Рациональные уравнения и неравенства иррациональные уравнения

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 366)
ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 263)
Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 248)
Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 221)

StudyWay

Помощь

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Рациональные уравнения, неравенства, иррациональные уравнения и неравенства

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Рациональные уравнения, неравенства, иррациональные уравнения и неравенства Дисциплина «Математика» Раздел 2. Действительные числа Тема 2.2. Уравнения и неравенства первой и второй степени Разработано преподавателем математики: Фроловой Т.А. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Рациональные уравнения и неравенства Пример 1 Решим уравнение Решение ОТВЕТ: 3

Пример 2 Решим уравнение Решение х – 3 х + 2 (х + 2)(х – 3)

Пример 2 Решим уравнение Решение

Пример 2 Решим уравнение Решение Исходное уравнение не имеет корней, так как числитель равносильного уравнения не имеет корней. ОТВЕТ: корней нет.

Для решения рационального уравнения надо перенести все его члены в левую часть, затем, применяя правила сложения и вычитания алгебраических дробей, записать левую часть как алгебраическую дробь и решить полученное уравнение. Правило Замечание Отклонение от высказанного правила может привести к потере корней или к приобретению посторонних корней данного уравнения.

Например х — 3 Х равное 3 обращает знаменатель в нуль, значит уравнение корней не имеет. Однако, если бы мы отклонились от правила, сократили дробь в левой части уравнения на (х – 3), Но х=3 не является корнем исходного уравнения – при х=3 левая его часть превращается в выражение, не имеющее смысла. Следовательно при таком «способе решения» мы получили посторонний корень.

Пример 1. Решим систему неравенств Решение х 1 5 7 + + — — IIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIII X 2 3 4 + + — — IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIII Ответ: (5; 7)

Решить систему неравенств х х 2 3 + — + IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII -4 -2 4 + — + — IIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII Пример 2 Ответ:

Пример 3 Решить систему неравенств: Решение. Перенеся все слагаемые в левую часть каждого из неравенств исходной системы, перепишем ее в виде

Пример 3 Продолжение х -1 0 1 + — + — + IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII X -1,5 + — IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII Ответ:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 865 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

26.02.2017
3012
4

26.02.2017
1280
0

26.02.2017
329
0

26.02.2017
968
0

26.02.2017
309
0

26.02.2017
416
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

26.02.2017 1346
PPTX 307.7 кбайт
5 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Фролова Татьяна Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 6 лет
Подписчики: 0
Всего просмотров: 13687
Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений