. Назовите несколько элементов множества: а) натуральных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел; г) действительных чисел. 63 12.2. Назовите, если это возможно, несколько общих элементов: а) множества рациональных и множества действительных чисел; б) множества целых чисел и множества действительных чисел; в) множества иррациональных и множества действительных чисел; г) множества натуральных и множества иррациональных чисел. 12.3. Почему соответствие между множеством всех точек координатной прямой и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным? Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы каждой точке прямой соответствовало определенное число? Сравните числа: 12.4. а) 7,5 и 7,498; в) 54,46 и 54,64; б) 3,1416 и 3,14159; г) 1,2112 и 1,2121. 12.5. а) -0,25 и -0,26; в) -27,36 и -27,63; б) -5,123 и -5,1231; г) -7,3434 и -7,4343. 12.6. а) 3,(7) и в) 6,(3) и 19. 3 ’ б) 0,(1) и i; г) 4,(2) и 21 5 ’ 12.7. а) 4,8 и л/29; в) -л[з и 71 41’ б) -yflO и -3,16; г) •v/45 и 5,9. 12.8. Какое из чисел, х или у. больше, если: а) X- у = 3; в) Х-У = б) X — у = -0,01; г) Х-у = -^/з? 12.9. Известно, что а 1; т) у — х = 1 ^ у^. 12.12. Какой знак имеют произведение тп и частное —, если п известно, что: а) m и л — числа одного знака; б) m и л — числа разных знаков. 012.13. Известно, что а > О, & > О, с /s, -1,2, 0,5я, Какое число соответствует точке С, а какое — точке Б? Расположите в порядке возрастания числа: 1^. 6 б) я, 3, 3,1; 12.16. а) V5, О, у; в) у 0,3, 0,5; г) -3,2, -До, -3. 12.17. а) 2я, 6,3, 5,81; в) у 1,5, 1,6; йч л 4 15 . Д’ 7’ -0,5, -^, -1. 3
Моолкович 8 кл. ч. 2. 65 12.18. Выясните, положительными или отрицательными являются числа р и Qj если известно, что: а) pq > 0; б) p^q 0; 12.19. Известно, что а > 2. Какой знак имеет выражение: а) За-6; в) ■ б) 2-а’ г) (а — 2)(1 — а)? а — 1’ 12.20. Известно, что Ь 4; г) S > 5? 12.22. На числовой прямой отмечены точки К, L и М (рис. 3). Укажите координаты каждой из отмеченных точек, если известно, что ими являются числа: а) -л/з, -2, -f; в) Тб, 2,5, б) Тз, 1; г) Т^, 4,5, 2 Зя К М Рис. 3 § 13. ФУНКЦИЯ у = n/x, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК 13.1. Постройте график функции у = С помощью графика найдите: а) значения у при х = 4; 7; 16; б) значения х, если ^ = 0; 1; 3; в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4]; г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой у = Ij ниже прямой у = 1. 66 13.2. Используя график функции у = у[х^ найдите: а) значения у при х = 0; 1; 2^; б) значения х, если у = 2; 2,5; 4; в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1; 9]; г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой у = 2, ниже прямой у = 2. 13.3. Постройте график функции у = -у[х. С помощью графика найдите: а) значения у при х = 1; 2^; 9; б) значения х, если ^ = 0; -2; -4; в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2; 4]; г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой ^ = -2, ниже прямой у = -2. 13.4. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у = Vx точка: а) A(2;^/2); в) С(6,25; 2,5); б) В(1; 0); г) В(-9; 3). 13.5. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у = -Vx точка: в)С(3; -л/з); а) А(144; -12); б) В(-4; 2); г) В(2,25; 1,5). Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= yfx: 13.6. а) На отрезке [0; 1]; б) на полуинтервале (3; 9]; в) на отрезке [1; 4]; г) на полуинтервале [4; 7). 13.7. а) На луче [0; Н-оо); б) на луче [2; Н-оо); в) на луче [9; +00); г) на луче [5; Н-оо). 67 13.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -six: а) на отрезке [0; 4]; б) на луче [3; +оо); в) на отрезке [1; 9]; г) на полуинтервале (2; 9]. Решите графически уравнение: 013.9. а) 7^ = х; в) у/х = 2; б) ^/x = 6 — х; г) л/х = -х^. 013.10. а) -у/х = X — 2; б) -у[х = 2 — Зх. Решите графически систему уравнений: \у = -Jx, У = х; У = ‘[х, у = -X-2. У = -7^. 1 У = —X. ^ 2 13.13. Дана функция у = f(x), где f(x) = 7^. Найдите: ol3.ll. а) 1 \у = 4х, [у = х^; в) б)| \у = -(х, [у = 2х — 1; г) У = -‘[х. 013.12. а) 1 б) У = -X — 4; а) Л9), Д6,25); б) т, fi-a), та); в) /(а + 1), т — а), та — 1); г) /(о) + 1, та) — 1, f(a — 3) + 1. 013.14. Дано: f(x) = л/х, g(x) = х^. Докажите, что: а) f(x*) = g(x); б) (Лх))в = g(x^). 013.15. Зная, что f(x) = 7^, решите уравнение: а) fix — 1) = 3; б) f(2x) = 4. 6S 13.16. Укажите, на каком промежутке выпукла вверх, а на каком выпукла вниз функция, график которой изображен: а) на рис. 4; б) на рис. 5; в) на рис. 6; г) на рис. 7. Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 013.17. Дана функция у = fix), где f
Ш ‘>(!! 014.26. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: а) — 12’; в) >/4Г — 40^; б) V252 — 242; г) V852 — 84Г 14.27. Докажите, что: а) = Vi; б) ^/& = ^ • Vl6%; в) • л/225^. 15 г) 12 V 144 ^ Найдите значение выражения: 14.28. а) y[¥Tl¥; в) yf¥TT¥; б) V1452 — 1442; 14.29. а) >/72,52 _ 71^52. г) >/3132 — 3122. в) >/98,52 _ 97 52. г) >/21,82 — 18,22. 14 б) >/б,82 — 3,22; .30. а) ^ б) / 14.31. Вычислите, не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор: а) >/4356; б) >/8464; в) >/3844; г) >/9025. 11652 _ 1242, в) I 98 1 164 V 1762 _ 1122’ 1 1492 — 762 _ г) 1 1145,52 _ 96,52 ‘ 4572 — 3842 > / 193,52 _ 31 52 • 74 14.32. Зная, что у[б6
7,7, найдите приближенное значение выражения: а) б) л/^; в) ^6000; г) 14.33. Зная, что
9,5, найдите приближенное значение выражения: а) V810; б) + 2; в) ^2250; г) ^9000 — 4. 14.34. Представьте в виде произведения квадратных корней выражение у[ху, если: а) X > о, ^ > 0; б) X У* V 25ic« Внесите множитель под знак корня: 15.16. а) зТЗ; б) 572; в) иТб; г) 7Тб. 15.17. а) -З7в; б) -ИТЗ; в) -1з7б; г) -бТз. * Всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения. 76 Внесите множитель под знак корня: 15.18. а) \J32-. б) -IM в) V8; г) fV35. 15.19. а) Xyjl2; 6)J в) 2^[б; г) tVIT. 15.20. а) б)- ■Ьу/ТО; в) л/lT; г) -dyfS. 015.21. а) -Зх^Д; в) -Ът^ у[Ът\ б) 4x^1/V 0,5×1/; г) 015.22. Расположите в порядке возрастания числа: а) 6, 2^8, 5, в) 4, 3^/2, 4|, yfl9; б) 2, V?, 2^/з, 3; г) 1, |>/з, 0,7. Упростите выражение: а) 2yfx + З-у/^ — 5л/х; б) sVo + 3yfb -yfa + 2yfb; в) yfz — 3y[z + 9y[z; r) 8yfc + yfd — yjd — 4yfc. a) V2I6 — 2^6; b) у[Ш + 7-Jl; 6) ^/^ + >/m; r) — Vl^. a) 5V3 — b) 3yfl + ^/^ + 6) 2Vm + 2V2O — -^/80; dk r) 3VI2 + 2л/з — О a) >/^ + yj25a — yj36a; 6) 5л/3х + — 10V0,03x; Ck b) V55 — 2у[Ш — 3^/80&; г) 3yf^ — y[^ + 0,1^200^. 77 Упростите выражение: 015.27. а) За б) + 4m\frn^ — rri^yfm; в) 2ayla^b — yja^b; г) Vsid^ — bdyfd + d 015.28. a) (б>Я2 — л/^) • ^/3; б) (3>/5 — 2^) ■ V5; 015.29. а) ‘Ixi.4a — -Jx)-, б) y/mniyfm + yfn); 015.30. a) + л/б) : ^/2; 6) (12^45 — 6-Ш) : зТб; 015.31. a) (2 + л/з)(л/3 — l); 6) (5 + л/15)(л/3 — л/б); в) (л/32 + 2л/18) • V2; г) (2л/м — 5>/2) • V2. в) (-Тс + y/d) ■ л/с; г) <у[р -yfq)- у/м- в) <у!\2 - у/\ъ) : ^/3; г) i^y/ll + 2у1\2) : 2л/з. в) (З - л/б)(5 + л/б); г) (З + 7^)(>/з — л/7). 015.32. а) (а + ^/b)(2o — 3>/ь); в) (л/х — 2у)<2у/х + у); б) (2л/а - бл/^)(2л/а + 7^); г) (Тот - 2>/п)(л/т — л/п). Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения: 15.33. а) <уЦ - у/Е)(у/7 + л/б); в) (л/б + Т2)(л/б - >/2); б) (7 — 5л/2)(7 + 5л/2); г) (в + 3>/7)(8 — 3yJl). 15.34. а) (о + yJb)ia — у/ь); б) <у/х - у[у)<у/х + л/у); в)
a -Ь 2yfb Разложите выражение на множители методом вынесения общего множителя за скобки: 015.48. а) 5 -I- у[5; б) yfb — Ь; в) 3 — у[3; г) у[а + а. 015.49. а) 10 5^/3; б) 8 — 4у[2; 015.50. а) ^/^0 — л/б; б) 2 + ^/6 — V2; 15.51. а) а — 2-Та; б) V36 -Ь; в) 20 -Ь 60л/7; г) 45 — 9yj5. в) yfli + л/35; г) 7 -I- yfu — yfl. в) yfa — 2а; г) о -Ь yfab. 015.52. а) а + Ь + yja + Ъ; в) За — 35 — 2 у>а — Ь; б) yja^ — — yja + Ъ; г) ayja — Ъ -ь yja^ — Ь^. 80 015.53. Разложите выражение на множители способом группировки, используя определение и свойства квадратного корня: a) Uyfa + byfb + ayfb + byfa; б) 2 + byfa — 2y[ab — yfb; b) Uy/b — yfa + yfab — 1; r) ab + Uyfa + byfb + yfab. Разложите выражение на множители, используя формулу разности квадратов: 015.54. а) а2 — 5; б) 25 — р; в) 11 — Ь^; г) т — 100. 015.55. а) & — 3; б) 16г — 5; в) а — с; г) 7 — 64^. Представьте выражение в виде квадрата двучлена: 015.56. а) 1 — 2yfp -h р; б) X 6у у[х -I- 9р^; 015.57. а) 49а — 14 yfab + Ь; б) Зс2 + 10с у[з + 25; 015.58. а) 4 + 4^/з +3; б) 3 — 2yf2; Сократите дробь: ч а» — 7 . Ь + у[з 15.50. а) г—> б) в) с — 2y[cd + d; v) q + 4р yfq + 4p^. в) 9m — O’Jmn + n\ r) 2a + 2ЬуЩ + b\ b) 2 + 2 y[2 + 1; r) 7 — 4л/з. 15.60. a) a-4^’ x-9 . ylx-\-S yjm — fn 015.61. a) iVLliVE; ‘ 9л:-161/ 121a^ — 1446. 12fb — 11a ’ 3-62 ’ m — n b) 11 b) c-Л1’ 9- yfi t-81″ 25a — 496 . 5>/a + 7fb’ 9yf^ — 4yfc 16c — 81a6 ’ r) r) 6 + yfn 21-62 ’ yfr -H yfs r — s 81 Сократите дробь: 1 — J2 J2 + J6 015.62. а) ^ 1-^3 015.63. а) б) 015.64. а) б) 015.65. а) б) 015.66. а) б) >До — Уб, ■JTb-3 ’ yfiE + лДо, + Vil ’ 4а + 47з, 3-а^ ’ х-у . ■/бу — л/^ X + 2у[ху + у лД + Ту — 6x^Jy + 9у ^ зТу — -ж X + 4Tj^ + 4у X — 4|/ 2а + 6yj2ab + 9Ь ^ 6а — 27Ь ’ ®^\ + Т^’ ®^Т2-Тб’ Tl5 — Тб. 5-лДо Tl8 + Tl2 . Тб + Тз ■■‘TlTr в) г) в) в) г) в) г) лДб + лДо’ JC — 25 зТх +1б’ у1тп + п т — п yfs — yfr . г — 2>/^ + S + V За + 56 + л/оОаЬ — 25i/ + Ьу — 20у бх^у — 2a:z/2 Sx у — yjl2xy 015.67. a) 6) -^z:—; в) ^———-; r) —— yja yjb yjx — 2 c + yjcd + d 3 yja 015.68. Упростите выражение: a) •Д — Ту _ лД. 11лД — зТу 2Vx — зТу Vx — Ту ^ 47^ 4>/^ 4V:^ ’ т^ т^+>д 12——-12“’ ^ 2yfc-yfd Syfc-\-6yfd Jc-3yfd г) ——————р=—+ ^ 5>/с Ъу!с 5>/с 82 Упростите выражение: 3 015.69. а) ——+ б) 015.70. а) б) у[а + 3 у[а + 3 yfn 13 у[п — 13 13 — yfn а_________9 yfn
3 yfn — 3 с _ 20у/с — 100. >/с — 10 Vc — 10 015.71. а) -ф= + •Jxy ^уг Jm — Jn Jm — Jr б) ^ ; yjmn yjnr 015.72. a) J ^ JZ-5 J^’ 6)^- J^ 015.73. a) 6) Jy Jx + Jy’ Jx — 1 Jx — 2 SJx-12 2у[х-Ъ >/p + 1 _ Vg + 1 . p-Jm -Jm-q’ 015.74. Проверьте равенство: 2 2 а) б) в) 5 + 2^6 ^ 5 — 2^6 6__________6 ^ 1^. 7-4у[з 7-\-4yfs yfs’ b) r) b) r) b) r) b) r) b) r) 4______Vg . Vg-4 yfq-4 3
3 81 yfc + 9 “Ус + 9 d . 14>/d + 49 yfd -\-7 yfd + 7 yfnt yfc yfcd yjdm yfa yfb ^ yfb — yfc yfab Уь +1 Уь + 3 yfb — 2 yfd Гь yfd yfc — yfd yfc yfc — 2 Syfc — 4 Syfc + 3 7 yfc + 7 yfd + 3 yfc — 3 yfcd + d yfcd + c —r— + —r^ = 30^2; 6yf2 — 7 6yf2 + 7 Г) —Ц.——-Ц= = -2js6. 9 + 4У5 9-4У5 83 015.75. Докажите тождество: ^ 4л/аЬ у[а — 2-Jb а + 46 а) —-— + б) а-46 у[а+2^/ь а — 4Ь’ 2у[а — З^Jb 12л/аЬ _ 4а + 96 2^0+3^6 96-4а
4а-9б‘ Упростите выражение: 015.76. а) б) 015.77. а) б) 015.78. а) 7^ . Га . b) yfrx + r , г+г. X — Syfx ‘ 3yfx — 9’ X ■ г ’ y[a-\-a n 6yfn 3>/^ yfn 3 «h SyfO’ r; n — yfn 2yfn — 2 x-16 , yfx + 4 b) 5-yfy 7«/ . Sx ’ 4Г ’ г У-25′ 2-25 ^ >/2 + 5^ 3c — Sd 7c + 7p 2 — Syfz * 9- 2 ’ r; c + fcp — 6>/c б) X — 10 /а6 + 46 в) г) 015.79. а) б) 4sfa + 8^fb 3 — S^[a с — 25 Зу[с + 18_ с + 12Vc + 36 2Vc + lo’ 5-v/m — 10-у/л ^ 4/г — 4-Jmn + •Jm — 5 15 — 3yfm 2 + -Jj—]. ^fi +ij 12-77 + 8’ •Jx — 2sfy ^ 1 ^ 7^ ^Jx) -jx — yfy xy 84 015.80. а) fVa — -р^—1 • V yj а + 1J yja б) 015.81. а) б) yfcd — d f /^ /d с + d + yfd /^-/d а — 16 1 yfa + 4 у[а +3 а + 4yfa l-2/ь 1 b + з/б , 3 + 4b 2/fe + 1 46-1 ’ 4/b + 2’ 15.82. Внесите множитель под знак корня, если известно, что а /50; г) 20/0,27 — 5/0,12 + 7/0,03. 85 Докажите, что верно равенство: 15.87. а) >/зТ272 = 1 + ^2; б) = 2V5 — ^/3; в) 2 — 73 = >/7 — 4^3; г) Vs + 3V2 = V23 + eVIo. 15.88. а) (З + 2V2)(l — V^f = 1; б) (V3 — if (4 + 2V3) = 4; в) (7 + 4V3)(2 — Vsf = 1; г) (V2 — 3f (11 + 6V2) = 49. 15.89. a) Докажите, что (l
V2) =3-2 ^f2. Можно ли на основании этого утверждать, что V3- 2V2 =1-72? б) Докажите, что <у[2 - l) =3-2 у[2. Можно ли на основании этого утверждать, что 7з - 2V2 = V2 - 1? 15.90. Какое из равенств: а) V28 - Ю-Уз = V3 - 5; б) у]2В - lO^fz = = 5 - ^ — верно? Ответ объясните. 15.91. Докажите тождество: >/ь , 2yfa , 2а а) -;=—^ + л/6 у[а yjb yfb — у/а а — Ь у[ь — у/а >/д yfb 2у/оЬ _ yfa — yfb ^yfa-\-yJb yfa-yfb 86 15.92. а) б) Докажите тождество: yfm yfn ^ у]тп п — у]тп т — у[тп j yfn + yfm yfa yfb___’l a-b + ab a’ = -l; ^yfa — yjb yfa + yjb 15.93. a) 2 + 2yfz . ( yfz 2-12 6) V^-2 4>/2-2 2-4 2 + 2V2 Упростите выражение: ^ ^ ^ ^ 4 12у1^ 4 15.94. 2^-4^- 4x-у’ + yfmriF 6) m — n ^ y/mn + n yfm — yfn 6nVm 6/71 15.95. a)fy^ + ^^Uv^ + Vfe-^l^r; VVa+Vb 4a-ylb) \ 4a + 4b) 6) >/c — >/d + 2Vcd ^ ^ (yfc + 4d _ yfc — y/d J Vyfc — yfd yfc ) Найдите значение выражения: 15.96. a) — 2ху/2 + 2, если x = ^/2 +1; б) 2a2 — 8a^/2 + 16, если a — 5V2; в) + 2|/л/з + 3, если у = 4 — у[3; г) 3&2 + 2Ьу[з + 1, если & = 3 V3. 15.97. а) 2а^ — аЪ — при а = yjb +1h&=^/5 -1; б) 2а^ — ЪаЪ + 2Ь^ при а = -^6 + у[ъ и & = >/б — л/б. 87 15.98. Сравните значения числовых выражений А и В: а) А = —+ —pi—-; В = ^/30; 3V3 — 5 3V3 + 5 б)А = в) А = г) А = 4 + 2/Е 4 — 2у[1 ; В= н—-pJ——; В = л/З; 2^/б — 3 2>/б + 3 2 + 3^2 2 — 3^/2 Ц=; В = ^/2. Упростите выражение: д: yfa yfb л;-л/2 ЛС +^2 . + 15.99. а) ^2 2 ’б) д2 + аь + XyJ
2 а — Ь •15.100. а) Vt + 4л/3; б) 7з — 2у[2; в) >/т-4УЗ; г) Уз + 2^2. 15.101. Найдите значение выражения 1 . _1 _iv г а»‘ — д:»‘ а»‘ + д:»^ 4 ^ 1а-‘+х-^ а»‘ — X»‘ при а = Уз + Уз, JC = 0,2(13). 15.102. Найдите значение выражения 1 + ах-1 а
^х — ах ^ х — а при а = -2,785, х = -уДз — 1. г-1 _ах— ^ ^ 2 15.103. Докажите тождество rry^i -4 У +1 Na + l] — 1 ^ ) [sja’^ + ij у/ а + 1 88 Проверьте равенство: •15.104. а) V9 — 4л/5 + Vl4 — б^/б = 1; б) Vn — 4>/7 + = 1. •15.105. 6 + 4^/2 ^ 6 — 4^/2 Л2 V2 + Ve + 4лД ^/2 — Ve — 4^2 = 8. •15.106. Упростите выражение ^10 + 8>/2^+ л/э + 4л/2 §16. МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА Вычислите: 16.1. а)|б|; б)|-2|; в) |-4|; г) 1251. 16.2. а)|-2,56|; б)|1,7|; в)|5,09|; г) 1-3,751. 16.3. a)|^/2-l|; б) Ш-Ь\; в) IV8 — 41; г) IV5 — 2|. 16.4. а)|9|2; б)|-2|2; в) 1-51^; г)181^. 16.5. Верно ли равенство: а)|3| = |-3|; в)|-7| = |71; б)-|2| = |21; г) 1-101 = -|10|? Найдите значение выражения: 16.6. а) |а| + 3 при а = 7; в) |Ь| — 2 при Ь = 0; б) \Ь\ + ^Jз при Ь = “л/З; г) у[2 — \d\ при d = ->/2. 016.7. а) |а| + 1 при а = у[2 — 1; б) |а| + 2 при а = 2 — >/5; в) “ |а| при а = >/з — 1; г) |а| — л/з при а = >/з — 2. 89 ol6.8. Найдите значение выражения: а) \а\ + \Ь\ при а = 1 — у[2, Ь = 3 — у[2; б) \х + у\ при X = 2^f7 — 6, у = yfl — 3; в) 1^1 — |г| при t = 2 — л/б, 2 = у[ь — 1; г) |г — ^1 при 2 = 2>/з — Зу t = 2 — у[з. 16.9. Постройте график функции ^ = |jc|. С помощью графика найдите: а) значения у при х = 5; 0; -2,5; б) значения х, если ^ = 7; 3; 1; в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-4; -1]; г) значения х, при которых функция убывает, возрастает. 16.10. Постройте график функции у = — \х\. С помощью графика найдите: а) значения у при х = -6; -1; 4; б) значения х, если у = -8; -6; 0; в) какому промежутку принадлежит переменная у, если X € [-1; 4]; г) значения х, при которых функция убывает, возрастает. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = \х\: 16.11. а) На отрезке [-1; 1]; в) на отрезке [2; 7]; б) на интервале (-4; 2); г) на интервале (-2; 1). 16.12. а) На луче [0; +оо); б) на полуинтервале (-1,5; 7]; в) на луче [-2; +оо); г) на полуинтервале [-3; 1). 16.13. Постройте графики функций ^ = |х| и ^ = 3. а) Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций. б) Обведите ту часть графика функции у = \х\, которая находится ниже прямой у = 3. в) Определите, при каких значениях х для функции у = \х\ выполняется условие у 3? 90 16.14. Постройте график функции у = \х\. По графику найдите: а) при каких значениях х у = 2; б) при каких значениях х у > 2, у -4, у 4; г) при каких значениях х выполняется условие -4 Ь, если & = 5; в)\х\ Ъ, если Ь = 2, 016.18. Дана функция у = fix), где f(x) = \х\, если X 0. а) Найдите Д-2), ДО), Д5). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции. 016.19. Дана функция у = Дх), где f(x) = х\, если -3 3. а) Найдите Д-3), ДЗ), Д4,5). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции. 016.20. Дана функция у = Дх), где f(x) = \х\, если X 1. а) Найдите Д4), Д-1), ДО). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции. 91 Решите уравнение: 16.21. а) |д: — ^/з| = 0; б) \х+7\ = 0; 16.22. а) |л:| = 5,5; б) \х\ = 1; 016.23. а) |л: — 1| = 2; б)|д:- 5| = 4; 016.24. а) |х + 2,5| = 1; , 5 б) д: — 1- = 2; в) |х + Vs| = 0; г) |х — б| = 0. в) |х| = 3; г) |х| = 0,2. в) \х-7\ = 5; г) \х — 11| = 9. в)\х + 0,75| = 3,75; V) х-^‘ 16.25. Упростите выражение а) л: — 3 > 0; 16.26. Упростите выражение а) ж + 5 > 0; Упростите выражение: 016.27. а) V (1 — 7з)»; б) V(2^^yi7; \1(х — 3)^, если: б) л: — 3 /42f; г) V(З — 2yj2f + V(2 — 2V2f. TT “ 1| + 1^1 •16.34. Упростите выражение ^——————, если: Зле Зле а) ле 1; б) о 1; г) 5 /х^”^^-^лГ+
Мордкович 8 кл. ч. 2. 129 020.24. Используя график функции у = -х^‘ Н- 9, найдите: а) значение функции при х = -3; 0; 1; б) значения аргумента, если у = 9; у = 5; у = 0; в) наибольшее значение функции; г) значения аргумента, при которых у > 0, у О, у 0. 4 020.27. Используя график функции У =
+2, найдите: а) значение функции при jc = -4; -2; 1; б) значение аргумента, если у = 3; 0; -2; в) значения аргумента, при которых у 0; г) уравнения асимптот графика функции. g 020.28. Используя график функции у = — 3, найдите: а) значение функции при jc = -3; 2; 6; б) значение аргумента, если у = 0; -1; 3; в) значения аргумента, при которых у > О, у 9\ г) наименьшее значение функции. О20.30. Постройте график функции у = -\х\ 3. С помощью графика найдите: а) значение у при jc = -4; 0; 1; б) значения jc, если i/ = 3; 0; -2; в) значения jc, при которых у > 9, у О, У О, I/ О, у О, I/ О, I/ -1. а) Найдите Д-2); Д-1); Д0,25). б) Постройте график функции у = f Ых + 51. 138 Постройте график функции: 21.27. а) у = — 10х + 24; в) у = х^ — 4л:; 6) у = х^ -\- Sx 7; г) у = х^ — 6х 5. •21.28. а)у = 2х^ — 4л: + 5; б) у = -Зх^ + 6л: — 1; в) у = -4х^ Н- 8л: — 10; г) у = 2х^ — 8х -h 6. •21.29. Постройте и прочитайте график функции у = /(л:), где -3(л: + + 3, если -3 0. §22. ФУНКЦИЯ к = ajr» + Ьх + с ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК 22.1. Какая из следующих функций является квадратичной: а) у = Зх^ + 5л: + 6; в) I/ = 5л:^ — 7л:; б) у = 3х — 1\ г) I/ = 9л:? 22.2. Назовите коэффициенты а, Ь и с квадратичной функции: а) у = 7х^ — Зх — 2; в) I/ = 8л:^ — 2л:; б)у=^х^+1; ч 2 1 3 о г) у = -X + — — —х^. ^ ^ 5 7 10 22.3. Составьте квадратный трехчлен ах^ Ьх с, у которого: а) а = 2, Ь = -1, с = 4; в) а = 9, Ь = -3, с = -1; б) а = -1, Ь = 7, с = 0; г) а = 1, Ь = 0, с = 5. 22.4. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы: а) у = Зх^ — 7л: + 1; в) у = -7х^ + л: — 2; б) у = -5х^ -h 2л: -h 0,5; г) i/ = бл:^ И- 9л: И- 1. 022.5. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы: а) у = 2х^ — л: -h 1; в) у = 7х^ -+■ 12х ■+■ 4; б) у = -5х^ -h 2л: — 2; г) i/ = -х^ -I- 2л: И- 1. 022.6. Найдите координаты вершины параболы: а) у = 4х^ -h 8л: — 1; в) у = -х^ И- л: — 1; б) у = -Зх^ — 6х -h 2; г) I/ = 5л:^ — 10х И- 4. 139 Постройте график функции: 022.7. а) у = х’^ + 4х + 5; в) у б) у = -х^ + 2л: — 3; г) у 022.8. &) у = х^ + 6л:; в) У б) у = -х^ + 2х\ г) у 022.9. й) у = 2х^ + 4х; в) у б) у = -Зл:^ + 12х; г) У 022.10. а) у = Зх^ + 6х + 1; в) У б)у = -2х^ + 8х — 5; г) У o22.ll. а)у = (х — 2)(х + 4); в) У б)у = -5х(х + 2); г) У 022.12. а) у = (х + 2)^ — 2х + 2; б) у = -(X — If + Цх — 1) + 5; 6х; 6); в) у = 6х + (х — 2f; г) У = (х ly — 6(х + 1) + 8. 022.13. Найдите значение коэффициента с и постройте график функции у = х^ — 6х с, если известно, что наименьшее значение функции равно 1. 022.14. Найдите значение коэффициента с и постройте график функции у = -х^ + 4jc + с, если известно, что наибольшее значение функции равно 2. 022.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = 2jc^ + 4jc — 1: а) на отрезке [-1; 0]; в) на отрезке [0; 5]; б) на луче [-2; +оо); г) на луче (-оо; -3]. 022.16. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -х^ + 2х + 3: а) на отрезке [0; 2]; в) на отрезке [1; 2]; б) на луче (-оо; 1]; г) на луче [2; +оо). 022.17. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = 3х^-12х^ 1: а) на отрезке [1; 4]; в) на отрезке [0; 4]; б) на полуинтервале (1; 4]; г) на полуинтервале [0; 4). 140 022.18. Постройте график функции г/ = + 4л: — 5. С помощью графика определите: а) значение функции при х = -3; 0; 1; б) значения аргумента, если у = -8; -5; 0; в) наименьшее значение функции; г) промежутки возрастания и убывания функции; д) значения аргумента, при которых i/ > О, г/ О, у 0; 6) у -5. 022.25. Используя график функции у = 2л:^ -I- 8л: -I- 6, определите, при каких значениях х выполняется неравенство: а) у > 0; 6) у 6. 141 = 2х^ -6х + 1, в) 1 у = -Зх^ + 12х — 5, = 3; [у = -5; = х^ — 2х, г) \у = -4л:^ + 4х + 2, -Зу = 0; [Зх — 2у — 0. 022.26. Определите число решений системы уравнений: а) б) 022.27. а) Зная, что f + 8л: + 6, у-2х-4 = 0; ^Мзлг — 2|/+ 1 = 0. а) б) 22.41. Постройте и прочитайте график функции: Г2л:^ + 4л: — 1, если -2 0. У = 22.42. у 22.43. у = 22.44. у = л: + 1, если л: 0. 2х^ + 4л: + 1, если л: 1. •22.47. а) Используя графики функций у = х^-2х-1иу = определите, при каких значениях х выполняется неравенство: х^ — 2х — 1 •22.48. Найдите значение коэффициента а, если известно, что прямая л: = 2 является осью симметрии графика функции у = ах^ — (а -h 6)л: -I- 9. •22.49. При каком значении коэффициента с вершина параболы у = х^ 6х с находится на расстоянии 5 от начала координат? •22.50. При каких значениях коэффициентов бис точка А(1; -2) является вершиной параболы у = х^ Ьх с? •22.51. Найдите значения коэффициентов а, б и с, если известно, что точка А(1; -2) является вершиной параболы у = ал:^ -h бл: -h с и что парабола пересекает ось ординат в точке Б(0; 2). •22.52. Найдите значения коэффициентов бис, если известно, что график функции у = х^ Ьх с проходит через точки (0; 8) и (3; -1). 144 •22.53. Найдите значения коэффициентов Ь и с, если известно, что график функции у = + Ъх + с проходит через точки (1; 6) и (-1; -2). •22.54. График какой квадратичной функции проходит через точки К(-2\ 3), L(-l; 0), М(0; -9)? •22.55. График какой квадратичной функции проходит через точки А(2; 3), Б(0; 1), С(3; 2)? §23. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Решите уравнение двумя способами — графическим и аналитическим: 023.1. а) — 2х = 0; в) + 4л: = 0; б) -лг2 + 6л: = 0; г) -х^ — 8х = 0. 023.2. а) л:^ — 4 = 0; в) х2 — 9 = 0; б) -л:^ + 1 = 0; г) -х^ + 16 = 0. 023.3. а) 2x^-2 = 0; в) 0,5х^ -2 = 0; б) -Зл:^ + 6л: = 0; г) х^ — 2х = 0. О Решите графически уравнение: 023.4. а) л:» + 2л: — 3 = 0; в) + 4jc — 5 = 0; б) л:^ — 4л: + 3 = 0; г) jc2 — 2jc — 3 = 0. 023.5. а) л:^ — л: — 2 = 0; в) + 3jc + 2 = 0; б) л:» — Зл: — 4 = 0; г) + jc — 6 = 0. 023.6. а) -х^ + 6х — 5 = 0; в) -x^ — 6jc — 8 = 0; б) -х^ — Зл: + 4 = 0; r) -x^ + jc + 6 = 0. 023.7. а) л:^ — 5л: + 6 = 0; b) — jc — 6 = 0; б) -х^ — X + 6 ^ 0; r) -x^ — 5jc — 6 = 0. 023.8. Докажите, что уравнение не имеет корней: а) Зх^ — 6л: + 11 = 0; b) + 2x + 4 = 0; б) л:^ — Зл: + 5 = 0; r) 2×2 + 5x + 9 = 0. о23.9. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 8 см^, а длина на 2 см больше ширины. 145 023.10. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 14 дм, а площадь равна 12 дм^. 023.11. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см, а один из его катетов на 1 см больше другого. 23.12. Решите квадратное уравнение несколькими способами: а) — 6л: + 8 = 0; в) л:^ — 2л: — 8 = 0; б) л:2 + 2л: — 8 = 0; г) л:^ + 6л: + 8 = 0. Выясните, сколько корней имеет уравнение: 23.13. а) 2л:2 — Зл: + 1 = 0; в) 2л:^ — 5л: + 2 = 0; б) л:2 + 6л: + 9 = 0; г) 2л:^ — Зл: + 2 = 0. 23.14. •23.15. •23.16. •23.17. •23.18. •23.19. а) -2л:2 — 7л: + 3 = 0; б) -л:2 + 4л: — 4 = 0; в) 2л:2 + 5л: + 5 = 0; г) 2л:2 — 5л: — 3 = 0. При каком значении р уравнение л:^ — 2л: + 1 = р имеет один корень? При каких значениях р уравнение л:^ + 2л: + 3 = р не имеет корней? При каких значениях р уравнение л:^ — 4л: + 4 = р имеет два корня? При каких значениях р уравнение л:^ + 4л: — 6 = р имеет хотя бы один корень? При каких значениях р уравнение л:^ + 6л: + 8 = р: а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня? 23.20. Длина забора, огораживающего участок прямоугольной формы, равна 20 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 24 м^. 23.21. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 см^. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см больше другого. 23.22. Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 м больше другого и на 1 м меньше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника. 146 23.23. Найдите обыкновенную дробь, если известно, что ее числитель на 2 меньше знаменателя, а произведение числителя и знаменателя равно 15. 23.24. Пешеход прошел 2 км по лесной тропе, а затем 3 км по шоссе, увеличив при этом скорость на 2 км/ч. Найдите скорость пешехода на каждом участке пути, если на весь путь он затратил 1 ч. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Вариант 1 1. Постройте в одной системе координат графики функций у = 2х^ иу = -2х^; сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков. 2. Приведите примеры функций: ограниченных сверху; ограниченных снизу. 3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -у!х — 1 + 3 на отрезке [0; 5]. 4. Постройте график функции у = 4л:^ — 5. 5. Постройте график функции у = х^ + &х + 2. 4 6. Известно, что f > X д:^ + 2 > X б) 4х + 1 _ X -3 \ сумма дробей —-т и —-равна 1? X — 2 X 2 ^ б) При каких значениях переменной разность дробей 1 — Зл: X + 5 4х-3 “ х + 2 равна их произведению? 160 Решите уравнение, используя метод введения новой пере- менной: 026.14. а) — 17×2 -I- 16 = Q; б) х^ -I- 3×2 — 10 = 0; 026.15. а) 4х» — 37×2 + g = О; б) 9х^ -Ь 32×2 — 16 = 0; 026.16. а) х« — 7х® — 8 = 0; б) х« — 9х* -Ь 8 = 0; в) х^ — 10×2 Ч- 25 = 0; г) х^ -Ь 5×2 — 36 = 0. в) 16х^ — 25×2 -1-9 = 0; г) 9х* — 32×2 _ 16 = 0. в) х« Ч- 7х* — 8 = 0; г) X® Ч- 9х® 4-8 = 0. Решите уравнение: 26.17. а) -Ц -ь 1 = X — 2 х2 — 4х -н 4 б) в) г) Зх ч-1 9×2 + 6х -н 1 = 2; 4-1 = 15 X — 3 х2 — 6х ч- 9’ 5х Ч- 1 25×2 + Юл: ч- 1 8 = 1. 26.18. а) -Ц: + ^ б) в) г) X ч- 2 х2 — 2х X® — 4х’ 2________1_ ^ 5 . х2 — Зх X — 3 X® — 9х’ 7 _ X ч- 4 ^ 3×2 _ 38 хч-1 2-2х х2-1’ 2х — 5 _ X ч- 2 X — 5 х2 — Зх х2 ч- Зх х2 — 9 5х — 1 = 0. 26.19. а) ч- ^ б) в) г) л:^+1 X + 1 — X а2 + 56 . За + 2 5 + 8 — 2а + 4 а + 2’ 16 — а2 2а + 1 2 8а^ + 1 4а^ — 2а + 1 2а + 1’ X + S 3 _ 1 9х^ + Зл: + 1 27х^ — 1 Зл: — 1 6 Мордкович 8 кл. ч. 2. 161 •26.20. а) б) в) г) •26.21. а) б) в) г) Решите уравнение: 8 8 — 9 16х^ — 24х + 9 4х^ + Зх’ 18____________1_ ^ 6 . 4х^ +4х + 1 2х^ -X 4х^ — 1’ X + 3______3-х _ 2 4x^-9 4*2 + 12x + 9 “ 2л: — 3’ 1 + 2л:____2л; — 1 _ 8 бл:^ — Зл: 14д:2 +7х 12х^ — З’ д: + 1 л: — 2 X» _ 3^2 ц.^_з X* -1 л:® — Злс^ — д; + З’ 25 _ 8л: + 29 ^ 18л: + 5 4л:»+1 16л: /2лг + 18 = 0; г) х^ — 4у[2х + 4 = 0. 28.21. а) х^ — 2(р — 1)х + — 2р — 3 = 0; б) х^ + 2(р+1)х + р^ + 2р-8 = 0; в) х^ — 2(р — 1)х + — 2р — 15 = 0; г) х^ + 2(р + 3)х + р^ + 6р — 7 = 0. 171 Решите уравнение: •28.22. а) — 2рх — 1 = 0; в) х^ — 4рх + -1 = 0; б) рх^ — 4jc + 1 = 0; г) рх^ — 12х + 4 = 0. •28.23. а) (р — 4)х^ + (2р — 4)л: + р = 0; б) рх^ + 2(р + 1)х + р + 3 = 0. 28.24. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Через 2 ч после отправления из А мотоциклист был задержан у шлагбаума на 6 мин. Чтобы прибыть в Б в намеченный срок, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью стал двигаться мотоциклист? 28.25. Велосипедист проехал 40 км от города до фермы. Возвращаясь, он сначала 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. После остановки велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч и затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до фермы. С какой скоростью двигался велосипедист после остановки? 28.26. В начале года завод выпускал 800 изделий в месяц. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. На сколько процентов завод увеличивал выпуск продукции каждый раз, если в конце года он выпускал уже 1152 изделия в месяц? 28.27. Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался прием студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880? 28.28. Для очистки пруда, содержащего 2800 м^ воды, предполагалось к определенному сроку выкачать всю воду с помощью насосов. Так как насосов было прислано меньше, чем ожидалось, то ежедневно выкачивали на 20 м^ меньше предполагаемой нормы. Через день после истечения намеченного срока оставалось выкачать еще 100 м^ воды. За сколько дней предполагалось выкачать воду первоначально? 172 § 29. ТЕОРЕМА ВИЕТА 29.1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение корней равно -11: а) х^-6х+11 = 0; в) х^ — Их — 6 = 0; б) х^ + 6х-11= 0; г) х^+ 11х-6 = о? Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение: 29.2. а) -Ь 2х — 5 = 0; б) — 15х -I- 16 = 0; в) х^ — 19х -1-1 = 0; г) х^ -Ь 8х -I- 10 = 0. 29.3. а) 2×2 -Ь 9х — 10 = 0; б) 5×2 + 12х -Ь 7 = 0; в) 19×2 — 23х Ч- 5 = 0; г) 3×2 + 113^ -7 = 0. 29.4. а) х2 — 6 = 0; б) 2×2 Ч- Зх = 0; в) х2 ч- 5х = 0; г) 7×2 — 1 = 0. 29.5. а) 0,2×2 — 4;с — 1 = 0; б) 73х2 — 12х -7у/з =0; в) х2 — у/бх 4-1 = 0; г) § х2 Ч- 2х — 1 = 0. О Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения: 29.6. а) х2 Ч- Зх Ч- 2 = 0; б) х2 — 15х -Ь 14 = 0; в) х2 Ч- 8х Ч- 7 = 0; г) х2 — 19х Ч- 18 = 0. 29.7. а) х2 Ч- Зх — 4 = 0; б) х2- 10х- 11 = 0; в) х2 — 9х — 10 = 0; г) х2 Ч- 8х — 9 = 0. 29.8. а) х2 Ч- 9х Ч- 20 = 0; б) х2 — 15х Ч- 36 = 0; в) х2 Ч- 5х — 14 = 0; г) х2 — 7х — 30 = 0. о29.9. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) Xi = 4; Хг = 2; в) Xj = -8; Хг = 1; б) Xi = 3; Хг = -5; г) Xj = -6; Хг = -2. 173 029.10. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) Xi = 2,5; Х2 = -2; в) х^ = -2,4; Х2 = -1,5; 2. ,1. б) = -; лгз = -1-; ч 3 — 2 г) = р ^2 = -Ig* 029.11. Может ли квадратное уравнение х^ -h Ьх — 8 = 0: а) не иметь корней; б) иметь равные корни; в) иметь два различных корня разных знаков; г) иметь два различных корня одного и того же знака? 029.12. Пусть Xi и Х2 — корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0. Найдите: а) Ь и с, если а = 2, jCj = 3, JCg = -0,5; б) а и с, если Ь = -1, Xi = 3, JCg = -4; в) а и fe, если с = 4, х^ = -2, jCg = -0,25; г) а и с, если Ь = 6, = 3, JCg = -4. 029.13. При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения х^ + (р^ + 4р — 5)х — р = О равна нулю? 029.14. При каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения х^ -h Зх + (р^ — 7р + 12) = О равно нулю? Разложите на множители квадратный трехчлен: 029.15. 029.16. 029.17. 029.18. а) — lljc -h 24; б) х^-2х- 15; а) -х^ И- 16jc — 15; б) -л:2 — 8JC + 9; а) Зх^ -h 5х — 2; б) 6х^ + 5х+ 1; а) -Зх^ — 8х -h 3; б) -5х^ -h 6х- 1; в) х^ -h 7х + 12; г) x^-h3x- 10. в) -х^ -h 5х — 6; г) -х^ -h 7х + 8. в) 5х^ -h 2х — 3; г) 15^2 — 8л: -h 1. в) -2х^ -h 9х — 4; г) -4л:^ — Зл: -h 85. 029.19. Сократите дробь: X + 4 а) б) +7х + 12’ Зх^ — 10х + 3. -Зх ’ в) г) л: + 1 + 4л + 3 5л^ + л — 4 + л 174 029.20. а) б) 029.21. а) б) Сократите дробь: 2х^ +9х + 7 х^ -1 9x^-1 . Зх^ -8л: -3’ л:^ -8л:+ 15. л:^ + 7л: — ЗО’ 6л:» + 7л: — 3. 2 — л: — 15л:» ’ в) г) в) г) 2л:» + 7л: — 4. л:» — 16 ’ 4л:» — 1 2х» -9х-5‘ 6л:» — 19л: + 13. 2л:» + 7л: — 9 ’ 21л:» + л: — 2 2 + 5л: — Зл:» ■ 029.22. Упростите выражение: а) б) 2л: л: + 2 л:» — л: — 6 х-З) 2л:+ 1’ 10 Зл ‘i . Зл + 2 л + 1 л»-Зл-4 л-4 Решите уравнение: 029.23. а) ^ — 4х S X — 1 х-З б) 029.24. а) б) 18 л» — 7 л-8 л» -7л- 8 л + 1 л» +14 . 10 Зл л» — л- 2 л + 1 л-2’ 6 Зл л» + 20 л-4 л + 2 л» -2л- 8 029.25. а) ^ х^ — Зх 2 X — 1 X — 2 2х^ + 9х Зле + 2 _ 2ле + 3 ^ле^-ле-б ле + 2 ле-З’ 29.26. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения: а) — 88JC + 780 = 0; в) — 26jc + 105 = 0; б) — 26JC + 120 = 0; г) + 35jc — 114 = 0. 175 29.27. Докажите, что уравнение ах^ Ьх с = О имеет корень, равный 1, если а + Ь + с = 0. 29.28. Используя теорему Виета и утверждение, доказанное в упражнении 29.27, найдите корни уравнения: а) 13х^ + 18JC -31=0; в) 6х^ — 26х + 20 = 0; б) 5х^ — 27х + 22 = 0; г) Зх^ + 35jc — 38 = 0. 29.29. Докажите, что уравнение ах^ Ьх с = 0 имеет корень, равный -1, если а — Ь с = 0. 29.30. Используя теорему Виета и утверждение, доказанное в упражнении 29.29, найдите корни уравнения: а) Зх^ + 18JC + 15 = 0; в) lljc^ + 17jc + 6 = 0; б) 67jc2 — 105JC — 172 = 0; г) Ых^ — 37х — 51 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 29.31. а) Xi = у[2, Х2 = -у[2; б) Xi = Зл/б, Х2 = -3yjb; в) Xi = у[7, Х2 = ; г) jCi = 9>/2, Х2 = -9у[2. 29.32. а) JCi = 3 + у[2, Х2 = 3- >/2; б) Х2 = в) Xi = 2 + -у/б, Х2 = 2 — ^Jb; , -4 — у/з -4 + у/з г) ^———————• Разложите выражение на множители: 29.33. а) JC + Qyfx И- 8; в) jc — 12у[х -I- 35; б) л: — 7^/^ — 18; 29.34. а) 7х + 23\fx + 16; б) Зл:^ — lOx^fx + 3; 29.35. а) — 13×2 + 36; б) -2х® + 9х® — 4; 17« г) X + 3\[х — 40. в) 9х + 4-Jx — 5; г) 2х® — Ъх^[х + 2. в) -х^ + 20×2 — 64; г) 15х« — 8х® + 1. 29.36. Разложите квадратный трехчлен на множители: а) — 12л: + 24; б) 4л:^ — 4л — 1; в) л^ — 6л + 1; г) 4л^ — 12л + 7. 29.37. а) б) Сократите дробь: л — 5-/л — 14 л — 2^^- 8’ л^ — 10л^ + 9_ л^ — 2л — 3 ’ 2л + llyfx — 6 в)———-^——-; л + З-у/л — 18 г) л^ — 4л е» — Зл» — 4‘ + бл^ — 4л — 20 29.38. а) — б) л2 + Зл — 10 лз _ 2х^ — 16л + 32 л^ — 6л + 8 в) г) л^ + л^ — 4л — 4 _ л» + Зл + 2 ’ ‘ — Зл=^ — л + 3 л^ — 2л — 3 •29.39. Пусть Лх и Л2 — корни уравнения л^ — 9л — 17 = 0. Не решая уравнения, вычислите: а) х1 + х1; б) х\х2 + x^xl. •29.40. Пусть JCi и JC2 — корни уравнения Зх^ + 8л: — 1 = 0. Не решая уравнения, вычислите: а) х\ + х1; б) л:?л:2 + лг1л:|. •29.41. Дано уравнение х^ — (2р^ 6)л: + (8р — 1) = 0. Известно, что сумма его корней равна -5. Найдите значения параметра р. •29.42. Дано уравнение х^ — (р 1)х + (2р^ — 9р — 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значения параметра р. •29.43. При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения 2рх^ + (р^ 9)л: — 5р + 2 = 0 являются противоположными числами. Найдите эти корни. •29.44. При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения 2рх^ Н-5л:+р+1 = 0 являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни. •29.45. Дано уравнение х^ + (Зр — 5)л: + (Зр^ — 11р — 6) = 0. Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра р и корни уравнения. 177 •29.46. Разность корней уравнения 2х^ — 15х + р = О равна 2,5. Найдите значение параметра р и корни уравнения. •29.47. Один из корней квадратного уравнения 2х^ — Ых + р = О больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра р и корни уравнения. 29.48. а) Упростите выражение: л: + 12 . f_3 [2х^ + 9 — 9х 5л: — 3 9- х\ 9а ^ 15а® — 60а За® + 5а — 2 12а + 1 а + 1 ^ 15а — 12 •29.49. а) + д _ 4 9(5д _ 4) j а + 7 ’ 5(а + 4) . Г9(а-1) _ (2а — 7Г ^ а — 1 *1за + 4 За® а — А 029.50. Докажите тождество: а)1^+ ^ л: + 2 л:®+5л: + 6 л: + 3 л:-3 л: + 1 л:®-2л:-3у 2л:+ 1 3-л: 3 X 3 + л: 3 = 1. Решите уравнение: •29.51. а) б) 29.52. а) б) 16 -7х + 10 Зх^ — 12 2х^ 8 = 1; = 1. 2х^ +Х-3 2х^ -Зх-9 Юл; + 5 д: — 1 21 21л; — 14 2л: + 3 бд:^ + 5д: — б’ 4 . д; — 2 2д; +1 6х^ — 13д; + 6 бд; — 4 Юд: — 15 29.53. а) + 13 2д; + 1. б) 6л: — 4 6л:® + 5л: — 6 4л: + б’ 8л: — 1 ________________ ^ л: — 1 ^ 2л: + 1 Юл:® — 19л: + 6 Юл: — 4 4л: — 6* 178 •29.54. Решите уравнение: V X — 1 , л: + 3 а) ;———- + 4л: — 1 б) л:^ — 2л: — 3 л:^ — 2л: — 8 2л:^ — 6л: — 8’ 2 л: Зл: + 1 2л:2 — л: — 1 л:^ — л: — 2 Зл:^ — 3 29.55. Найдите значение выражения при х = 2007: а) f ^ 1 ^ 1 2* 1 . 2л: + 1 л: — 12. 1л: — 3 ‘ л:^ — 5л: + 6 ‘ х-2) * 3 9-Зл:’ б) f 2л 1 1 4 ^ X 1 3 — л: 1л: + 3 ‘ л: — 1 л:^ + 2л: — 3 j 2л + 1 6 + 2л’ §30. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решите уравнение: 30.1. а) yjx + 2 = 3; б) у/4х + 1 = 3; 30.2. а) — 1 = 2; б) л/ 4х^ + 5 = 3; оЗО.З. а) yj 4л:^ + 5л: — 2 = 2; в) -Jx — 5 = 9; г) >/7х — 1 = 3. в) V3 — 2×2 ^ 1. г) V6 + 5л:2 = 2. в) >/23 + Зл: — 5л:^ = 3; б) >/23л — 14 — Зл2 = 0; г) >/5л^ + 22л — О30.4. а) |2л: + 3 V л-1 “ ’ в) /5л-1 _ V л: + 3 б) 1^+5 -4-\4л:-1 г) О30.5. Докажите, что уравнение не имеет корней: а) >/5-л +2 = 0; в) >/Зх — 1 +1 = 0; б) >/л — 4 + >/л:^ — 3 = 0; г) ^Jx — 8 + 3 = >/l6 — л. 17» оЗО.б. Решите уравнение: а) yj7x — 4 = у]5х + 2; в) ^]3х + 4 = >/5л: + 2; б) yj2x — 5 = V4л: — 7; г) + 1 = л/2х ^^. Используя метод введения новой переменной, решите уравнение: 030.7. а) X — 6-у/х +8 = 0; б) X — +6 = 0; 030.8. а) X + ^/x = 30; б) X — 4>/х — 12 = 0; в) X — 7у[х + 12 = 0; г) X — Зл/х +2 = 0. в) X + л/х = 12; г) X — 3^/x — 18 = 0. оЗО.Э. а) Vx — 20 = 1; в) ^/x — = 1; б) ^/^ + 3 = -^; Vx г) V^ + 4 = ^i. Vx 030.10. а) (5х — 1) + V5x — 1 = 12; б) (2х + 3) + V2x + 3 = 2; в) (7х + 4) — V?x + 4 = 42; г) (12х — 1) + Vl2x — 1 = 6. Решите уравнение: 030.11. а) у]7 — Зх = X + 7; б) V3 — X = Зх + 5; в) ^Jl5 + Зх = 1 — х; г) V34 — 5х = 7 — 2х. 030.12. а) sJS — 2х = х; б) -у/5 — X = X + 15; в) 73 + 2х = X — 6; г) Vl “ 5х = 7 + X. 030.13. а) -у/х — 4 + X = 6; б) 5х — л/Зх + 4 = 2; в) -у/бх + 1 + 1 = 2х; г) у]7 — Зх + 3 — X = 0. 180 Выясните, равносильны ли уравнения: 30.14. а) X + 1 = 2 и jc-2 = l; б) у12х + 1 = 3 и х^ = 16; в) yjb — X =3 и = 16; г) + 4 = 5 и 2<х - 3) = 15 - JC. 30.15. а) л/jT+T =3 и - 7JC - 8 = 0; б) у[х = X - 2 и = 5jc - 4; в) yjl - X = -2 и + 4jc + 8 = 0; г) у/4х + 1 = JC - 1 и - 12JC + 36 = 0. Решите уравнение: 30.16. а) yj4x + 3 = л/4л:2 + 5л: - 2; б) V6jc^ - 2jc + 1 = >/3jc + 2; в) л/ 2jc^ + 3jc — 1 = yj5x -1; г) yISx — 3 = yj x^ + 4x + 1. 30.17. a) yjx^ + 2jc + 5 = yjx^ — 3x + 10; 6) V- 3jc + 1 = V3jc^ — 4jc + 2; b) V + 5jc — 1 = V + 2jc — 3; r) л/бл:^ + JC — 15 = ^ + 1- 30.18. a) yj2x^ + 3jc + 1 = JC + 1; 6) >/5jc^ — 3jc + 2 = JC — 3; 30.19. a) yjx \ = 2 + у1 X — 19; 6) y/x + S = yjlx + 9 — 1; b) yjX — 13 — yjX 3 — 3; r) yj3x-5 = 1 + V^:-2. b) у1 x^ + JC + 1 = JC + 2; r) V3jc^ + JC + 30 = JC — 5. 181 Решите уравнение: 30.20. а) -у/15 — X + — X = 6; в) у/х — 1 — yj6 — х = 1; б) yj3x + 7 — yjx + 1 = 2; г) yJx-2 + yJx + 3 = 2. 30.21. а) >/4 — 2х + yj2 + х = б) у/х + 7 = у13х + 19 — у1х + 2; в) yj3x + 1 + yjx — 4 = 2у[х; г) yjx -2 + yjx + 3 = у1бх — 11. 30.22. а) л/д: + 1 — sl9 — х = yj2x — 12; б) л/д: + 1 + л/4д: + 13 = yj3x + 12; в) yj2x + 5 + yj5x + 6 = yjl2x + 25; г) yj2x + 3 — yj4 — X = yjl — X. •30.23. a) (x^ + 1) + 2л/+ 1 = 15; б) л/д;-2 — +2 = 0; yJx-2 в) 2(x2 — 9) + Зл/лг^ — 9 -5 = 0; yJx-1-2 _ yjx-1-6 г) yjx-1-4: yJx-1-7′ •30.24 a) + / 3x + 2 2д:-3 „ . + J:r—^ = 2,5; 2д:-3 \3x + 2 6) — 2,5 = 3^; . I Д:-1 2л; + 1 _ V 2д: + 1 V Д:-1 3 ’ 182 ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 Вариант 1 2г2 + fSr — 7 1. Сократите дробь 7 • 2. Решите уравнение: а) 2(х + 4)- х(х — 5) = 7(х — 8); б) 6x^-hx^ 1 = 0. 3. Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение х^ — 2kx -h k — 3 = 0 имело бы только один корень. 4. Решите уравнение = 2. Зл: + 1 9x^-h 6х -h 1 5. Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад, увеличив скорость на 12 км/ч. В результате на обратный путь он затратил на 50 мин меньше, чем на путь от А до Б. Найдите первоначальную скорость автомобиля. 6. Пусть Xi и Х2 — корни уравнения 2х^ — 9х — 12 = 0. Не решая уравнения, найдите: а) xfxz + XiX^; б) ^ + Xi Хг в) + х1. 7. Дано уравнение х^ -I- — 3t — 11)х 6t = 0. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра t и корни уравнения. 8. Решите уравнение X — 1 = yj2x^ — 3jc — 5. Вариант 2 х^ I ОI 3 1. Сократите дробь 3^2 + sx + 5’ 2. Решите уравнение: а) х(х + 3) — 4(х — 5) = 7(х + 4) — 8. б) 2х* — 9х^ + 4 = 0. 183 3. Найдите такие значения к, при которых уравнение — 2кх -\- 2к -\- 3 = О имеет только один корень. 4. Решите уравнение 1 13л:-4 2л: — 1 4л:^ — 4л: + 1 = 4. 5. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите скорость движения автобуса по новому расписанию, если известно, что она на 10 км/ч больше скорости, предусмотренной старым расписанием. 6. Пусть XiH Х2 — корни уравнения Зл:^ — 4л: — 1 = 0. Не решая уравнения, найдите: а) x^Xz + Xixl; б) ^ + Xi Xz в) х1 + х1. 7. Дано уравнение х^ + (4Дг — 1)л: + (k^ — Аг + 8) = 0. Известно, ЧТО произведение его корней равно 10. Найдите значение параметра к и корни уравнения. 8. Решите уравнение ^х^ + Зх + 3 = 2л: -h 1. ГЛАВА 5 НЕРАВЕНСТВА §31. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Замените символ * знаком так, чтобы получилось верное неравенство: 31.1. а) 5,6 * 5,56; в) 6,79 * 6,8; б) -2,4 * -2,39; г) -0,1 * -0,11. « 4 2 7 9 31.2. а) * -f. ’ 11 13’ 3 5 ч 6 1 ®>4*9’ ^ 17 3 31.3. а) 1 * 0,41; в) -1,7 * -l|; б) -2^ * 2,2; г) ^ . 0,25. 31.4. а) 0,4 * в) 2,56 * 2^; 6)-l| *-1,82; г) -0,13 * 31.5. а) 3,7 + 1,02 * 4,26 + 0,5; б) -3,1 + 3,5 * 2,1 — 2,59; в) 5,9 — 1,45 * 2,8 + 1,9; г) 7,31 — 2,33 * 3,11 + 1,88. *» 1 * 1 * ‘!• йч 1^* 3 2. Л* «4“ 5’ ^>-1-4-4 185 Сравните с нулем значение числового выражения: 31.7. а) (-1,21)^ б) (-3,41)^; в) (-5,74)^ г) (-9,85)*. 31.8. а) -f • (-45,14); 5 б) -2^ • 54,235; .) -1,7 : (-Ц) Г) ^ • (-21,489). 31.9. а) -| + |; ч 5 1. 13 2’ б) 2,35 — 2^; ч 4,3 «>-П*7- Запишите на математическом языке следующее высказывание: 31.10. а) Сумма чисел а и Ь больше их произведения; б) квадрат числа т меньше числа п; в) полусумма чисел k и I меньше их утроенной разности; г) утроенное число р больше, чем куб числа р. 31.11. а) Разность чисел ^ и s больше их отношения; б) квадрат суммы чисел т и п не больше их разности; в) разность квадратов чисел k и I меньше их удвоенной суммы; г) произведение двух последовательных натуральных чисел не меньше квадрата большего из них. Известно, что а так, чтобы получилось верное неравенство: 31.12. а) -5а * -5Ь; в) 0,1а * Oylb; б) ’ 6 6 \ а , Ь г) — * —. ^77 31.13. а) а — 4 * 6 — 4; в) а + 1,8 * Ь + 1,8; б) а + 7,3 * Ь 7,3; г) а — 125 * Ь — 125. 31.14. Выясните, какое из вестно, что: двух чисел тПу п больше, а) m + 12 -0,3 — г б) 3,5 — т > 3,5 — п; г) 4,9 + т 2л:; б) -4jc -Зл:? 186 31.16. Известно, что т > п. Объясните, на основании каких свойств числовых неравенств можно утверждать, что верно неравенство: а) -7т 6) 1 — т Ь, если: а) а — 8 > 6 — 8; в) 12 — а > 12 — Ь; б) За > ЗЬ; \ ^ ^ ^ о г) > » ‘ ‘7 7 31.18. Можно ли утверждать, что х 2 — у; в) -41 + х -3,5у; . X ^ У ч 31.19. Известно, что а, Ъ, с, d — положительные числа, причем а > Ъу d а. Расположите в порядке возрастания 1111 числа abed Сложите почленно неравенства: 31.20. а) 13 > 5 и 8 > 1; в) 19 > 12 и 3,5 > 2; б) -1,5 2 и -3 -5,8; в) 0,2 1,7; г) -3,9 > -7,2 и 6,5 2, то: а) За > 6; в) 0,5а > 1; б) -2а -1,5; ч ^ О г) — т 0,09 > -50. 031.24. Докажите, что если Ъ > 0,5, то: а) 2Ь + 4 > 5; в) 4,5Ь — 3,25 > -1; б) -6Ы- 8 2, Ь > 3, то За + 5Ь > 21; б) если а 3, Ь > 5, то 2а + 4Ь > 26; г) если а > 5Ь, Ъ > 2с, то За > 30с. 031.27. Верно ли, что: а) если а > 3, Ь > 5, то аЬ > 15; б) если а 4, то а^ > 16; г) если а 1, то — 2; ‘ а в) если а 7, то а Ы а >3; 3, I > 7. Оцените значение выражения: а) 2k -h 3/; в) k -Ь 1,5/; б) -k — I; г) -4k — 5/. 031.30. Известно, что р > 2, s 1, а > 4. Оцените значение выражения: а) m -h п -h 4; в) 3 — 2т — Ъп; б) 12 — 4а — Зт; г) 7т + Qn + 1. 031.32. Известно, что х > 6, у Ь 3, 6-hl>7. Докажите, что а > 9. Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство: 031.39. а) 3(х + 1) + лг тп; b) 2y^ — 6y + 1 > 2y(y — 3); Г) c^-d^> -2(P — 1. 031.40. а) + 2ху + > 0; б) 9т^ + бтп > -п^; b) 2pq I2cd. 031.41. а) 2х > 2(х — 4) — о^; б) z(z + 1) + 5 > 1 — 3z; B) 4i/2 -3y> 9(y — 1); r) f(f + 5) — 3 > 3f — 4. 031.42. а) (х + 1)(х — 4) > (х + 2)(х — 5); б) (t — 3)(f + 4) (q- l)(q — 8). 031.44. a) > 1, если ab > 0; б) 25r + “ ^ “10, если г 6, если I/ > 0; 16 г) п И- — 0; в) 1/2 + 70 > 16у ; б) а2 Н- 10 > -6а; г) г>2 + 20 > — 8Ь. 031.47. а) (s — 4)(2 — S) 0; г) щ2 — 12тп + 40п2 > 31.48. Сравните числа: а) 2,8 и л/8; в) 4l0 и 3,4; б) л/З и 1,7; г) ург и 2,7. Сравните числа а и Ь, если: 31.49. а) а = О в) а = V8. Ь б) а = у[з, Ь= |^/2; г) а = 47, Ъ •31.50. а) а = ^/2 + ^/7, Ь = Vs ■ f 2; б) а = 2 + Vn, b= 41 + yfiO; в) а = ур7 + л/б, Ь = 3 у/3\ г) а = V3 + Vl5, Ь = 4 + 190 •31.51. Сравните числа а и 6, если: а) а = Т37 — Vl4, Ь = 6- Vl5; б) о = yJTi — -До, Ь = у[б — у[Ь; в) о = л/т? — -у/Тб, Ь = \pf — -Jb’, г) а = До — ^/7, ь= y^n-^[6. 31.52. 31.53. 31.54. Не выполняя вычислений, сравните значения числовых выражений: а) 15,4 : 3,5 и 15,4 : 3,4; в) 238 • 2 и 237 • 2; б) -22,1 • 2,5 и -22 • 2,5; г) -5,2 : 4,3 и -5,1 : 4,3. а) 1,8 : 2,7 и 1,82 • 2,7; б) 32,5 • 0,5 и 32,5 : 0,5; в) 492 • 0,3 и 492 : 0,3; г) 8,34 : 1,1 и 8,34 • 1,1. Зная, что k > I, расположите в порядке возрастания числа: 0,2 + k;l;l- 12; k; k + 2,6; I — 1,45. 31.55. Можно ли утверждать, что а > Ь, если: а) Зо + 12 > ЗЬ + 10; б) f > 2; 31.56. Верно ли, что: а) если х^у > 0, то у > 0; X б) если ^ > о, то JC > 0; в) 7а > 5Ь; г) — > h Ь а в) если ху^ о, то JC > о? У •31.57. Верно ли, что: а) если б) если в) если г) если а S 1 а-2 8 а-2 12 а-1 > 1, то 3 3; > 2, то 2 5? •31.58. — 5а 12Ь ^ . Докажите неравенство ^ ^ 4, если известно, что а и Ь — числа одного знака. •31.59. Докажите неравенство: а) а» + 2&2 + 2а5 + 25 + 2 > 0; б) (а + 5) > 4. Докажите неравенство: •31.60. а) 2а^ + > 2аф + с); б) (х^ — y^f > Аху <х - yf. •31.61. а® + 1 >+ а, если а > -1. •31.62. л/а + 4ь > ^Ja + Ъ, если а > О, Ь > 0. •31.63. + Ь® О, Ъ > 0. •31.64. -7(а + с)(Ь + d) > yjab + yfcd, если а > О, Ь > О, с > О, d > 0. •31.65. -^ + 4= > Та + Тб, если а > О, 6 > 0. yjb yja § 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ 32.1. Является ли возрастающей функция, график которой изображен: а) на рис. 68; в) на рис. 70; б) на рис. 69; г) на рис. 71? Рис. 68 Рис. 69 192 Рис. 70 Рис. 71 32.2. Является ли убывающей функция, график которой изображен: а) на рис. 72; б) на рис. 73; в) на рис. 74; г) на рис. 75? Рис. 74 7 Мордкович 8 кл. ч. 2. Рис. 75 193 32.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен: а) на рис. 76; в) на рис. 78; б) на рис. 77; г) на рис. 79. Рис. 78 Vi i 1 1 «1 ‘ 5 lO 1 ( 1 X Рис. 77 Рис. 79 i о ■1 3- о ] г X 032.4. Докажите, что функция у = 2х — Ъ является возрастающей. 032.5. Докажите, что функция у = 7 — 13х является убывающей. Исследуйте на монотонность функцию: 32.6. а) У = 2х + 3; в) У = —Х-2-, б) У = 5 — 4x; г) 1/ = ■\-2х. 32.7. а) У = 2х^’, в) у = — 0,5л;^; б) У = -х^; г) 1/ = = -2х^. 032.8. а) У = f; б)» -3. — 9 X в) г/ = 3 — , 4 г)г/= — — 1. 194 Исследуйте на монотонность функцию: о32.9. а) I/ = в) у = -у[х; б)у = yjx — 3; г) у = 2 + 032.10. а) I/= |х|; б) у =-\х\; ъ)у = \х\ + 2; r)i/ = |x-l| IX, если л: 0. X а) Найдите /(-2), /(1), /(5). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции. если -1 0. а) Найдите /(-1), /(0), /(4). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции. —, если -1 7а — 17 значение а, равное: а) 2; б) 6,5; в) -у[2; г) yJlS? 33.2. Какое из чисел -1, 7, >/5, у является решением неравенства Зх > X 2? 33.3. Найдите любые два решения неравенства 9л: -I- 1 > 7л:. 7* 195 Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:’ 33.4. а) л: + 1 > 0; в) X + 2,5 0. 33.5. а) 2х > 8; в) 5х > 25; б) 4х -33; в) -6х > -12; б) -8х > 24; г) 13х 0; в) 4х — 5 0. 33.8. а) 2х + 3 > 7; в) -5х — 1 > 24; б) -Зх + 4 4; в) 6(х — 1) -2. ОЗЗ.Ю. а) При каких значениях а двучлен 5а 3 принимает положительные значения? б) При каких значениях Ъ двучлен 23Ь +11 принимает отрицательные значения? 033.11. а) При каких значениях с двучлен 13с — 22 принимает неотрицательные значения? б) При каких значениях d двучлен 2d + 4 принимает неположительные значения? 033.12. а) При каких значениях т двучлен Ът + 8 принимает значения большие чем 2? б) При каких значениях п двучлен 7/1+1 принимает значения меньшие чем 1? 033.13. а) При каких значениях р значения двучлена 9р — 2 не меньше значений двучлена Зр + 4? б) При каких значениях q значения двучлена llg + 3 меньше значений двучлена bq — 6? Решите неравенство: 033.14. а) 2а — 11 > а + 13; б) 8Ь + 3 3 — d; б) 3/а + 17 7 — 6с; г) 3 — 2jc 12 + 9р. 196 Решите неравенство: 033.16. а) -2х + 12 > Зх — 3; б) 6г/ + 8 -3(2 — 5х); б) -(6г/ + 2) + 3(1/ — 1) > 0; в) 2(3 — 22) + 3(2 — 2) 0. в) 52 — 14 7t — 7. 033.18. а) 2(x + 1) — 1 0; в) 2(3 — 4д) — 3(2 — Зд) 7а + 2; б) 7Ь-3> 7(1 + Ь); в) 4(2 + 32) + 3(4 — 42) > 0; г) 5(4d — 3) + 5(3 — 4d) 1; а)^ 0; 3 12-9х > 1; 0; 5л:-7 4 1 + 2л: -2 Зл: + 1 4 23-5л: 11 в) -2(42 + 1) -4(2t + 2). B)ff>2; >0; 3; г) ^ — 2d Зх — 5; г) у > X 2. 197 33.26. а) При каких значениях переменной произведение выражений 3jc-I-8hjc-I- 12 больше утроенного квадрата второго множителя? б) При каких значениях переменной произведение выражений 2jc -h 5 и 8jc — 15 меньше квадрата выражения 4х — 3? 33.27. Решите неравенство: а) а(а — 2) — > 5 — За; б) 3х(3х — 1) — 9х^ 100; г) 7с(с — 2) — с(7с + 1) 3,6т; б) (12п — 1)(3п + 1) (2q + 3)(Sq — 1). 33.29. . 2а — 1 5а — 2 а) -V- -2; ^ 8а + 5 .. Зу — 2 г) Л— — 1 7. Найдите наименьшее целое решение неравенства: 33.33. а) 7(х + 2) — 3(х — 8) > 10; б) 3(х — 2) — 4 > 2(х + 3). 33.34. 198 ^ 2л: — 3 9 — 4л: ^ а) —г- + 1- •33.35. Прежде чем разбить лагерь на берегу реки, туристы проплыли по реке и ее притоку 10 км, причем часть пути они проплыли по течению, часть — против течения. Определите, какое расстояние проплыли туристы по течению, если известно, что в пути они были менее двух часов, собственная скорость лодки равна 5 км/ч, а скорость течения реки и ее притока равна 1 км/ч. •33.36. Дачники прошли от поселка до станции расстояние 10 км. Сначала они шли со скоростью 4 км/ч, а затем увеличили скорость на 2 км/ч. Какое расстояние они могли пройти со скоростью 4 км/ч, чтобы успеть на поезд, который отправляется со станции через 2 ч после их выхода из поселка? •33.37. Чтобы попасть из поселка А в поселок Б, нужно доехать по шоссе до пункта С, а затем свернуть на проселочную дорогу. Путь от А до С на 15 км длиннее, чем путь от С до В. Скорость мотоциклиста на шоссе равна 50 км/ч, а на проселочной дороге 40 км/ч, причем на весь путь от А до В он тратит менее трех часов. Чему равно расстояние от А до С, если известно, что оно выражается целым числом десятков километров? •33.38. Из города А в город Б, находящийся на расстоянии 240 км от А, выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через некоторое время вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч. Прибыв в Б, автомобиль тотчас повернул обратно. На каком расстоянии от А автобус встретился с автомобилем? §34. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Постройте график функции у графика решите неравенство: = — 4х 3. С помощью а) — 4л: + 3 > 0; в) — 4jc -h 3 0. Решите неравенство: а) л:^ — 6л: — 7 > 0; в) л:^ + 4л: + 3 > 0; б) л2 + 2л: — 48 0; в) -л;2 + 16л: — 28 > 0; г) -л:^ + 4л: — 3 0; б) Зл:^ — 7л; + 4 0. 034.5. а) -5л;^ + 4л: + 1 > 0; б) -2х^ — 5л: + 18 0. 034.6. а) (л: — 2)(л: + 3) > 0; б) (л: + 5)(л: + 1) 0. 034.7. а) (2 — л:)(л: + 1) > 0; б) (л: — 3)(4 — л:) 0. 034.8. а) (2л: + 1)(3л: + 2) 0; г) (1 — 2л:)(3 + л:) 5х — 1; б) -5х^ 4 — 8л:. 034.10. а) л:» — 6л: + 9 0; в) х^ — 16л: + 64 > 0; г) -х^ + 4л: — 4 0; б) -9х^ + 12л: — 4 0; г) Збл:^ + 12л: + 1 0; б) 5л:» — 2л: + 1 > 0; в) 7л:2 — л: + 3 0; г) -5д:^ — л: — 1 > 0. 034.14. а) л:^ — 2л: — 1 > 0; в) -х^ — 2х + 2 0. 034.15. а) л:» — 36 > 0; б) л:» + 7 0. 034.16. а) 4л;2 — 9 0; г) 64 — 49х^ > 0. 034.17. а) л:^ 25; в) л:» > 625; г) 16л:2 0; б) х^ + 0,5д: 0. 200 034.19. Решите неравенство: а) > 25х; в) х^ l,8x. 034.20. При каких значениях х: а) трехчлен 2х^ + 5л: + 3 принимает положительные значения; б) трехчлен -х‘ значения? -^2 _ X — 36 принимает неотрицательные 034.21. а) Сколько целочисленных решений имеет неравенство х^ — 6х-6 -40. Установите, при каких значениях х имеет смысл выражение: 034.23. 034.24. 034.25. 034.26. 034.27. б) в) ^х^ — 6л: + 5; у1 х^ + Зд: + 4; г) yj2 + X — х^. ^9-х^; в) yj9x^ — 1; 1 г) 1 sll6x^ — 81 ’ V4 — 25х^ ^2х — х^‘. в) s]5x — х^; isl6x^ — 2хГ; г) <^Зх^ -12хУ\ у1(х - ЗКх + 2); в) у1(х + 5)(4 - X); (у1(х-Ш2-х)У; г) <у1(х - 6)(2х + 3)У\ у1(х^ - 5л: + 6); в) у1(х^ - X - 12)-‘; у1(-2х^ +5х- 2)-‘; г) у1(-Зх^ -Юж -3)-‘. 201 Решите неравенство: 34.28. а) 5х^ >2х; б) > 12; в) 4х J. о У 34.29. а) 2л:(3л: — 1) > \х^ + 5л: + 9; б) Зл:^ + 40л: + 10 0; б) + 12у^ — 64 > 0; г) г» + 3z^ — 28 0; б) -3 — X — 20 >0; в) г) 42 — х^ — X -5 2jc + 15 — jc2 о и jc2 — 5JC — 14 >0; б) + 6jc — 16 О и (х^-6х + 8)1 > 0; х^-7х — 10 г) 7х — 10 О? 34.35. а) Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х^ -1- Юле /l9 — 6; в) 1 — yfS; г) 19 о35.7. Упростите и вычислите с точностью до 0,1: а) Vl8 + л/8 + -Щ; б) ^/48 + ^/^2 — ургЕ. о35.8. Упростите и вычислите с точностью до 0,01: а) 4^ + 4^ — Vl47; б) 0,5^/^ — 4^ + ^Vl62. О 204 35.9. Оцените погрешность приближенного равенства: а) V2 = 1,4; б) я = 3,14; в) | = 1,57; г) 7з = 1,73. 35.10. Упростите и вычислите с точностью до 0,1: а) 0,lV^ — 2V0,08 + 4^/^ — б) sJ- — — 0,2^/3125; V 5 2 в) ^/m — 2^/^ — ^/8^ + V1584; г) + Vl80 — JSO. 14 •35.11. Упростите и вычислите с точностью до 0,1: а) 7з-V29-I2V5 ; б) Vs — 7l3 + 7^ • § 36. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА Представьте в виде степени числа 10: 36.1. а) 100; б) 10000; в) 1000; г) 10000000. 36.2. а) 0,001; б) 0,1; в) 0,00001; г) 0,0001. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа: 36.3. а) 2300; б) 75000; в) 12; г) 620000. 36.4. а) 0,0035; б) 0,00007; в) 0,00024; г) 0,91. 36.5. а) 350 • 10″; б) 0,67 • 10″; в) 85 • 10^ г) 0,015 • 10″. 36.6. а) 0,73 • 10″; б) 512 • 10″; в) 0,43 • 10^; г) 3900 • 10^ Выполните действия (ответ запишите в стандартном виде): 036.7. а) (0,2 • 10″) • (1,4 • 10-«); в) (3,7 • 10-‘) • (7 • 10″); б) (2,4 • 10») • (0,5 • 10-«); г) (5,2 • 10‘^) • (3 • 10 «). 036.8. а) 0,2 • 10″ + 1,4 • 10″; в) 5,2 • 10″ — 0,5 • 10″; б) 7,8 • 10 ‘ + 7 • 10″; г) 6,1 • 10 » — 9 • 10-^ 205 Вьшолните действия (ответ запишите в стандартном виде): 036.9. а) 1,5 • 10-^^ . 0,06 • 10 » ’ 2,7 10» . 3,6 10-«’ в) г) 4,8 10-^ 0,24 10-*’ ’ 1,44 • 10-’ оЗб.Ю. а) б) 1,8 10^ (2,89 • 10-«)- (0,2 10″), 3,4 • 10-» 0,25 10-*» (0,45 • 10″) (3 • 10-«)-» ’ в) г) 6,3 • 10-«°_______. (0,15 10**) (4,2 10 *»)’ (2 • 10″)-» • (9,6 10’) 0,24 10″® o36.ll. Сравните числа а и &: а) а = (1,4 • 10-«) • (5 • 10 *) и Ь = 0,006; /г\ 3,6 * 10 ’ L л ЛА1 б) а= g и Ь = 0,001; в) а = (4,2 • 10″) • (2 • 10″) и Ь = 700000000; 5,4 10® г) а = 9 • 10^ и Ь = 70. 036.12. Известно, что порядок числа Ь равен 2. Каков порядок числа: а) ЮОЬ; б) ОЛЬ; в) 10Ь; г) 0,001Ь? 036.13. Известно, что порядок числа т равен -4. Каков порядок числа: а) Ют; б) 0,01/п; в) 1000/п; г) 10000т? 36.14. Построенная рабами пирамида египетского фараона Хеопса имеет массу, приближенно равную 7,231 • 10® т. Сколько вагонов грузоподъемностью 64 т каждый потребовалось бы для перевозки такой массы? 36.15. Используя стандартный вид числа, запишите, что: а) в сутках 86400 с; б) атмосферное давление на высоте 100 км равно 0,000024 мм рт. ст.; в) 1 кал равна 0,00419 кДж; г) 1 с составляет 0,0002778 ч. •36.16. Известно, что порядок числа х равен 6. Каким может быть порядок числа: а) х^; б) лс®; в) у/х; г) ^? 206 •36.17. Известно, что порядок числа т равен -4, а порядок числа п равен 3. Каким может быть порядок числа: а) пт\ 6) т п\ в) 10п + т\ г) 0,1т + 10п1 •36.18. Известно, что порядок числа s равен 2, а порядок числа t равен 4. Каким может быть порядок числа: а) St; б) 100s + t; в) 0,01s + t; г) 0,ls^? •36.19. Найдите порядок произведения, частного и суммы чисел: а) 3,252 • 10^ и 2,165 • 10^; б) 4,435 • 10-^ и 7,098 • 10“^; в) 8,389 • 10″ и 9,762 • 10^ г) 7,987 • 10 » и 3,157 • 10 «. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 Вариант 1 . _ 3jc + 5 10 — 3jc 2л: + 7 148 1. Решите неравенство —-— +———> ———- 2. Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной X выполняется неравенство лс» — 8ху/х -1- 18 > 0. + X 5х — 1 х^ + П 3. Решите неравенство —т————— 0. Зх^ + X 2 7х . Зх^ + 17 3. Решите неравенство ^ 5 10 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству у > 2х + 4. 5. При каких значениях х имеет смысл выражение yjx^ + 9jc -I- 14 — X + 2 4jc + 3 6. Дана функция у = f(x), где \х^ — 2, если X 0. 15. Квадратичная функция задана уравнением: а) = 12 — Зх^; в) у = -(х — 1)^ -Ь 4; б) у = 0,5(jc — 2)2; т)у = 2х^ — 4х + 6. Не выполняя построения графика, определите: 1) координаты вершины параболы; 2) ось симметрии параболы; 3) промежутки возрастания и убывания функции; 4) наибольшее либо наименьшее значение функции; 5) множество значений функции. 16. Используя график квадратичной функции, определите, при каких значениях х выполняется условие у = 0, у > 0, у 0; б) -3jc2 + 6jc + 9 > 0; в) ^(jc-1)2-4 0; б) 3jc2 — 6jc + 5 > 0; в) -лс2 + блс — 9 > 0; г) -2х^ + 4jc — 7 > 0. 21. а) При каких значениях т уравнение 2лс2 — 8лс + 5 = /п имеет один корень, два корня, не имеет корней? б) При каких значениях k уравнение -Злс2 — \2х — 1 = k имеет один корень, два корня, не имеет корней? 22. Постройте график функции У — По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 6]; б) значения аргумента, при которых у > 1. 23. Постройте график функции у х-3 найдите: а) координаты центра симметрии гиперболы; б) промежутки монотонности функции. . С помощью графика 213 24. Постройте график функции у = + 3. С помощью гра- фика найдите: а) асимптоты гиперболы; б) множество значений функции. 25. Используя график функции у = 6 JC + 3 — 2, найдите: а) область определения и множество значений функции; б) промежутки монотонности функции; в) координаты центра симметрии гиперболы; г) асимптоты гиперболы. 26. Функция задана формулой: а) у = — +4; б) у = — ж — 3 + 5; в) у = — г) У = ж + 1 5’ — 2. Не выполняя построения графика, найдите: 1) область определения функции; 2) множество значений функции; 3) промежутки монотонности функции; 4) координаты центра симметрии гиперболы; 5) асимптоты гиперболы. k 27. Задайте гиперболу У — формулой, если известно, что она проходит через точку: *4 4’ ‘4 б) [б^2; f I; *> (1^ -4 28. Определите, принадлежит ли графику данной функции точка А, если: а) у = А(-3,9; 100); б) У = -х^ — у[2х -1- 15, a(-V2; 15); A(0;1,2); г) У = Y 214 29. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: 0 а) у = на луче [1; +оо); б) у = х + 1 на отрезке [0; 3]; в) у = — — 2 на отрезке [-4; -1]; У = X-S + 1 на полуинтервале (3; 7]. 30. а) Докажите, что функция у = — 6х — 7 убывает на отрезке [-1; 2] и возрастает на отрезке [4; 6]. б) Докажите, что функция у = -х^ + 2лс + 5 убывает на отрезке [1; 4] и возрастает на отрезке [-3; 0]. 31. Используя свойство монотонности, определите наибольшее и наименьшее значения данной функции на указанном промежутке: а) у = -1- 1 на отрезке J_ :!l Ж 2j’ б) у = -1,5х^ + 6х на отрезке [л/б; л/б]; в) г/ = х + 1 на отрезке [О; л/з]; г) I/ = (д: + 3)^ — 5 на отрезке [-3; ->/б]. 32. Решите графически уравнение: а) JC — 3 = X — 5; в) 2х — 6 =- 4 — в р. » д: + 2 Х + 1″ 5 т) — + 2 = _ ^ X X -2 33. Решите графически систему уравнений: \у = -0,5х^ +2х + 1, [ _ _6 , а) _ 5 б) ] JC ’ д: + 1’ [у = х^ -2х — 4. 215 34. Используя график данной функции, определите, при каких значениях х выполняется условие у = т, у > т, у 0; > 1. 36. Постройте и задайте уравнениями оси симметрии данной гиперболы: в) и = — + 3; г) ы = —^ ‘ ^ JC ^ JC + 2 — 1. Найдите область определения функции и постройте ее гра- фик: 37. а) у = yfx + 4; в) 1/ = -yfx + 1; б) у = •Jx + 6; г) у = yJx — 2 — 2. 38. а) у = в) у = + 2; б) у = л/З — х; г)у = -V2 — X. 39. Найдите наибольшее и наименьшее значения i а) у = ■ у/х на луче [4; +оо); б) у = ^х + 2 на отрезке [0; 3]; в) г/ = -yfx + 4 : на полуинтервале (0; 4]; г) у = ^х-3 + 1 на отрезке [6; 9]. 40. Постройте график функции у = vjc + 4 — 1. По графику определите: а) точки пересечения с осями координат; б) значения аргумента, при которых у 0; в) промежуток, которому принадлежит переменная х, если Укамм У наиб г) значения функции, если 0 /лс — 1 + 2. По графику найдите: а) область определения и множество значений функции; б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10]; в) корни уравнения у<х) = 1; г) решение неравенства у<х) /лс + 2 = 0; б) -у/х + 1 = 4 - 2х; г) у[х Тз = I д: + 1. 43. Решите графически систему уравнений: а) у = х^ — 6х 5, У = у1х -3 — 4; б) у = -у/х + 1 — 1, 2 У = X -1 44. Используя график данной функции, определите, при каких значениях х выполняется неравенство у > Ь, у /х — 1, Ъ = -2; Постройте график функции: 45. а) у = jjcl; б) у = |лс + 1|; 46. а) у = -\х\; б) у = -|д: + 4| — 2; а) наименьшее значение функции; б) промежутки монотонности функции; в) нули функции; г) значения аргумента, при которых у > 0, у 0, у 0; в) 4 — |х — 2| > 0; б) |х + 1| 2. 53. Постройте график функции: з) у = в) г/ = л/(^ 3)^; б) у = л/х^ + 10х + 25; У = -Vx^ — 8х + 16. 54. а) Дана функция у = /(х), где /(х) = Зх^ — 2х + 5. Найдите /(0), /(-3), f(2t), fix + 2). б) Дана функция у = f(x), где /(х) = -4х^ + Зх — 1. Найдите /(1), /(-2), /(Зх), fix — 1). 55. а) Дана функция у = fix), где fix) = Vx — 1. Найдите /(1), /(8), /(0,5х), /(х2 + 1). б) Дана функция у = fix), где fix) = Vx + 4. Найдите /(0), Я-2), /(4х), /(х2 + 4х). 56. а) Дана функция у = fix), где fix) = х^ — Зх + 2. При каком значении х выполняется равенство fix + 2) = fix — 1)? б) Дана функция у = fix), где fix) = х^ — 5х + 6. При каком значении х выполняется равенство fix + 1) = fix — 3)? 218 57. а) Дана функция у = Длс), где f 2 3. б) т =, 2 Используя определение модуля, запишите заданную кусочную функцию в виде у = \f(x)\, •68. Представьте функцию у = /(лс) в виде кусочной функции и постройте ее график, если: а)/(л:) = — 1|; 6) f(x) =-\х^ — 4\. 220 Постройте график функции: •69. а) у = (д: + 4) ‘; •70. а) ^ = — — 2jc + 1. х-1 в) I/ = <\1х + 2) ; г) ^ ^ в) = + 4jc + 4 JC + 2 Удг^ + 4дг + 4 6)У= ^^(д:2-2д:-3); •71. а)у=^; б)у=|^; •72. а) у = 2д:|л:| + 2; б) у = -2x2 _ B)y=g-3; г) У = -Т в) у = -х|х| + 2x2; г) у = 3- + 1- •73. Решите графически уравнение: 8 а) X + 2 + 0,5x2 _ 4^0 = 0; б) 2х - 4 + (х - 2)“ = 0. Решите уравнение: 74. а) х2 + 6х = 0; б) -3x2 = 18^. 75. а) 3x2 _ 27 = 0; б) 18 - 6x2 = 0; 76. а) -5x2 ^ 0; б) 32 + 8x2 = 0; 77. а) 6x2 _ 13^ - 15 = 0; б) -5x2 _ 27д: + 56 = 0; 78. а) -х2 + 4х - 1 = 0; б) 4x2 - 10х + 5 = 0; 79. а) 4x2 + 28х + 49 = 0; б) -3x2 _ 24;с - 49 = 0; в) 12х = 0; г) 4x2 = 28х. в) 24 - 6x2 = 0; г) 5x2 - 30 0. в) (Зх + 4)2 = 0; г) -4x2 _ 40^ в) 9x2 + 40д; + 16 = 0; г) -3x2 ц. 10JJ + 75 = 0. в) х2 + 6х + 2 = 0; г) -5x2 - бх + 1 = 0. в) -25x2 + 80х - 64 = 0; г) 2x2 - 8х + 11 = 0. 80. а) (X - 1)(х - 2) = (Зх + 2)(3 - х) + 2; б) (х + 4)(4х - 3) = х2 + 5х + 4; в) х2 + X + 12 = 2(х + 1)(х - 5); г) 19 - (х - 6)(2х + 1) = (х - 5)(х - 1). 221 81. Решите уравнение: а) б) в) г) 8х^ + X 8 2х^ - 3JC 2 IQjc" - Зх 2 7х + 15 12 1^. 32’ 9х + 2 3-2х^ _ 7 ■ " 5’ 6jc2 + 1 3 - 6^2 82. 83. 84. 85. 86. 87. Одно из двух положительных чисел на 4 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 96. Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше, а другая на 8 см меньше стороны квадрата. Найдите плош;адь квадрата, если она больше площади прямоугольника на 54 см^. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 80 м. Площадь участка 175 м^. Найдите стороны участка. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов на 7 см меньше другого. Найдите площадь треугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 см больше одного катета и на 16 см больше другого. Найдите стороны треугольника. Стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Если сторону второго квадрата уменьшить на 2 см, а сторону первого квадрата увеличить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 35 см^. Найдите стороны данных квадратов. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его гипотенуза 20 см. Найдите катеты треугольника. Диагональ прямоугольника равна 34 см, а его периметр 92 см. Найдите площадь прямоугольника. отстоит от начала координат на 13 единичных отрезков? 88. 89. 90. При каком значении с вершина параболы у = - Юх + с 91. При каком значении а вершина параболы у = ах^ -1- блс - 5 отстоит от начала координат на 5 единичных отрезков? 222 92. а) Найдите значения а, &, с квадратичной функции у = ах^ + Л-Ьх Л- с, если известно, что ее график проходит через точки 2)(3; -2), F(0; 4), Щ2; -4). б) Найдите значения р и g квадратичной функции у = х^ + + рх + Qj если известно, что ее график проходит через точки А(2; -3), В(-3; 7). Решите уравнение методом введения новой переменной: 93. а) х^-2х^ -8 = 0; в) - 11х^ + 18 = 0; б) 2х^ - 19х^ + 9 = 0; г) Зх^ - 13х^ + 4 = 0. 94. а) (х^ + 3)2 - 7(^2 + 3) + 12 = 0; б) 3(6jc2 - xf - 4(6jc2 -х)+1=0; в) 2(jc2 - 1)2 - 13(x2 - 1) - 24 = 0; г) (jc2 - 4x)2 + 9(jc2 - 4x) + 20 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 95. а) Xi = -9, Xi = 4; b) Xi = -7, Xi = -3; б) Xi = 1 2 6’^==" 3’ r) Xx = 5 2 6’ 15' 96. а) Xi,2 = 2 ± ^/3; b) Xx^2 = -3 ± >/5; б) 3 ± Vt. r) -1 ± ^1.2 2 ’ ^1.2 6 3 3 97. а) Вычислите — + — Xi Х2 -2х-6 = 0. где JCi и JC2 — корни уравнения Злс2 — б) Вычислите Xi + лс|> где Xi и Х2 — корни уравнения х^ + + лс — 5 = 0. 98. а) Известно, что х\ х1 = 13, где Х1ИХ2 — корни уравнения х^ + Ьх + 6 = 0. Определите Ь. б) Известно, что — где XiH Х2 — корни уравнения JCi Х2 2 лс2 + JC + с = 0. Определите с. 99. а) Разность корней квадратного уравнения -лс2 + Их + q = 0 равна 3. Найдите значение параметра q. б) Один из корней квадратного уравнения Злс2 — 18лс + с = 0 в 5 раз больше другого. Найдите значение параметра с. 223 •100. а) Найдите значение параметра т в уравнении — (т- 1)х + + (4/п^ — 45/п — 8) = О, если произведение корней уравнения равно 28. б) Найдите значение параметра т в уравнении лс^ — (3/п^ + + 16/п — 8)лс + (т + 9) = О, если сумма корней уравнения равна 4. 101. Разложите квадратный трехчлен на множители: а) + 22х — 23; б) -гх^ -8х + 3; в) + ISx — 77; г) 7х^ + 9х + 2. 102. Сократите дробь: . +2х-63 49-х^ ’ 6х^ + X . 6х^ — Пх — з’ б) г) 8х — х^ х‘ — Зх — 40 5х^ — 12х + 4 25×2 _ 4 Упростите выражение: 103. а) б) 104. а) б) 4 — а 1 а . в) 1 + JC JC + 2. а ‘ 4 + а’ JC 1 + jc’ 2 — с 2 + с. г) 3 1 у 2 + с 2-с’ 3 + у ‘ 3-у 4а а — 1. в) 12х 1 * — 3. а2 -1 а + 1’ — 9 JC + З’ 2Ь-Ъ 1 . г) т + 2 1 52-55 5-5’ Зтп^ — Зт т — 105. а) х2 — 4 2х + х2 5х + 15’ 4z/2 106. а) (5а — Ь) 4у + 4 * у -2′ 6Ь 25а2 — ’ в) г) X — х^ 2х + 10, :2 — 1 ’ 25 — Jc2 6а^ а + 6 + 36 + 12а в) 8Ь -V 4ajc + 4а^ + х^ /о 2 . \ б) ——-———— : (2о2 + ах); Ь2 — 16 г) (Зху — у2): (&2 -8Ь + 16); 2 у2 — 9×2 3«/ 224 Упростите выражение: f_b______ъ + 9^ (3 — bf . 107. Л) ^ + 3 9 _ г,2 j 3b + b^’ + 5у . Г 5 + 25 _ 5 Му — 5)= ■ U + 5 у^ — 25 5 — у X + 40 . Г X — 4 16 108. а) ^3 _ . (^3^2 + Ид; _ 4 16 — х^ )’ б) у» — У У-1 у — 4 \2у^ +3у + 1 у^ 109. а) 1 ^ т + 1 4тп> + 2т + 1 2 — 4т 8т^ — 1 1 + 2т 4т — 2’ б) 2 + 6р 1 + Зр 2 — 6р 27рЗ — 1 1 + Зр + 9р2 110. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной: а) с + 5 12 64 Чс + 8 с2 + 16с + 64j 8 — с’ б) 14 X — I 14JC + 49; 2JC-7 49 _ 7х — 21 х-7 Решите уравнение: 5jc 111. а) Ц±^ = 1 + + JC X б) JC + 1’ JC + 5 50 д: + 5 5 — JC 25′ в) X — 2 JC + 2 ч 3 г) Зд: 10 — JC Зд: — 7 3 — д: ‘ б) 8 13-7д: 1 — д: 1 — Зд: дг-З’ 4 jc2-6jc + 8 2-х X — 4 113. а) 2дс Н—-5 = 0; X в) Зле Н—+ 10 = 0; X б) Зле — 2дс ^ — 1 = 0; г) 4лс + 5 — блс ^ = 0. 225 114. Решите уравнение методом введения новой переменной: 3 а) — 2х = 0; б) в) 1 — г) 15 ^ 2 (х^ — 4xY х^ — 4jc’ JC — 3 х^ + IOjc + 27 , х^ + IOjc + 27 _ о ‘ —————-— z. JC — 3 Решите задачу: 115. Туристы, совершая путешествие, проплыли на лодке по течению горной реки 54 км, а затем еще 6 км по озеру за такое же время, за которое плот проплывает по этой реке 21 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки 12 км/ч. 116. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км по течению за то же время, за которое он может проплыть по озеру 36 км. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 117. Велосипедист проехал от города до поворота на турбазу 24 км с одной скоростью, а после поворота снизил скорость на 3 км/ч и проехал до турбазы еще 6 км. Найдите скорость велосипедиста от города до поворота, если на весь путь он затратил 2 ч 40 мин. 118. Автогонщик на ралли из-за поломки автомобиля потерял 4 мин, а затем на оставшихся 120 км пути наверстал потерянное время, увеличив скорость на 20 км/ч. Найдите первоначальную скорость автогонщика. 119. В состязании по скалолазанию на трассе длиной 10 м соревнуются два спортсмена; скорость одного из них на 0,2 м/с больше скорости другого. Найдите скорости движения спортсменов, если один из них финишировал на 2,5 с быстрее другого. 120. Из города N в город М, находящийся на расстоянии 60 км от N, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 40 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости легкового автомобиля и автобуса, если автобус прибыл в город М на 12 мин позже автомобиля. 226 121. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал автобус, а через 7 мин вслед за ним выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости каждого участника движения, если грузовой автомобиль прибыл в пункт В на 3 мин раньше автобуса. Вычислите: 122. а) 2-3 • 2® • (2-у; 3® • 9″3 б) 123. а) в) (5-1)^ • 5»-5-3; (7-2 )3 . 7-7 (ЗМ-3 5-“ • 15° . (3-=)-з ’ г) 49-« б) 43 • 14-3 7-5 . 27 ’ в) 33 6-(23)— 124. Найдите значение выражения: а) ——. при т = 0,5; а-^ЬЧаЧ)-‘ _ (a-3)2fr-4 а = 15, 5 = 5; ®) —,п при » = 10; г) при с = 6, 3 = 3. 125. Упростите выражение: X X + 2 а) б) х^ — 2х + 1 У + 2 _ — У Х^ + X у у^ -6у + 9 2J (2х-2) -1 (Зу — 9)3 Решите иррациональное уравнение: 3 3; 126. а) yJx +4 = 3; 6»^ + 7 + 2 127. а) Vx3 — 5х = 6; б) — 5л: + 5 = 1; в) \/Зх — 1 = 2л/2; г) <- 2х - 8 = 2. г) 8-3 ■ 1Q3 5® • 2-3 ' в) у/х^ + 6х - 4; г) yJx^ + 5х + 2 = 4. 227 Решите иррациональное уравнение: 128. а) '/х = 2 - х; в) -Jx + 2 = д:; б) 'Jl - X = X - 1; г) ■'/12 - X = X. 129. а) 2>Jx — 1 — ^х +4 = 1; б) yJx + 3 — ^2х — 1 = V3x — 2; в) у/х + 6 — 2yJx — 2 — 1; г) yjx + 1 — yJx — 2 — yj2x — 5. 130. а) yj2x^ + 8л: + 7 — 2 = д:; в) yj2x^ + 8д: + 1 — д: = 3; б) л: + -J2x^ -7х + 5 = 1; г) д: + у/2х^ — 8д: + 1 = 3. Решите уравнение методом введения новой переменной: •131. а) + 2д: — 2у1х^ + 2х = 3; б) + бд: + 24 = Юх/ж^Тбх. •132. а) yj2 — X + = 2; б) у/2- X + 3 ® + 2^х + 1 = 5. yJx + 1 + 1 •133. а) Ю^д:^ — д; — 1 — \1х^ — X — = 7; б) 2у1х^ -9х + 23 — 5 = yJx^ — 9д + 23 ’ 134. Сравните значения выражений: а) л/192 и ——— 7-4>/з 7 + 4>/з’ б) 3 + 2>/2 и л/т + VlO; в) Vl98 и —^ 5^/2-7 5V2+7’ г) 2>/5 + 3 и ^Я0 + >ЯЭ. 228 135. Упростите выражение и найдите его значение: „ч 4т , 4:4т ^ 16. а) ——-+——— при т = 4т +4 т-16 9 ^ ^ 25 О) —=———— при п = —. 4п — ^ п — 26 4 136. Упростите выражение: а) >/^ + 3. л/ж +1;’ i-X ’ б) (2 + -2S + 2j; г) fi + 2V^-^^l(l->/^). I 4а +1J 137. Докажите тождество: \4^ -1 ) 4х -1 б) = ‘ I-а У1 + 4а ) 138. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение выражения не зависит от лс: . (з4х — х4х 4\ ^ . 4х +2 (X — 24х а) [—ГГ»::—-2J б) 3 — JC «J ‘ JC — 4 ’ 139. Найдите значение выражения: 4х — 2 + 1 х-1 4i-i а) >/(3>/2 — 2>/б/ + Зл/2; б) V(2 — ^/7)» + V(3 — >/?)»; в) 4i24lb — г-Jlf — 3-J7; г) — af + — 4)» 229 •140. Решите уравнение: а) — 5i-Jxf -6 = 0; б) + 1)2 -3 = 0; в) + Ux — З)^ -9 = 0; г) л:» + yj(x — 3)2 -9 = 0. Решите неравенство: 141. а) 3 + 2х 2; в) 2 + 5лс > -3; г) 1 — 2х 12 3 — 2х ^ б) — 15 ‘ 2х + 7 V 2 + JC ^ 3jc в) > г) 10 Зх-1 8 15 ‘ 3 — 5JC 20 ’ 143. а) (х — 3)(x + 3) > + 5лс — 4; б) (х + 4)2 9х^ + 3X-S. 144. а) При каких значениях q уравнение лс^ + 5л: + g = 0 не имеет корней? Укажите такое наименьшее целое значение q. б) При каких значениях q уравнение л:2-7л:-1-д = 0 имеет два корня? Укажите такое наибольшее целое значение q. 145. а) При каких значениях а уравнение ах^ -1- 6л: — 3 = 0 имеет два корня? б) При каких значениях а уравнение ах^ -1- 5л: -Ь 15 = 0 не имеет корней? 146. а) Найдите наименьшее целое значение р, при котором раз- . „ 3 — р 5 — 2р ность дробей —-— и ——— отрицательна. 4 18 б) Найдите наибольшее целое значение k, при котором сум-5 — 2k 9 + 2k ма дробей —-— и —-— положительна. Решите неравенство: 147. а) + Зл: + 2 0; б) -9х^ -8х+1>0; в) — 7л: + 12 > 0; г) -х^ + Зх + 4> 0. в) Зл:^ — 4л: + 1 4х; в) 121 0; б) -2х^ + х- КО; в) 9х^ — 6л: + 1 /4д 8JC 154. •155. 156. а) -8х + 15; б) у/(-х^ +9х-20)-^; а) ^/(x^ + 8лс + 16)»^; б) у/(-х^ + 2х — 3)»^; Уз — 5JC — 2х^ . 7х УЗлг^ — JC — 14 . 2JC + 5 ’ в) г) у1(х^ + 7л + 12)-‘ ■J-x^ — 11л — 28. у1х^ + блс -1- 10; ‘J-X^ + 2л — 1. У2 — 5л — Зл^ . 9JC — 4JC — 15 7 -2х Найдите область определения функции: а) I/ = у/2х + 8; в) У = у1(^^ 18)”^; 1 б) у = yJlOx^ — 3jc — 1 ’ т) у = у1ю + Зле — лс^ . 157. 158. Найдите значение k, при котором квадратное уравнение обладает данным свойством: а) 5х^ — kx + 5 = о имеет два корня; б) Зх^ + 2kx — (k — 6) = о имеет корни; в) Зх^ + 2kx + 12 = о не имеет корней; г) 2х^ -kx + k + 6 = 0 имеет не более одного корня. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. а) Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, а его площадь больше 70 см^. Какую длину может иметь меньшая сторона прямоугольника? б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого, а площадь этого треугольника больше 25 см^. Какую длину может иметь больший катет? 231 ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ОРГАНИЗОВАННЫЙ ПЕРЕБОР ВАРИАНТОВ. ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ П.1. П.2. П.З. К главе 1 «Алгебраические дроби» Значение переменной d случайно выбирают среди целых чисел от -5 до 4 включительно. Определите, для сколь- „ , . d(4 + d2) ких значении а значение дроби а) не определено; б) отлично от нуля; — d^) в) отрицательно; г) положительно? Значение переменной а случайно выбирают среди целых чисел от О до 9 включительно. а) Для скольких значений переменной а значение дроби —11 не определено? а(а — 2) Упростите дробь и найдите вероятность того, что значение дроби является: б) не целым числом; в) двузначным числом; г) четным числом. Заполните таблицу значений дроби (если дробь при соответствующем значении t не имеет смысла, ставьте прочерк): t -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 е — 3t — 9 П.4. Какова вероятность того, что при случайном выборе значения переменной t из первой строки таблицы значение дроби будет: а) отрицательным числом; б) целым числом; в) удалено от числа О менее чем на 3? Числитель дроби равен 1, 3, 7 или 10, а знаменатель меньше числителя на 2 или на 5. а) У скольких дробей знаменатель равен 5? 232 б) Запишите все составленные обыкновенные дроби в виде десятичных дробей и составьте упорядоченный ряд данных. в) Найдите объем и размах полученного ряда. г) Постройте круговую диаграмму распределения данных. П.5. Знаменатель дроби выбирают из чисел -10, -4, 4, 10, а ее числитель отличается от квадрата выбранного знаменателя на 3. а) Выпишите все возможные значения числителя дроби. б) Сколько всего дробей можно составить? в) Выпишите все полученные положительные числа. г) Укажите наибольшее отрицательное число. Перебор всех возможных вариантов целесообразно организовать каким-либо способом. Одним из наиболее распространенных приемов является так называемое дерево вариантов. Покажем, как это выглядит 2х-у на конкретном примере. Рассмотрим дробь Допустим, что следу- X + у ет найти все ее значения, если переменная х принимает значения 1, 2, 3, а переменная у — значения 3 или 4. Сначала изобразим выбор х (рис. 90). Выбор X Для каждого из значений х можно выбрать одно из двух значений у (3 или 4). Этот выбор удобно изобразить, как показано на рис. 91. Выбор у Рис. 91 И теперь остается вычислить значения числовых дробей. На рис. 92 представлен итог (некоторые промежуточные вычисления пропущены). 233 2 5 Рис. 92 Дерево вариантов занимает много места на листе бумаги. Зато на нем, как на картинке, хорошо виден весь процесс перебора вариантов. Дерево вариантов можно рисовать и снизу вверх, и из центра в стороны, а можно собрать все в таблицы. 2х-у X + у Х=1 х = 2 х = 3 у = 3 у = 4 у = 3 у = 4 у = 3 У = А 1 4 2 5 1 5 0 1 2 2 7 П.6. аЬ если П.7. Нарисуйте дерево вариантов значений дроби и — и переменная а принимает значения 2 или 4, а переменная Ь — значения 2, 3 или 4. В скольких случаях дробь не имеет смысла? Какова вероятность того, что при случайном выборе значений а и Ь значение дроби будет: а) положительным; б) меньше 5? ^ ^ k + п + т Нарисуйте дерево вариантов значении дроби ———г, КуП 7П) если каждая из переменных k, п, т принимает значения -1 или 2. Какова вероятность того, что при случайном выборе значений переменных значение дроби будет: а) не определено; б) целым числом; в) положительным числом? 234 п.8. Выпускник школы собирается поступать на физический или на математический факультет федерального, технического или педагогического университета одного из городов А, Б, С. Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора университета и факультета, если известно, что: а) в городе В нет федерального университета; б) в городе А в педагогическом университете нет физического факультета; в) технический университет есть только в городе С, но там нет математического факультета; г) во всех городах есть все указанные университеты, а в университетах — указанные факультеты. П.9. б) в) г) Учительница сказала, что на следующем уроке вызовет к доске Олю, а потом ее соседа по парте Толю для решения задач из домашней работы. За ответ у доски, как обычно, можно получить отметку 2, 3, 4 или 5. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов получения отметок Олей и Толей. Сколько всего вариантов получения отметок Олей и Толей? Сколько всего вариантов, при которых получены только «четверки» и «пятерки»? Сколько всего вариантов, в которых нет «двоек»? В некоторых случаях дерево вариантов может оказаться не таким симметричным, как в задачах П.6, П.7, П.8, П.9. Рассмотрим пример. В непрозрачном пакете лежат одинаковые по размеру шары: один черный и два белых. Наудачу вытаскивают один шар. Если он окажется белым, то его возвращают обратно. Если он окажется черным, то его выкладывают на стол. Требуется нарисовать дерево вариантов состава шаров в пакете после двух вытаскиваний. Ответ приведен на рис. 93. ЧББ После первого вытаскивания ЧББ Б/ \Ч После второго вытаскивания ЧББ Рис. 93 •П.10. На столе решками вверх лежат 4 неразличимых по виду рублевых монеты. Три из них настоящие, а одна — фаль- 235 шивая, у которой на обороте ничего не изображено. Наудачу берут поочередно три монеты. Настоящую монету кладут в кошелек, а фальшивую — выбрасывают. а) Нарисуйте дерево вариантов состава монет на столе. б) В скольких случаях в кошелек будет добавлено 3 рубля? в) Какова вероятность того, что в кошелек ничего не будет добавлено? г) Какова вероятность того, что в кошелек будет добавлено ровно 2 рубля? К главе 2 «Функция у = у/х. Свойства квадратного корня» П.11. В записи * Е -19, -0,(19), yfl9, а вместо I вместо * можно поставить одно из чисел: — один из символов числовых множеств: ЛГ, Z, Q. Будут получаться различные утверждения (верные или неверные), например: -19 Е Ny -0,(19) Е Q и т. п. а) Сколько получится утверждений, у которых на первом месте стоит 719? б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений. в) Сколько всего утверждений получится? г) Сколько среди них верных утверждений? П.12. П.13. В записи * ^ ■ вместо * можно поставить одно из чисел: 17 один из символов чис- -3,0,(317), —, л/З, а вместо! о ловых множеств: N, Z, Q. Будут получаться различные утверждения (верные или неверные), например: -3 е N, 7з ^ Q и т. п. а) Сколько получится утверждений, у которых на последнем месте стоит Z? б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений. в) Сколько всего утверждений получится? г) Сколько среди них верных утверждений? В записи * Q Ш вместо * можно произвольно поставить одно из чисел: -7^, 7^. 70,25, вместо Q — поставить Е или ^, а вместо ■ — символ числового множества Q или R. 236 а) Изобразите дерево вариантов составления таких утверждений. б) Сколько получится утверждений, содержащих символ ^ ? в) Сколько всего утверждений получится? г) Сколько среди них верных утверждений? П.14. а) Между любыми цифрами числа 123456 789 можно поставить запятую. Сколько при этом получится десятичных дробей? Какова вероятность того, что после вставки запятой получится число: б) больше миллиона; в) меньше ста; г) дробная часть которого больше 0,3? П.15. Заполните таблицу значений выражения (если выражение при соответствующем значении t не имеет смысла, ставьте прочерк): t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vl + (i — 2)(6 — 0 Какова вероятность того, что при случайном выборе значения переменной t из первой строки таблицы значение выражения: а) не будет существовать; б) будет целым числом; в) будет больше двух? П.16. Дано выражение у/п л-1. Значение переменной п случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 99 включительно. а) Сколько всего значений может принять данное выражение? б) Сколько среди них целых чисел? в) Сколько среди них иррациональных чисел? г) Сколько среди них чисел больше семи? П.17. Дано выражение у/п л-1. Значение переменной п случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 99 включительно. Какова вероятность того, что значение выражения при этом будет: а) не определено; б) меньше десяти; 237 в) принадлежать интервалу (7; 10); г) принадлежать отрезку [2; 6]? П.18. Рассматриваются отличные от нуля целые числа, модуль которых меньше 11. а) Сколько всего существует таких чисел? б) Сколько среди них отрицательных чисел? в) Сколько среди них чисел, модуль которых больше 7? г) Сколько среди них чисел из промежутка (-10; -1)? П.19. В прямоугольнике с вершинами А(0; 0), Б(0; 3), С(9; 3), D(9; 0) отметили все точки с целочисленными координатами. а) Сколько всего отметили точек (включая точки, лежащие на сторонах)? б) Сколько таких точек лежит внутри (не на сторонах) прямоугольника? в) Сколько таких точек лежит на графике функции у = у[х? г) Сколько таких точек лежит выше графика функции у = \fx? п.20. В квадрате ACEG надо пройти по отмеченным линиям (см. рис. 94) из вершины А в вершину Е, двигаясь только вверх или вправо. г D F. В О ^ Н ^ Рис. 94 а) Выпишите все пути, проходящие через вершину G. б) Сколько путей проходит через точку Н? в) Сколько путей проходит через точку В? г) Сколько всего имеется таких путей? k К главе 3 «Квадратичная функция. Функция У = — » П.21. Нарисуйте график функции у = 0,5лс^ на отрезке [0; 4]. Сколько точек с целыми координатами: а) принадлежит этому графику; б) лежит ниже графика и выше оси абсцисс; 238 в) лежит выше графика и ниже прямой г/ = 5; г) лежит ниже графика и выше прямой у = 0,5×7 П.22. Сколько точек, координаты которых числа, лежит на графике функции: натуральные а) i/ = б) г/ = П.23. Сколько точек, с целочисленными координатами лежит: 4 а) ниже графика функции у = — в первой координатной четверти*; 5 б) выше графика функции у = — в третьей координатной четверти*; 3 в) ниже графика функции У второй координатной четверти*; 2 2 г) между графиками функций У включая точки на координатных осях)? Для контрольной работы составляют различные квадратичные функции вида у = ах^ Л- Ъх Л- с. Коэффициент а произвольно выбирают из чисел 2 или 3, а коэффициенты 5 и с произвольно выбирают из чисел -3, -4 (совпадения допустимы). Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратичных функций. а) Сколько всего таких функций можно составить? б) Сколько среди них функций, у которых Ь = с? в) Сколько среди них функций, у которых коэффициенты а, Ь, с попарно различны? П.24. П.25. Для контрольной работы составляют различные функ-ции вида у = ^ ^ ^ Коэффициенты а иЬ произвольно выбирают из чисел -1, 1, 2 (совпадения допустимы). а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких функций. б) Сколько всего таких функций можно составить? в) Сколько среди них функций, у которых а фЪ1 * Не на осях координат. 239 + Ь можно соста П.26. П.27. П.28. П.29. П.ЗО. г) Сколько функций вида у = — JC + а вить, если коэффициент k произвольно выбирают и( чисел -3 или 3? В уравнении параболы у = -х^ + с коэффициент с слу чайным образом выбирают из чисел -1, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что эта парабола: а) не пересечет четвертую координатную четверть; б) будет расположена ниже прямой у = VlO; в) пересечет ось абсцисс в двух точках; г) будет иметь хотя бы одну общую точку с прямой у = 2? Коэффициент k случайным образом выбирают из чисел -2, -1, 1, 2, 3. Какова вероятность того, что график функции = “• а) пересекает и первую, и вторую координатную четверть; б) симметричен относительно начала координат; в) проходит через точку (-1, -2); г) содержит ровно две точки с целочисленными координатами? Коэффициент Ъ случайным образом выбирают из чисел -5, -4, . 3, 4. Какова вероятность того, что график функции у = Л- Ъх: а) пройдет через начало координат; б) симметричен относительно оси ординат; в) содержит точки, у которых обе координаты положительны; г) не содержит точек, у которых обе координаты отрицательны? Случайным образом выбирают точку с целочисленными координатами так, чтобы она лежала выше графика функции у = 2х^ и ниже графика прямой у = 9. Какова вероятность того, что эта точка лежит: а) выше оси абсцисс; б) на оси ординат; в) левее оси ординат; г) выше прямой у = 7? В прямоугольнике АСКМ (рис. 95) надо пройти по отмеченным линиям из вершины А в вершину К, двигаясь только вверх или вправо. Сколько всего путей: 240 а) проходит через вершину М; б) проходит через точку Н\ в) проходит через точку Б; г) можно проложить из вершины А в вершину К1 В D О F Н G Рис. 95 К М К главе 4 «Квадратные уравнения» П.31. Для контрольной работы составляют различные квадратные уравнения вида лс^ -1- Ьлс -1- с = 0. Коэффициент Ь произвольно выбирают из чисел -2, -4, -6, а коэффициент с — из чисел 4, 9. а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений. б) Сколько всего таких уравнений можно составить? в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю? г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень? П.32. Для контрольной работы составляют различные квадратные уравнения вида ах^ -1- Ьлс -1- 1 = 0. Коэффициент а произвольно выбирают из чисел 4, 8, 9, а коэффициент Ь — из чисел 2, 4, 6. а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений. б) Сколько всего таких уравнения можно составить? в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю? г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень? П.ЗЗ. Для составления квадратного уравнения с заранее заданными корнями Xi и Х2 поступают так. Сначала составляют произведение (х — Xi)(x — Х2). Затем раскрывают скобки и приводят подобные члены. Полученный ) Мпппкпнич 8 KJT ч 2 241 п.34. квадратный трехчлен приравнивают нулю. Сколько различных квадратных уравнений можно составить таким образом, выбирая: а) корень Xi из чисел 1, 2, а корень лсг из чисел 5, 6; б) корень Xi из чисел 1, 2, 3, а корень Х2 из чисел 4, 5, 6; в) оба корня из чисел 2, 3, 4, если совпадение корней допустимо; г) оба корня из чисел 2, 3, 4, если корни должны быть различными? Заполните таблицу значений дискриминанта для уравнений вида ах^ + Ьх + с = 0: Уравнение №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 а 3 7 9 -1 4 -1 4 -3 -1 1 Ь 7 7 6 0 5 6 7 -5 2 3 с 4 2 1 3 2 -8 4 4 -1 0 D Какова процентная частота уравнений: а) не имеющих корней; б) имеющих единственный корень; в) имеющих хотя бы один корень? П.35. а) Откройте задачник на с. 154. В каждом из заданий № 25.3—25.7 определите количество корней квадратного уравнения. Результаты поочередно внесите во вторую строку таблицы и подведите в ней же числовой итог. Кол-во уравнений, имеющих 2 корня Кол-во уравнений, имеющих 1 корень Кол-во уравнений, не имеющих корней б) Каков объем проведенного измерения? в) Какова процентная частота уравнений, не имеющих корней? П.36. Уравнение относительно переменной х имеет вид ах + — + с = Оу где коэффициенты а, Ь X натуральные 242 числа от 1 до 5 (совпадения допустимы), а коэффициент с равен 6 или 7. а) Изобразите схематично дерево вариантов составления уравнений такого вида. б) Сколько различных уравнений такого вида можно составить? в) Сколько среди них уравнений, у которых а = Ь? г) Сколько среди них уравнений, у которых с = 2а? П.37. Из графиков функций у = у/х а, где а — некоторое целое число из отрезка [-2; 2], случайным образом выбрали один. Какова вероятность того, что выбранный график: а) пересечет ось абсцисс; б) пересечет обе координатные оси; в) пройдет через точку (0; 1); г) не пересечет ось ординат? П.38. Вот что прочел богатырь на камне у распутья: «Налево, прямо или направо пойдешь — к таким же распутьям придешь, а от каждого из них опять к таким же распутьям придешь, но потом все равно в тридевятое царство попадешь». а) По скольким путям богатырь может доехать до тридевятого царства? б) Сколько имеется путей, по которым придется один раз поворачивать влево и два раза — вправо? в) Сколько имеется путей, по которым придется один раз поворачивать вправо и два раза — влево? г) Сколько имеется путей, по которым придется поворачивать ровно два раза? П.39. Х-файл расположен в директории « Мои документы », где- то в папках А, В, С или D первого уровня. Папка А содержит «подпапки» АА, АБ, АС второго уровня. Папки В и D также содержат по три «подпапки»: БА, ББ, ВС, DA, DB, DC, а в папке С содержатся «подпапки» СА, СВ, СС, CD, СЕ второго уровня. Каждая из папок второго уровня содержит по 7 папок третьего уровня, кроме папки ВС, в которой 8 папок третьего уровня. Все папки третьего уровня содержат только файлы. «Юзер» решил найти Х-файл прямым перебором всех файлов во всех папках. а) Изобразите схематично соответствующее дерево вариантов прохождения путей до файла. б) Сколькими путями можно из папки А дойти до файла? 243 в) Сколькими путями можно из папки «Мои документы» дойти до файла? г) Какова вероятность того, что нужный файл окажется в папке С? •П.40. На левом берегу реки — три деревни, а на правом — два села. Реку можно перейти вброд в пяти местах. Нарисуйте дерево вариантов пути из сел в деревни и дерево вариантов пути из деревень в села. Сколькими способами можно пройти: а) из деревни, где живешь, в какое-нибудь село и потом вернуться в ту же деревню; б) из села, в котором живешь, в какую-нибудь деревню и потом вернуться, но в другое село? К главе 5 «Неравенства» П.41. В неравенстве а > Ъ можно вместо а и Ь поставить 1, 2, 3, 4 или 5. а) Сколько всего числовых неравенств можно получить? б) В скольких случаях полученное неравенство окажется неверным? в) В скольких случаях верным окажется неравенство а > Ь? г) В скольких случаях верным окажется неравенство а > Ь 2? П.42. В записи * Q ■ вместо * можно поставить V2 или Тб, вместо Q поставить знак , а вместо ■ поставить 1, 2 или 3. Будут получаться различные неравенства, например, например л/2 > 1, >/5 /з или л/б, вместо Q поставить знак , а вместо ■ поставить 1,5, 1,7 или 2,3. Будут получаться различные неравенства, например: л/2 > 1,5, V5 окажется неверным; г) со знаком -1; б) |лс + 1| > 0; г) \х\ /2? П.47. Выбрали произвольное целочисленное решение неравенства лс^ -1- 5лс — 14 4; б) 0? П.48. Выбрали произвольное целочисленное решение неравенства 48 — 13лс — х^ > 0. Какова вероятность того, что выбранное число будет также и решением неравенства: а) > о, б) + 10х ^(^’ ®> ^(^’ ^(7Т^ г) а(а — 3) 4.34. а) б) ^ f,, ? в) _2 X ^ 5т + 10 (с — 2)2 2(а — ЬУ ; г) 4х^ (т + 5)2 ’ 3(jc — уУ 4.35. а) г; б) а + Ь’ ^ 9(а — ЗЬ) ; в) — d + с ; г) m ^ ^ .4.36.а)^;б) 4n(m + 2п) ^ 2 ч9. ч1 2-ОРТЧ 2.. Ь-а чЗ ч/^ + ^2-ооч 1 в) -2; г) 4.37. а) б) в) г) 4.38. а) 1-Ь б) г) 248 ; в) а — 3 ; г) — с + 6 3^ + 4 А Ari, Ч 1 . ^Ч ;;—4.40. а) » б) 32-4 ‘ ху ‘ 3 .0^4 5 . 2х-5. , • 4.39. а)———б) -г——-в) m + 4 х + 4’ ‘ 2х +5’ ‘ п+ 7 Р + У . .___3_. Зт — п ^Р(Р — яУ ^ ^ 3т(3т + п) 4.41. а) -;б) р-9 ;в)- у(х — yf (р + 9)2 а(а — bf (z + 7) ;г)/ -4.44.а)- ^ 2(3т + 2)’ JC — 4а . х(х + 4а)’ ® 1 . , с — lOd ^ , а-2. 7л Г’ г) 7——Т7ГГ7- 4.45. а) ——г; б) —— 2(3а + Ь) ‘ с(с + lOd) а + 2 ч^ + г/. . 5 . ^ч 1.^4 г/ + 2 .4 3., b-Z в)——; г) —г- 4.46. а) -—б) 3—„ , . в) 337; г) 26″ X — у Зр + 1 4.47. а) б) С + d л АО ч 2а^ 2т^ ^ ^ 4.48. а) 3—з: б) 3^—-777; в) 37—-3; г) х-1 у^-2у + 4 ‘с + 4 «6» +36+ 9 а» — а6 + 6″ — 2л» — ; в) ———; г) 2ж» т — п 16Z» jc» + XJ/ + «/» б) ‘ лг» — 4л» 9дс» — «/» 4Z» — 9ft» 6 ч 2 — 2d ч 4 4.49. а) а(а — 1)_ а» +1 ’ ч 2 — 2d ч :;в)—зз-;г)— + Зс + 9 ‘8d» +1^ 6″ -26 + 4 , + тп + — ху + ^ 4.51. а) —-г—1 5 б) — . 4.52. а) + Ь + 1 а2 + 2а + 4 100 б) + /1^ 16т2 у^ — х^ (Ь — 5)2 (Ь + 5)2 to Ч 42/о гГ h (2m — 5/i)2 (2m + 5/i)2 c 3 2 6) -2; b) — ;r) -nx. 5.19. a) ————; 6) ——; в) ——; г) т—:- d X a — A 4c b + d 5.20. a) x^-xy-h 1/2; 6)a + b; в) —-—; r)p^ +pq + 5.21. a) 2 _/ n — m + ab + b^ ^4 . .4 4 2 . , m-4 , (x-5)(x-4) a + 2b. 6) n(2a + 1); b) r) —-—. 5.22. a) ————; 6) jc — 3 b) 3(c — 5) ; r) 15 2(c + 6)’ 2n — m 6) 5gjc ■ 2j/ 10a»jc . 5.28. a) 3; 6) —: b) 7: Г) 24 12 ’ . 5.29. a) 4a6; : B) Г) 5.30. a) 6) 9by bbc^ a‘p 6л» Ч X -; в) 35а»6^лг» 15a»i/’ 64a‘® г) -12p9. 5.31. a) 2ay; 6) 2y; в) r) 6t. 5.32. a) 6) в) Ч . oo Ч 9(a — 1) _ (y — 5)(p — 6) ^ (x + 4)(jc + 3) ——6——‘ ——9——’ , 26 ^ , jc-4 7p(p-5) ^ m(m + n) ^ 2(c + 2) r) -—5.34. a) ^ 6) —ТГГ ^—’ ®) ——Z—’ b — 4c 5.35. a) y(^y — 2) 2x ; 6) — I/ + 5 2a(2jc + 7) ; b) m 5(8/1 — 3) ; r) c(c — 2) 2c ^2(3р + 5)* jc-3 2 ‘ p — q ’ ‘ c + d ‘ y(x — y) «jc»(x + 3) 2(2c + 1) ^ 2p(5 + p) ^ 3(1 + 3a) ^ ^ — ab + b\ —o T7^ T7^—TT* 5.38. a) cd(l-2c) 5(5 — y) a(3a — 1) ab 249 б) г) г) ; в) 2JC jc2 — 9 У-2 У 1 — т 1 — т + + 2jc + 4 : г) (X + у)\ 5.39. а) 3^; б) в) х-1 . X (3 — а)(Ь + 1) + 2cd + 4d^ , а) 0. 2 . .. ■ 14» б)———————-; в) 3t ‘ 3 (3 — b)(2b + 3) 2(b^ + б + 1) ’ 2 ’ 2 5.41. а) (5 — 2о)(1 + 4а); б) -(4а + 36); в) (Зс + 2)(3с + 4); 1 46^ 5-6 а(а — 2) г) 2д — 5р. 5.42. а) б) в) г) ^ ^ 5.43. а)(с — af; а(а + 4) 25 б) 6* (6 + а)2(6 — а) (а — 6) ^(а-х)2 (х — 2«/)(х + «/) ^ ч 2. 1 ; в) ——г) —————-г——-. 5.45. а) -; б) 9 12 2 + t « ч 5 . ^ч 2х — «/ , d® + 4 , а — 6 ^ 6.1. а) —; б) —-—; в) —-—; г) —j—. 6.2. а) 5(х + у); б) . ОС У О и t в) 3(а — 6); г) ^ • 6.3. &) т — п; б) в) г) 0.4. а) d /J р /J ^ б) р; в) 3-г 4-01-4I ^ d ; г) q, 6.5. а) —^—; б) —в) ху; г) 2 + 3 X + у а + 2 16 б) 5,6. 6.11. а) б) ^ . Ь + а 4(2 + 2) 1 с + d 8 2 » в) ; г) ^ 4 а — Ь 6.6. а) 1 — с; . 6.8. а) 7; 6.12. а) 1 — 2т; б) 2 — Зп. 6.13. а) б) 6.14. а) б) 1. 6.19. ^ 6.20. -^. 6.21. 1. 71 2р к 4 2 о 6.22. а + 6. 7.9. а) 4; б) 0; в) -5; г) 0. 7.10. а) 5; б) 6; в) -7; г) -8. 7.11. а) +3; б) 0; 2; в) +2; г) 0; -3. 7.12. а) 2; б) -2; в) 4; г) 0,5. 7.13. а) -12; б) 2; в) -3,5; г) 3. 7.16. а) 2; б) 0; в) -1; г) 0. 7.17. а) 0; б) 5; в) 2; г) -4. г) Нет корней. 7.19. а) -32; б) в) -27; г) 7.20. а)- 4 5 7.18. а) г) Нет корней. 7.21. а) 0,4; б) 0,2; в) 6; г) -22. 7.22. 12 км/ч, 30 км/ч. 7.23. 30 км/ч. 7.24. 8 км/ч. 7.25. 6 км/ч. 7.26. 40 км/ч. 7.27. 60 км/ч. 7.28. а) ±1; б) в) ±2; г) 0,3. 7.29. а) 1; б) ±2; в) 6; г) ±3. 7.30. а) 0; 5 о б) 4; в) -6; 0; г) -5. 7.31. а) -8; 0; б) -0,5; в) 0; 19; г) 7.32. а) -5; 0 б) в) 0; 9; г) -^. 7.33. а) 3; б) 4; в) 1; г) 2. 7.34. а) -3; б) 1; в) 2 г) 6. 7.35. а) 0; б) -3; в) 0; г) -2. 7.36. а) Нет корней; б) -7; в) 40; г) нет корней. 7.37. а) б) нет корней; в) г) нет корней. 7.38. а) б) -|. 7.39. а) |; б) 34. 7.40. а) ||; б) -|. 8.12. а) б) 25; в) 250 г) 8.13. а) 13,7; б) -3,5; в) 25,9; г) 2,35. 8.17. а) 4т; б) —; в) 3 а г) 2Sp^q. 8.20. а) б) в) г) + Ь\ 8.21. а) аЬ ab’ б) st(s — t), 8.22. a) 9; 6) 8.23. a) (x — 1) в) 2л/з(Т5 — 2); г) 6(3n/2 + 2Тз). Ск 15.44. а) 2 — 73; б) 5 Vx b) r) — Vc+lVd jg gg a) ^/a + 3; 12 yjc yfnr . m — c -; b) 6) Vc — 10; b) Vc — 9; r) >/d +7. 15.71. a) 6) ^ yfa + yfc ^ ^ ^ 5(Va — l) . r) —=—. 15.72. a) f————-r; 6) yixyz yJmnr . Ч ; b) yfcdm 6 М4ъ-2У 1Ж:гжу 4= A- >fan ^ [r ^ 4 ^ ^ Ч (5 — >/2)(3 + >/2). 6) —; .) Г) 15.77. .) 5) yfan yfz Ч ‘^\fy y, yJc + yfd Ч “ 5)(>/jc — 4) (1 + y[a) . 15.82.a) Vl2fl f 6) yj5ci^ в) л/18о^ ^ ■vc + vc? 9 — Д 4o — 1 r) yj28a^. 15.83. a) 11; 6) 8; в) 2; г) 38. 15.84. a) 6 + 2у/б + 2у1з + 2V2; 254 б) 8- 2n/10 — 2^/5 + 2n/2; b)9+ 4^3 — 2-J& — 2^/2; r)41- 2Тб + 12ч/з — 12n/2. 15.85.3) -2ч/б; б) в) г) 15.86. a) -|>/l5; 6) 9>/S; 7 О 7 0 в) -13n/2; г) 5,7>/3. 15.90. Верно б). 15.94. а) б) т. 15.95.3) б) 15.96. а) 1; б) 36; в) 16; г) 100. 15.97. а) 6^ + 2; б) 39. у/С 15.98. а) А В; г) А /б — 1; б) 6; в) 2>/7; г) -2^/^0. 16.33. а)—г) 1. ч 1 . лч Х + 1 ^ Зж — 1 ^ Ж + 1 16.34. а) -zr-y б)———-; в)———-; г)————. 16.35. а) —i——; Зх ^ Зх(х — 1) ^ 3jc(jc — 1) ^ Зх(х — 1) +1 б) —Ц-; в) г) 16.36. а) -5; б) 2ж — 1; в) 5; г) -5. 16.37. а) -9; 1-Ь’ 6-1’ 6-1 б) 2ж — 7; в) 4ж — 11; г) 9. 16.38. а) (6; 6); (-2; 2); б) (1; -1); в) (3; -3); (6; -6); г) нет решений. 16.39. а) (0; 0); (3; 9); (-3; 9); б) (0; 0); (4; 2). 16.40. а) ж 3; б) ж 1; в) -о° 2; г) нет решений. ГЛАВА 3. 17.27. а) -1; 2; б) -2; 4; в) -2; 1; г) -3; 1. 17.28. а)—г) Корней нет. 17.29. а) (1; 2); (-1; 2); б) (%/б; б); (-ч/б; б); в) (2; 2); (-2; 2) г) (V5; -5); -б). 17.30. а) (0; 0); (2; 8); б) (3; -9); (-2; -4); в) (0; 0) (3; -3); г) (-2; 8); (1; 2). 17.31. а) (4; 2); (0; 0); б) (0; 0); (2; 2); (-2; 2) в) (0; 0); г) (0; 0); (3; 3); (-3; 3). 17.32. а) (2; 1); б) (0; 0); (-2; -8) (2; -8); в) (2; 2); г) (0; 0); (-3; -9); (3; -9). 17.33. а) 2; б) 2; в) 2; г) 3 17.34. а) Нет решений; б) 1; в) нет решений; г) 1. 17.37. а) [0; 3]; б) [0; 12) в) (3; 12); г) [0; 3]. 17.38. а) (0; +оо); б) [3; +оо); в) [0; +оо); г) (3; +оо) 17.39. а) д: 3; б) -3 2; б) -2 В. 17.48. С = D. 17.49. M>N, 17.50. L 1. 17.54. a) -2 1; б) JC 0. 17.55. a) 0 /5 — З) = -1. 18.14. a) 1; б) -1; 4; в) -4; г) -1; 2. 18.15. а) Нет корней; б) 1; в) ±3; г) -2. 18.16. а) 1; б) 4; в) -1; г) 1. 18.17. а) (1; -5); б) (-4; -1); (1; 4); в) (-3; -1); г) (-3; 1); (-1; 3). 18.18. а) (-2; 2); б) (1; -1); в) (2; 4); г) (1; 2). 18.19. а) 2; б), в) нет решений; г) 2. 18.20. б) -2 2. 18.21. б) -1 1. 4 + а . 4 — 2jc 04 . 1 2 + JC 18.22. г) /(a) + 1 = JC + 3 /(JC + 7) — 1 = — JC + 7 fix) — 2 . 18.23. r) fix — 4) = fix-2) + l 6 + 4jc /(2jc) + 1 JC — 2’ Jc-3 /(JC — 1) + 2 = 2jc — 8 JC — 1 ; 2/(jc + 3)-l = 15 + JC JC + 3 . 18.24. a)/(-2) = !,/(-!) = 2, /(1) = 2; 6) f(x) = 2 при X = +1; f(x) = 0 при jc = 0; /(jc) = ^ при x = -4; +|. -1) = -4; Л1) = 6) /(jc) = -2 при X = -2; /(jc) = 0 при x = 0; 1 и X = -8. 18.26. A> В. 18.27. C Q. 18.25.а)Я-4) = -1;] f(x) = при X = 18.29. a) [2; 6]; 6) (-3; 0); в) (-6; -3]; г) (0; 1]. 18.30. a) 6) b) 4x; Г) 18.31. a) 6) f; в) r) 18.32. a) x 4. 18.35. -1. 18.36. а) /(-3) = -3; /(1) = 1; /(n/зЗ — l) = _ 1 19.11. в)у = 3(х + 2f-, т) у = “ 4)^. 19.12. а) у = Vx — 2; г. 19.14. в) г/ = -|х — 4|; в) у = -Vx + 4. 19.13. в) г/ = ^ » “ж + 2′ г) I/ = |х + 3|. 19.15. а), г) = О, = 2; б), в) = О, не существует. 19.16. а) = -5, у„,„б = О; б)—г) не существует, У„.„б = 0. 19.17. а) Рнаим 1. = 4; б) у найм -2, не существует; 254 254 ®) Унемм существует, Унаиб 1^) j/наим “ 1» не существует. 19.18. = 1, Унаиб = 2; б) у„,„„ = у„а„б не существует; в) у„^„ не существует, = -1; г) у„аи« = -2, j/„.„6 = -1. 19.19. а) j/„a„„ = 1, j/ваиб = 2; б) j/b.„„ = 3, j/„a„6 не существует. 19.20. а) j/„a„„ = -2, 1/нанб = -1; б) не существует, «/„,„6 = 0. 19.21. а) = о, j/нанб = 2; б) !/«.„„ = О, «/„>„6 не существует; в) у„„„ = О, не существует; г) = 3, = 6. 19.22. г) х = 1. 19.23. г) х = -2. 19.24. г) X = -1; у = 0. 19.25. г) х = 2; j/ = 0. 19.26. г) -4 4. 19.29. а) 1; 4; б) -4; -2; в) нет корней; г) -3; -7.19.30. а) 3; 0; б) нет корней; в) -1; -4; г) О; 4. 19.31. а) -2; б) -2; 1; в) -1; г) 0; 4. 19.32. а) 2; б) 3; в) -3; г) 4. 19.33. а) /(-1) = т = 1, /(4) = 3. 19.34. а) Л-1,5) = 4, /(-1) = -1, /(2) = -4. 19.40. а) Унаим = О, Унаиб = 3; б) 1/наим = 1, Унаиб не существует; в) унаим = о, 1/наиб не существует; г) 1/наим = О, 1/наиб = 4. 19.41. в) 1/наим = О, 1/наиб = 2; б) 1/„аим = О, 1/наиб Не Су ществует; в) унаим = О, Унаиб не существует; г) 1/„аим = О, Унаиб = 6. 19.42. А L. 19.45. Р = Q. 19.46. а) -2; 1; б) корней нет; в) 2; 5; г) -3. 19.47. а) -3; б) 4; в) -4; г) 0. 19.48. а) -2; б) 6; в) 2; г) 0. 19.49. а) -1; 2; б) 2; в) 1; г) -2; 1. 19.50. а) 2; б) 2; в) -4; -3; -2; г) -1. 19.51. а) (1; 1); (4; 4); б) нет решений; в) (0; -1); (-3; -4); г) (1; -4); (4; -1). 19.52. а) (3; 0); (4; 1); б) (0; 4); (3; 1); в) (0; 2); г) (-1; 0); (-3; 2); (1; 2). 19.53. а)—в) 2; г) нет решений. 19.54. а) 3; б) 2. 19.55. а) О 3; б) JC > 3. 19.56. а) Л-2,8) = 3,6, Л3,84) = 2,2, ЛО) = -2; б) f(x) = О при jc = -1, f(x) = 2 при X = -2, д: = 3, Л^^) = 4 при х — -3. 19.57. б) При р = 0, 2 О при х 2. 20.24. в) у„аиб = 9; г) у > О при -3 О при X 3. 20.25. в) (-°о; 2]; г) у > О при О 4. 20.26. в) [-1; +°о); г) у 0 при JC > 1. 20.27. в) у О при jc 0; г) jc = 0; у = 2. 20.28. в) у > О при -2 0; г) jc = 0; у = -3. 20.29. в) у О при jc 1; г) унаим = “!• 20.30. в) у > О при -3 3; г) 3. 20.31. а) 1; б) 1; 4; в) -1; г) 1; -3. 20.32. а) 1; б) -4; в) 4; г) 0; 2. 20.33. а) /(-1,5) = -0,25, /(1) = 1, /(4) = 4; в) /(jc) = 2 при jc = О и при jc = 2, /(jc) = 1 при jc = ±1, f(x) = -2 при X = -2. 20.34. а) /(-1) = -1, = l|, /(3) = 1. 20.35. А>В. 20.36. К > L. 20.37. а) (1; 1); (-1; 1); б) (1; 3); в) (0; 3); г) (-4; -1). 20.38. а), в) Нет решений; б) (1; -2); г) (4; 5). 20.39. а) /(-2) = 1, /(0) = 3, /(4) = l|. 20.40. а) /(-5) = 2, /(1) = О, /(2) = 1, = 2’ 20.42. а) -2 0 при 1 5; б) на (-о°; 3] функция возрастает, на [3; +оо) — убывает; в) 4; г) jc = 3. 21.19. а) у = 0 при jc = 4; у > О при -2 4; б) на (-°о; -2) и на (-2; +оо) функция убывает; в) (-2; -1); г) JC = -2, I/ = -1. 21.20. а) [-2; +оо); б) [0; +оо); в) (0; -1), 258 (3; 0); г) у > о при х > 3; у О при JC 5; у О при -7 3; г) (-°о; 5]. 21.23. а) -1 4. 21.24. а) Я-2) = О, /(-1) = О, /(0,25) = -2,5; в) /(jc) = 1 при jc = -3; /(jc) = О при JC = -1, JC = -2; /(jc) = -2 при jc = О, jc = -1,5. 21.26. а) р = (jc + 1)^ + 2; 1 б) р = (JC — 2)2 — 3; в) р = (JC + 3)2 + 1; г) р = (jc — 7)2 + 2. 22.5. а) jc = 4’ б) * = |: в) лс = г)х=1. 22.6. а) (-1; -5); б) (-1; 5); в) г) (1; -1). 22.13. с = 10. 22.14. с = -2. 22.15. а) -3, -1; б) «/ван. = -3,1/„аиб не существует; в) -1, 69; г) = 5, 1/„а„б не существует. 22.16. а), в) 3, 4; б) 1/наи», не существует, = 4; г) Уваим не существует, = 3. 22.17. а)—г) -11, 1. 22.18. в) -9; д) у > О при х 1; у О при -1 3. 22.20. а) На ( -оо; 2] убывает, на [2; +оо) возрастает; б) на (-°о; 0] убывает, на [0; +оо) возрастает; в) на (-°о; -1] возрастает, на [-1; +°о) убывает; г) на (-о°; 0] возрастает, на [0; +оо) убывает. 22.21. а) На (-о°; -3] убывает, на [3; +оо) возрастает; б) на (-°о; 1,5] возрастает, на [1,5; +°о) убывает; в) на (-оо; 1] возрастает, на [1; +оо) убывает; г) на (-оо; -2] убывает, на [-2; +оо) — возрастает. 22.22. а) (1; 0), (5; 0); б) (6; 0), (-2; 0); в) (-3; 0), (-1; 0); г) (1; 0), (7; 0). 22.23. а), в) Два; б), г) три. 22.24. а) 1 4; в) JC 5; г) О -1; б) -4 0. 22.26. а)—г) Два. 22.27. а) 2jc1® — 5jc^ + 3; б) -jc^ — 4jc — 7. 22.28. а) с = 2; б) с = 4. 22.29. а) а = 0,35; 6) а = -0,5. 22.30. а) Ь = -2; б) Ь = 16. 22.33. а) /(2) ^(2); г) /(49,7) > /(49,69). 22.34. а) /(-2,43) /(-60); в) /(-у) /(1,1). 22.35. а) ГШ) > /(-1): б) /(-12,473) > /(-12,472); в) /(-1) 0. 23.18. р > -10. 23.19. а) р -1. 23.20. 6 м 3 и 4 м. 23.21. 2 см и 6 см. 23.22. 3 м, 4 м, 5 м. 23.23. —. 23.24. 4 км/ч, о 6 км/ч. ГЛАВА 4. 24.19. а) +5; б) +^; в) ±3; г) ±^. 24.22. а) -6; б) 3,5; О О 9 в) 8; г) -1^- 24.23. а) 0; 2; б) в) 0; г) нет корней. 24.24. а) 0; 9; о 2 б) 0; i; в) 0; -3; г) ±2. 24.25. 1 и 2. 24.26. 2 и 3. 24.27. 4 с. 24.28. 12 см. О 24.29. 4>/3 см. 24.30. 3 км/ч. 24.31. а) р = 1, jc = ±^; Р = 0,5, х = JC = 0; б) р = о, JC = о, JC = 1,5; в) р = -1,5, решений нет; р = -2, х = 0, X = г) р = -3, X = 0. 24.32. а) р = 2; б) р = ±3; в) р = 2; г) р = 1,5. о 24.33. а)р = -10; б) р = -38; в) р = -2; г) р = -21. 24.34. а) р = 16; б) р = 0; в) р = -250; г) р = 0. 24.35. а) 3; 5; б) 10; 2; в) 3; 1; г) -4; -2. 24.36. а) -5; 2; б) 0,5; 2; в) -2; -7; г) -0,5; 1,5. 24.37. а) 0; 3,5; б) ±yf2; в) 0; 7; г) ±^/з. 24.38. а) 0; 17; б) ±1; в) 0; -68; г) +2. 24.39. а) 0; б) +4; в) 0; г) ±1,5. 25.15. а) -2; -3; б) 2; 4; в) -2; 5; г) -7; 3. 25.16. а) 3; -4^; О б) 2; в) 2,5; -|; г) 25. 25.17. а) б) -4,5; -0,5; в) г) |; 25.18. а) т: 4 4 б) 6; 1,5; в) -0,25; г) 25.19. а) 3; 4; б) 2; i; в) -6; 0,8; г) -2. 25.20. а) ±6; б) 0; |; в) ±8; г) 0; 3. 25.22. 8. 25.23. 7 см, О У 12 см. 25.24. 10 и 12 или -12 и -10. 25.25. 9 м, 40 м. 25.26. 10 х 10. 25.27. 17 и 18. 25.28. 49. 25.29. 22, 23, 24. 25.30. 33 см, 56 см, 65 см. 25.31. 20 см. 25.32. 17 и 18. 25.33. 20 и 21. 25.34. 5%. 25.35. 10%. 260 25.36. а) -^/2; -2n/2; б) \ в) -^/5; 4^5; г) — , ^ 4 25.37. а) ^ У^> б) -1,5; 1; в) 1; г) нет корней. 25.38. а) -0,8; 3; о б) -1; 13; в) 2; |; г) -1; 25.39. б). 25.40. 12 команд. 25.41. 15 уча- 6 22 щихся. 25.42. 18. 25.43. 60 км/ч, 80 км/ч. 25.44. 10%. 25.45. а) 1; б) 2; в) 4;г)3.25.46.а)р;р-2;б) в)р + 1;-2р; г) 25.48. а) 1; -2; -3; б) 3; 4; > в) 1; -1; г) 26.1. а) 1; l|; б) -3; 5; в) -2; 12; г) -1; 1. 26.2. а) 0; 3; б) 14; -2. 26.3. а) 6; -2,8; б) -3; 0,8. 26.4. а) 6; б) -2; в) -4; г) -|. 26.5. а) |; б) |; в) |; г) 2. 26.6. а) -6; 1; б) -3; 1; в) -3,5; 5; г) -4; -1. 26.7. а) 3; -1; б) -23; 1; в) 1; 2; г) -27; -1. 26.8. а) -10; 3; б) -3; 4; в) 0; 4; г) -6; 5. 26.9. а) -1; б) в) 3; О г) 2,8. 26.10. а) 5; б) 9; в) -4; г) 4. 26.11. а) -з\; б) -1; в) 2,5; г) 3. О 26.12. а) 0,5; 1; б) 2. 26.13. а) Нет; б) 1; -3. 26.14. а) ±1; ±4; б) ±^/2; в) +V5; г) ±2. 26.15. а) ±^; ±3; б) ±|; в) ; ±1; г) ±2. 26.16. а) 2; -1; б) 1; 2; в) 1; -2; г) -2; -1. 26.17. а) -5; 4; б) 0; в) -2; 6; г) ±|. 26.18. а) 3; 2 5 б) “2,2; 6; г) -1,5. 26.19. а) +3; б) 20; в) +1; г) 0,5. 26.20. а) Нет Ск 7 3^6 2 7 корней; б) —=——; в) 0; -6; г) нет корней. 26.21. а) -—; б) ±—; в) нет 10 3 8 корней; г) 2; 4. 26.22. а) 2; \\ б) -2; -f; в) f; -f; г) о о о о 7 14 26.23. а) +1; -3; б) 0; в) 0; ±2; г) -2. 26.24. а) +VI0; +4; б) 3; 1; в) 4; -1; г) 0; -2. 26.25. а) |; б) 1; в) |; г) 7. 26.26. а) 3; 0; б) 2; в) 2; 3; г) -1 ± ч/б; 1; -5. 26.27. а) 1; -2; б) 0; 1; в) -4; -2; +1; г) 1; 2. „„„„ , 3±ч/^. -3±V5. , , -5 + ч/1з 26.28. а) —2—; б) —^—-’ 1: ®) —^2′ к**/’*- 27.2. 4 км/ч. 27.3. 15 км/ч и 18 км/ч. 27.4. 27.5. 80 км/ч, 70 км/ч. 4 261 27.6. 50 км/ч. 27.7. 15 км/ч. 27.8. 80 км/ч. 27.9. 12 км/ч. 27.10. 40 км/ч. 27.11. 15 км/ч, 6 км/ч. 27.12. 60 км/ч и 45 км/ч. 27.13. 80 км/ч, 60 км/ч. 27.14. 20 машин. 27.15. 36 дней. 27.16. 15 км/ч. 27.17. 18 км/ч. 27.18. 24 км/ч. 27.19. 8 км/ч. 27.20. 21 км/ч. 27.21. 3 км/ч. 27.22. 10 км/ч. 27.23.15 км/ч. 27.24.18 км/ч. 27.25.10 км/ч. 27.26. 50 т, 60 т. 27.27. 40 деталей. 27.28. 8 изделий. 27.29. 27.30. 27.31. 27.32. 40 км/ч. 5 8 4 27.33. 2 ч 24 мин. 27.34. 30 см. 27.35.18 км. 27.36. 50 км/ч. 27.37. 48 км/ч, 60 км/ч. 27.38. 12,5 км/ч. 27.39. 6 км/ч. 27.40. 47 человек. 27.41. 75 га. 27.42. 5 км/ч, 6 км/ч. 27.43.16 км/ч. 27.44.120 г. 27.45. 25 кг. 28.2. а) -20; -14; б) -6; 22; в) 6; 18; г) -30; 4. 28.3. а) 3; б) -1; i; в) -2; |; 9 7 5 г) -i; 1.28.4. а) 1 ± ^/2; б) -2 ± л/З; в) -1 ± >/3; г) 3 ± -Я. 28.5. а) ^ 5 ^ б) в) г) 28.6.а) 3 ± 3^/2; б) 3 + ^/5; в) 6 + 4^/2; О 2 5 г) -6 + зТз. 28.7. 15 см, 45 см. 28.8. 15 см х 15 см. 28.9. 11 и 17. 28.10. 480 см^. 28.11. 60 км/ч. 28.12. 36 км/ч. 28.13. 32 км/ч, 36 км/ч. 28.14. 65 км/ч. 28.15. 80 км/ч, 100 км/ч. 28.16. 60 км/ч. 28.17. 24 км/ч. 28.18. 10 км/ч. 28.19. а) -3; 55; б) 1; -44^; в) -127; 19; г) 8; о _8_ 17′ 28.20. а) 2>/3; б) -у1ъ ± 5; в) -3>/2; г) 2>/2 ± 2. 28.21. а) р -Н 1; р — 3; б) -р — 4; 2 — р; в) р — 5; р + 3; г) 1 — р; -7 — р. 28.22. а) -р ± 1; б) р = 0, jc=^; р 4, корней нет; в) 2р ± 1; 1 6 + 2J9 — р г) р = о, JC = -; р 9, корней нет. 3 р 28.23. а) р = 4, JC = -1; р ^ 4, JC = -1, х = о 1, корней нет. 28.24. 60 км/ч. 28.25. 16 км/ч. 28.26. 20%. 28.27. 20%. 28.28. 14 дней. 29.9. а) — 6х ^ + 8 = 0; б) jc2 + 2JC — 15 = 0; в) jc2 + 7JC — 8 = 0; г) + 8л: + 12 = 0; 29.10. а) jc2 — 0,5jc — 5 = 0; б) бд:^ + 5jc — 6 = 0; в) + 3,9д: + 3,6 = 0; г) 15д:2 + 16д: — 15 = 0. 29.11. а), б), г) Нет; в) да. 29.12. а) Ь = -5; с = -3; б) а = -1; с = 12; в) а = -8, Ь = -14; г) а = 6, с = -72. 29.13. р = 1. 29.14. р = 3, р = 4. 29.15. а) (х — 3)(х — 8); б) (х — 5)(д: + 3); в) (X + 3)(jc + 4); г) (X + 5)(jc — 2). 29.16. а) -(д: — 15)(jc — 1); б) -(д: + 9) (х — 1); в) -(JC — 3)(jc — 2); г) -(д: — 8)(jc + 1). 29.17. а) (Зд: — 1)(лс + 2); б) (2д: +1)(3jc + 1); в) (5д: — 3)(jc + 1); г) (Зд: — 1)(5д: — 1); 29.18. а) -(д: + 3)(3д: — 1); 262 б) -(5jc — l)(jc — 1); в) (2x — l)(x — 4); г) -(jc + 5)(4jc — 17). 29.19. a) x + 3′ 3jc-1. ^ 1 . ^ 5jc — 4 ^ 2x +7 3x — 1 ^ 2x — 1 6) ——-; b) —-r) ———-. 29.20. a) ———; 6) ——в) JC + 3 JC — 1 JC -3 JC — 4 ’ , 2jc-1 ^ JC — 5 2jc + 3 ^ 6jc — 13 ^ 7x — 2 r) —-—.29.21. a) ——; 6) ——-в) ———-—; г) JC — 5 JC + 10 5jc + 2 2jc + 9 2 — JC 29.22. a) 6) 29.23. a) 2; -1; 6) 1; 23. 29.24. a) 3,5; 6) 0,5. 29.25. a) 6) 29.26. a) 10; 78; 6) 6; 20; в) 5; 21; г) -38; 3. 29.28. a) 1; -2^; б) 1; 4|; в) 1; з|; г) 1; -12|. 29.30. а) -1; -5; б) -1; зЦ; в) -1; г) -1; 3:^. 29.31. а) — 2 = 0; б) — 45 = 0; в) _ 7 = О; 11 14 г) х2 — 162 = 0. 29.32. а) — 6х + 7 = 0; б) — X — 1 = 0; в) х» — 4х — 1 = 0; г) 49×2 + 5бд. + 13 = 0. 29.33. а) (л/х + 2)(>/х + 4); б) (л/х — 9)(^/x + 2); в) (Vx — 7)(Vx — 5); г) (Vx + — 5). 29.34. а) (>/x + l)(7>/x + 1б); б) (xVx — з)(3хл/х — l); в) (^/x + 1)(Эл/х — б); г) (x^/x — 2)<2ху[х - l). 29.35. а) (х - 2)(х + 2) (х - 3) (х + 3); б) -(х® - 4)(2х» - 1); в) -(X - 2)(х + 2Кх - 4)(х + 4); г) (5х« - 1)(3х2 - 1). 29.36. а) (х - 6 + 2л/з) х X (х - 6 - 2V3); б) (2х -1 + л/2)(2х - 1 - V2); в) (х - 3 + 2>/2)(х — 3 — 2^^2); г) (2х — 3 + ^/2)<2x - 3 - V2). 29.37. а) ^ б) (х — 1)(х + 3); VJC — 4 в) г) . 29.38. а) jc + 2; б) jc + 4; в) jc — 2; г) jc — 1. yfx -3 70 R 29.39. а) 115; б) -153. 29.40. а) у; б) |. 29.41. р = -0,5. 29.42. р = 3, р = 1,5. 29.43. +^; +^. 29.44. -2; -0,5. 29.45. При р = -2 х = 4, JC = 7; при р = 4— JC = -1, JC = -8. 29.46. При р = 25 jc = 5, jc = 2,5. о 2jc — 1 15п 5 — д 29.47. Прир = 20 JC = 2, JC = 5. 29.48. а) ; б) 29.49. а) 3^^ б) 29.51. а) -3^; б) -1. 29.52. а) 2; 73; б) 2; -18,5. 29.53. а) 9; б) 29.54. а) 8; б) нет корней. 29.55. а) б) 30.3. а) -2; б) 7; |; в) 2; -1,4; г) 0,6; -5. 30.4. а) -4; б) в) 11; г) -0,5. 30.6. а) 3; О О 263 б) нет корней; в) 1; г) нет корней. 30.7. а) 4; 16; б) 4; 9; в) 9; 16; г) 1; 4. 30.8. а) 25; б) 36; в) 9; г) 36. 30.9. а) 25; б) 9; в) 9; г) 16. 30.10. а) 2; дк к о б) -1; в) у; г) 30.11. а) -3; б) -1; в) -2; г) 30.12. а) 2; б) -11; OQ о 1 в) 11; г) -3. 30.13. а) 5; б) ; в) г) нет корней. 30.16. а) 1; б) 1; в) 1; 25 4 6 г) 2. 30.17. а) 1; б) -1; в) -2; г) -2; 30.18. а) 0; -1; б) нет корней; 2 5 в) -1; г) нет корней. 30.19. а) 35; б) 1; в) 17; г) 2; 3. 30.20. а) -1; б) 3; -1; в) 5; г) нет корней. 30.21. а) 2; б) 2; в) 4^; г) 6. 30.22. а) 7; 8; 6 б) -1; в) 2; г) 3. 30.23. а) ±2%/2; б) 3; в) ±Vl0; г) 101. 30.24. а) 2,8; -1Д; б) 1,4; B)+l|; г) ГЛАВА 5. 31.4. а) >; б)—г) . 31.6. а), б) >; в), г) аЬ; б) 31.11. а) t — S >-; б) (т пУ (л + 1)^. S 31.17. а), б), г) Да; в) нет. 31.18 а)—г) Да. 31.19. i; -; -; -. 31.21. а) 6 >-1; С а Ь d б) 12,2 1,9; г) 10,4 27; 6) -k — I 13,5; г) -4k — 5/ -8; б) s — Зр -24. 31.31. а) m + п + 4 > 9; б) 12 — 4/i — Зт 32. 31.32. а) х — б — 2у > -23; б) 14 — 2JC + Зр 28; г) 16 — Зр + 4дг > 4. 31.34. а) 5 1,7; в) ч/То |ч/2;в)ч/8 | ч/Тэ. 31.50. а), 6)а Ь. 31.51. а)а>Ь; б)—г) а f; б) Ь 1:^; б) d -1,2; б) /1 1; г) g 24 б) Ь > 5; в) о 0,5; г) ж 2-; б) m -10 3 т) р 4; в) 2 > 2; г) ^ -4; г) t -1; О) у > -|; в) 2 -2,4. 33.19. а) р > 0; б) р — любое число; в) g 1 -; б) Ь 1 —; г) d б) ж 1,4; г) ж > 33.23. а) ж > 2 3 О Z б)ж 2,4. 33.24. а) а > 8,4; б) с -12 г) d > о. 33.26. а) ж 5; б) ж > -1; в) «/ -i. 33.28. а) m в) р > 2; г) g О 5 15 11 14 5 б) с 3; б) 1 3. 34.2. а) JC 7; б) -8 -1; г) -3 5; б) -4 3. 34.4. a) ж 2; 6) 1 2. О 34.5. а) -0,2 2; в) jc 2,5; г) ^ 2; б) -5 6. 265 34.7. а) -1 4; в) jc 2; г) -5 2,5; в) ж 0,25; г) ж 0,5. 34.9. а) ж i; б) ж 1^; в) ж 2 3 2 5 2 2 г) JC 34.10. а) jc = 3; б) решений нет; в) jc — любое число 5 2 1 г) X Ф 2. 34.11. а) JC — любое число; 6) х Ф в) решений нет; г) jc = —. 3 6 34.12. а), б) JC — любое число; в), г) решений нет. 34.13. а), б) jc — любое число; в), г) решений нет. 34.14. а) х 1 + у[2; 6) -1 + >/3; г) jc ^ ^ 2 2 34.15. а) JC 6; б) нет решений; в) -5 в) jc -; 3 3 5 5 5 5 г) 2^; в) ж 25; г) 5; б) -0,5 2,3. 34.19. а) jc 25; б) О 9. 34.20. а) jc -1; б) jc = 34.21. а)6; о б) 9. 34.22. а) -10; б) 7. 34.23. а) jc 7; б) -1 5; г) JC 1. 34.24. а) -3 в) jc -; г) -7 -; в) О 4. 34.26. а) JC 3; б) 1 6. 34.27. а) JC 3; б) 0,5 4; г) -3 0,4; 6) jc /б, jc > 2>/б; в) -4 34.29. a) JC 4,5; 6) 7. 34.31. a) -1 2; b) JC 1; b) -2 4; 6) -4 6; r) -3 3; 6) p = -6; p = 3; в) -6 6; 6) p = 6; p = -4; b) -4 1; 6) p = -1; p = 1; 15 15 b) -1 1,8; 6) —— ; r) p р > 0; в) р > -2; г) р 2. 7 , . 8 3 ’ б) р 0; г) р 2. 34.42. р = -2; р = 6. 34.43. »; г) 5 • 10″»». 36.11. й) а > Ь; б) а > Ь; в) а -3, нет корней при т Ь. 31. а) Рнаим = 1 — 6>/3, Рнаиб = 1 4>/3; б) р„а„„ = 6\/б — 9, Уиаиб б’ч/б 7,5, в) Упаим Зл/З 2, Упаиб 4, г) Уц^им Рнаиб Ю б>/б. 32. а) 2, 6; б) -1, 4; в) 0, 2; г) -3, 1. 33. а) (-2; -5), (1; 2,5), (4; 1); б) (-2; 4), (1; -5), (3; -1). 34. а) р = 0 при jc = 2, р > 0 при 1 2; г) р = -2 при jc = 0, р > -2 при jc 0, р 0 при jc > -2, р 5 при х > 4. 50. а) -2, 6 б) -8, 2; в) -4, 2; г) 1, 7. 51. а) (1; -3), (3; -3); б) (-6; -2), (-4; -4), (2; 2) в) (0; -1), (4; 1); г) (1; 0), (2; 1). 52. а) (-оо; -1] и [3; +оо); б) (-2; 0) в) (-2; 6); г) (-оо; 2] и [6; +оо). 56. а) 1; б) 3,5. 57. а) -1, 4; б) 1, 5. 58. а) 0,5 б) 2. 59. а) JC -3; б) 2 > 1/(5). 64. Один корень при р>1ир /3; б) в) -3 + >/?; г) 79. а) -3,5; б) нет корней; в) 1,6; г) нет корней. 80. а) -0,5, 3; б) -4, 11; в) -2, 11; г) -1, 61. 81. а) |; б) -1, в) -0,4, 0,7; г) |. 82. 8, 12. 83. 81 см^. 84. 5 м, 35 м. 85. 60 см^. 86. 26 см, 24 см, 10 см. 87. 15 см, 20 см. 88. 12 см, 16 см. 89. 480 см^. 90. с = 37, с = 13. 91. а = -1. 92. а) а = 2, 5 = -8, с = 4; б) р = -1, g = -5. 93. а) +2; б) +3, +>/0^; в) +3, +>/2; г) ±2, ±^. 94. а) 0, ±1; б) ±|, |; в) ±3; г) 2. 97. а) -1; б) -16. 98. а) 5 = ±5; б) с = -2. 99. а) g = -28; б) с = 15. 100. а) т = 12; 1 б)m = -6.107.а) ^-г^; б) —108.а) б) ^ 1/ — 5 2у + 1 . 109. а) 2т + 1’ б) -i. 111. а) 1; б) 2,5; в) 0; г) -l|. 112. а) l|; б) l|. 113. а) |, 2; б) -|, 1; в) -3, |; г) -2; |. 114. а) ±1, 3; б) -1, 2, -l|, l|; в) +1, 3, 5; г) -3, -8. 115. 6 км/ч. 116. 18 км/ч. 117. 12 км/ч. 118. 180 км/ч. 119. 0,8 м/с, 1 м/с. 120. 90 км/ч, 50 км/ч. 121. 40 км/ч, 60 км/ч. 123. а) ||; б) 3^; в) 211; г) 124. а) 256; б) |; в) 0,01; г) 27. 125. а) 4; б) 126. а) 5; б) -l|; в) 3; г) б|. 127. а) -4, 9; б) 4, 1; в) -8, 2; г) -7, 2. 128. а) 1; б) 3; в) 2; г) 3. 129. а) 5, l|; б) 1; в) 3, 7|; г) 3. 130. а) -1; б) 1; в) 2; г) -2. 131. а) -1 ± ^Я0; б) -8, 2; -3 ± 3>/б. 132. а) 1; б) 3. 133. а) -1, 2; б) 2, 7. 135. а) -^; б) 136. а) 1 — ‘/х; 8 3 б) 4 — 5; в) ^/p — 1; г) 1 — а. 139. а) 2^/5; б) 1; в) -2%/l5; г) 1. 140. а) 6; б) 1, ^ в) 3; г) 3, -2. 142. а) l| : б)[-1,5;+оо);в) |-оо; 2-); г) 268 (М’ *4 143. а) (-оо; -1); б) (-оо; -3]; в) +°о |: г) (-оо; 1). 144. а) g > 6j, g = 7; б) g -3; 6) о > -^. 146. a) p = 4; 6) Aj = 16. 147. a) (-2; -1); 6) (-oo; -4] u [3; +oo); в) (-oo; 3) u u (4; +00); Г) [-1; 4]. 148. a) (-00; 0,5] u [4; +00); 6) [ -1; ^ |; в) г) (-oo; -0,5) u (1; +00). 152. a) (-00; 0] u [3; +00); 6) (-2; 2); в) [-6; 6]; г) (-oo; 0) u (2; +00). 153. a) (-00; 3] u [5; +00); 6) (4; 5); в) (-oo; -4) u u (-3; +00); r) [-7; -4]. 154. a) (-00; -4) u (-4; +00); 6) нет решений; в) (-oo; +00); г) jc = 1. 155. a) [-3; 0) u (0; 0,5]; 6) (-00; -2,5) u .2’ u (-2,5; -2] u 2|; +00j; B)[-2;0)u (^0; | ; r) -oo; u [3; 3,5) u u (3,5; +00). 156. a) [-4; +oo); 6) (-00; -0,2) u (0,5; +00); в) (6; +oo); r) [-2; 5]. 157. a) Aj 10; 6) /г 3; в) -6 авторы: Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н.. Издательство: Мнемозина 2015-2019 год. Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Алгебре за 8 класс Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Учебник, Задачник Базовый уровень часть 1, 2. Ответы сделаны к книге 2015-2019 года от Мнемозина ФГОС ГДЗ к контрольным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л.А. (базовый уровень) можно посмотреть тут. ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л.А. (базовый уровень) можно посмотреть тут. ГДЗ к тестам по алгебре за 7-9 классы Мордкович А.Г. (базовый уровень) можно посмотреть тут. ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс Попов М.А. можно посмотреть тут. ГДЗ к контрольным и самостоятельным работам по алгебре за 8 класс Попов М.А. можно посмотреть тут. ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 8 класс Зубарева И.И. можно посмотреть тут. ГДЗ к учебнику по алгебре за 8 класс Мордкович А.Г. можно посмотреть тут. ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 8 класс Ключникова Е.М. можно посмотреть тут. ГДЗ к тестам по алгебре за 8 класс Ключникова Е.М. можно посмотреть тут. ГДЗ к тематическим проверочным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л.А. можно посмотреть тут. Алгебра, 8 класс, Часть 2, Задачник, Мордкович А.Г., 2013. Данное пособие предусматривает занятия с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. Целью работы в соответствующих классах является формирование у школьников устойчивого интереса к предмету, дальнейшее развитие их математических способностей, ориентация на профессии, связанные с математикой, на применение математических методов в различных отраслях науки и техники. Примеры. Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения — 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения? Из пункта А в пункт В со скоростью v1 выехал автомобиль. Приехав в пункт В, автомобиль мгновенно развернулся и со скоростью v2 поехал обратно в пункт А. Выразите его среднюю скорость v на всём продолжении пути туда и обратно. Как изменится результат, если, доехав до пункта В, автомобиль пробудет там а часов, а затем поедет обратно в пункт А, если а составляет k-ю часть суммарного времени движения из А в В и обратно из В в А? ОГЛАВЛЕНИЕ Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать pdf http://megaresheba.net/gdz-algebra/8-class/mordkovich http://obuchalka.org/2014071778951/algebra-8-klass-chast-2-zadachnik-mordkovich-a-g-2013.htmlГДЗ по Алгебре за 8 класс Задачник Мордкович А.Г., Александрова Л.А. Базовый уровень часть 1, 2 ФГОС
Алгебра, 8 класс, Часть 2, Задачник, Мордкович А.Г., 2013
Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 40 км от города, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. В посёлок они прибыли одновременно.
Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
Предисловие
Глава 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§1. Основные понятия
§2. Сложение и вычитание алгебраических дробей
§3. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень
§4. Преобразование рациональных выражений
§5. Первые представления о рациональных уравнениях
§6. Степень с отрицательным целым показателем
Глава 2. ФУНКЦИЯ у = /х. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§7. Рациональные числа
§8. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
§9. Иррациональные числа
§10. Множество действительных чисел
§11. Свойства числовых неравенств
§12. Функция y = /x, её свойства и график
§13. Свойства квадратных корней
§14. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
§15. Алгоритм извлечения квадратного корня
§16. Модуль действительного числа
Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = k/x
§17. Функция у = kx2, её свойства и график
§18. Функция у = k/x, её свойства и график
§19. Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)
§20. Функция у = ах2 + bх + с, её свойства и график
§21. Графическое решение квадратных уравнений
§22. Дробно-линейная функция
§23. Как построить графики функций у = |f(х)| и у = f(|x|), если известен график функции у = f(x)
Глава 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§24. Основные понятия
§25. Формула корней квадратного уравнения
§26. Теорема Виета
§27. Разложение квадратного трёхчлена
на линейные множители
§28. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций
Глава 5. НЕРАВЕНСТВА
§29. Линейные неравенства
§30. Квадратные неравенства
§31. Доказательство неравенств
§32. Приближённые вычисления
§33. Стандартный вид положительного числа
Глава 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§34. Многочлены от одной переменной
§35. Уравнения высших степеней
§36. Рациональные уравнения
§37. Уравнения с модулем
§38. Иррациональные уравнения
§39. Задачи с параметрами
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
§40. Делимость чисел
§41. Простые и составные числа
§42. Деление с остатком
§43. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
§44. Основная теорема арифметики
Глава 8. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
Приложение
Ответы.
Скачать книгу Алгебра, 8 класс, Часть 2, Задачник, Мордкович А.Г., 2013 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу